Felsőbb matematika villamosmérnököknek - Haladó lineáris algebra (BMETE90MX54) 2015

Konzultáció a pótpótZH-ra

2015-05-26 kedd 14-16, H607

Eddigi ZH-k

1. ZH

2. ZH

1. pótZH

2. pótZH

Eredmények

Az összes kijavított házi és a két ZH eredményei (kétféle szélességben). Az utolsó oszlopban azt látni, hogy miből kell pótolni. Akinek HÁZI áll a neve mellett, azoknak a kevés összpontszám miatt valamelyik ZH-t meg kell ismételniük úgy, hogy az összpontszám elérje a 40-et.

Előadások

A készülő jegyzet (V.15-04-27) folyamatosan frissülő változata itt található, valamint néhány alkalmazás a Lineáris algebra alkalmazásai című jegyzetben.

Gyakorlatok

ZH időpontok

1. ZH: 15-04-10 16:00 ChMax
2. ZH: 15-05-08 16:00 ChMax
pótZH: 15-05-21 12:00 EIC
pótpótZH: 15-05-27 12:00 EIA

Házi feladatok

Mindegyik feladat 1 pont, hacsak nincs a feladathoz írva valami más. (A megoldásokat papíron kérjük, de végszükség esetén lehet a felsobb pont mat kukac gmail pont com címre is.

feladat: Írjunk fel egy valós 4x5-ös mátrixot (0-elemek ne legyenek benne), melynek rangja 3. Írjunk fel egy másik 4x5-ös 3-rangú mátrixot is, melynek elemei a 2-elemű testből valók (itt elég, ha minden sorban vannak nemnulla elemek). Határozzuk meg mindkét mátrix alapvető altereinek (azaz a sortér, az oszloptér, a nulltér és a transzponált nulltér) bázisát.
Határidő: 2015-02-27 10:00
feladat: Írjunk fel egy legalább 3x4-es méretű valós mátrixot, melynek nincs LU-felbontása. Határozzuk meg a PLU-felbontását! Főelemnek mindig a legnagyobb abszolút értékű elemet válasszuk. Számításunkat ellenőrizzük az Octave vagy a Matlab programmal!
Határidő: 2015-03-06 10:00
feladat: Írjunk fel egy 3x4-es méretű F₃ test fölötti mátrixot, és határozzuk meg a PLU-felbontását! Tekintsük e mátrixot egy 3-ismeretlenes egyenletrendszer bővített mátrixának. Oldjuk meg a PLU-felbontást használva ezt az egyenletrendszert!
Határidő: 2015-03-06 10:00
Egy valós n × n-es A mátrix determinánsa megegyezik a sorvektorai által kifeszített paralelepipedon előjeles n-dimenziós térfogatával. Ha egy k × n-es mátrix van megadva, ahol k < n, akkor a sorvektorok által kifeszített k-dimenziós paralelepipedon térfogata: √(det(AA^T)). Számítsuk ki a 4-dimenziós térbeli (2,1,4,1), (2,2,2,3), (0,1,0,-1) vektorok által kifeszített 3-dimenziós paralelepipedon térfogatát!
Határidő: 2015-03-20 10:00
Ön egy többfős társasággal hatalmas pénzösszeg tulajdonosa, melyet egy széfben tartanak. A széf kódja egy titkos 7-jegyű t szám, melyet egy program véletlenszerűen állított be, és úgy osztott meg Önök közt, hogy csak legalább 3 fő egyetértésével lehessen (a véletlen tippelésnél nagyobb eséllyel) kinyitni. Ehhez mindenki kap egy 7-jegyű számokból alló (X,Y) számpárt, ahol X mindenkinél a születésének napja évezred nélkül, azaz ÉÉÉHHNN, míg Y mindenkinél egy csak általa ismert szám (a számok első jegye is lehet 0). A t titok és minden személy (X,Y) párja eleget tesz egy aX²+bX+t=Y alakú egyenletnek, ahol a műveleteket az F_p testben kell elvégezni, a, b és t mindenki előtt ismeretlen, és ahol p = 9999991 (a legnagyobb 7-jegyű prím). X az Ön esetén is saját születési időpontja, míg Y = 1111111. Két társával összefognak, hogy kinyissák a széfet. Az ő számpárjaik: (9840914,5436639) és (9871010,3462643). Melyik szám nyitja a széfet? (A számításokhoz tetszőleges pontosságú aritmetikát és a maradékos osztást tudó programot érdemes használni. Bármely komputer algebra program, pl. Sage, Geogebra, Mathematica, Maple,... jó erre, de aki nem ismer ilyeneket, egyszerű online programot is használhat, pl. http://apfloat.appspot.com/ vagy Wolfram Alpha).
Határidő: 2015-03-20 10:00
Válasszon három lineárisan független 3-dimenziós vektort véletlenszerűen (a standard egységvektoroktól különbözőket), és írja föl annak a lineáris leképezésnek az A mátrixát, mely az első két vektor síkjára vetít a harmadik vektor mentén, és annak a leképezésnek a B mátrixát, mely az első vektor által kifeszített altérre (egynesre) vetít a másik két vektor által kifeszített sík mentén! Számításait ellenőrizze úgy, hogy kiszámítja egy mátrixszorzással a három választott vektor képét mindkét leképezés esetén! (A számításokhoz használhat mátrix-alapú nyelvet, pl. Octave, Matlab)
Határidő: 2015-03-27 10:00
Írjon fel egy legalább 4-ismeretlenes, legalább 5 egyenletből álló lineáris egyenletrendszert (véletlen együtthatókkal, telejes oszloprangú együtthatómátrxszal). Határozza meg az együtthatómátrix QR-felbontását valamely numerikus vagy CAS programmal, majd ezt használva határozza meg az optimális megoldását!
Határidő: 2015-03-27 10:00
Határozza meg egy 5x4-es véletlen mátrix QR-felbontását Givens-forgatásokkal! Használjon alkalmas programot!
Határidő: 2015-03-27 10:00
Mátrix sajátvektorának közelítő kiszámítása hatványmódszerrel: A Google által alkalmazott PageRank algoritmus alapötletét kell megvalósítani (itt most csak az előadáson ismertetett hatványmódszer alkalmazására koncentrálunk, hogy miért a sajátvektort keressük, később lesz világos). Tegyük fel, hogy van n dokumentum, melyek csak egymásra hivatkoznak. Ennek alapján sorrendet kívánunk felállítani köztük. Képezzük az n×n-es A mátrixot, melyre

a_ij = ¹⁄_k, ha az i-edik dokumentumban van link a j-edikre, és összesen k dokumentumra van benne link;

a_ij = ¹⁄_n, ha az i-edik dokumentumban nincs link egyetlen más dokumentumra sem;

egyébként a_ij = 0.

Ezután képezzük az alábbi M = 0.85 A + 0.15¹⁄_nJ mátrixot, ahol J a csupa 1-esből álló n×n-es mátrix. Igazolni fogjuk, hogy 1 az M mátrix domináns sajátértéke. Határozzuk meg az M mátrix 1 sajátértékhez tartozó bal sajátvektorát (vagy transzponáltjának jobb sajátvektorát) hatványmódszerrel. A hatványmódszert úgy alkalmazzuk, hogy minden iterációs lépés után osszuk el a vektort koordinátáinak összegével. Beadandó a lépések során kapott vektorokból néhány, valamit a pontosan kiszámolt sajátvektor. n legyen legalább 10. (Beadható a számítógépes futás listája, nem kell kézzel átmásolni. Válasszunk tetszőleges kiinduló A mátrixot a fenti definíció szerint, ahol a dokumentumokban 0-6 hivatkozás legyen véletlenszerűen. Ellenőrzésül: az A és az M mátrix is sorsztochasztikus, azaz minden sorában 1 az elemek összege, és nincsenek negatív elemeik. Elég néhány iterációt végrehajtani, és megfigyelni, hogy milyen gyorsan közelítenek a valódi sajátvektorhoz. A hatványmódszer a jegyzetben, a PageRank-re példamátrix a Lineáris algebra alkalmazásai című jegyzet 111-113 oldalán van.)
Határidő: 2015-04-03 10:00
Generáljon egy véletlen 4x6-os, 3 rangú mátrixot, számítsa ki (programmal) a szinguláris felbontását, majd azt használva számítsa ki a pszeudoinverzét és polárfelbontását!
Határidő: 2015-04-17 10:00
Vegyen egy pixelformátumú szürkeárnyalatos fényképet és készítsen belőle egy mátrixot, melynek minden eleme a kép egy pontjának árnyalaltát adja meg (pl. Matlabban az imread/imwrite paranccsal lehet beolvasni/kiírni, de van parancs a színesből szürkére konverzióra is). Legyen e mátrix rangja r. Írja fel a mátrix szinguláris felbontását, majd abból készítsen két olyan kép-mátrixot, melyek egyikének 10, másikának r/2 a rangja, és Frobenius-normában a legközelebb vannak az eredeti kép mátrixához. Határozza meg az eredetitől való eltérés Frobenius- és 2-normáját a program beépített függvényével és ellenőrzésül a szinguláris értékek segítségével. (2 pont) (Aki nehezen fér nyomtatási lehetőséghez, a feladat megoldását beadhatja elektronikusan is, ha egyetlen fájlba van szerkesztve a kód és a képek is.)
Határidő: 2015-04-24 10:00
Vegyen egy legalább 10×10-es J Jordan-mátrixot, melyben csak két sajátérték, és legföljebb 3×3-as blokkok vannak. Legyen C egy véletlen invertálható mátrix, és legyen A = CJC^-1. (a) Írja fel A minimálpolinomját! (b) Ezután számítsa ki e^A értékét a programmal, és az Ce^JC^-1 mátrix kiszámításával. (c) Végül határozza meg e^A Hermit-féle interpolációs polinomját, és adja meg e^A értékét ezzel is. (2 pont)
Határidő: 2015-05-08 10:00

10 gyerek körben ül, egyikük kezében rejtve egy gyűrű. Egy gyermekdal ritmusára mindenki úgy tesz, mintha egyik szomszédja kezébe adná a gyűrűt. Tegyük fel, hogy minden játékos a szomszédjai iránti szimpátia fix mértéke szerinti valószínűséggel, véletlenül választva adja át a gyűrűt. Ha az n-edik pillanatban a gyűrű helyzetének valószínűségeloszlását a 10-dimenziós sztochasztikus v sorvektor írja le, akkor a következő pillanatban (a csere után) a vP vektor, ahol a P mátrix megadja, hogy ki milyen valószínűséggel kinek adja a gyűrűt. E mátrix:

0	1 - p₁	0	0	0	0	0	0	0	p₁
p₂	0	1 - p₂	0	0	0	0	0	0	0
0	p₃	0	1 - p₃	0	0	0	0	0	0
0	0	p₄	0	1 - p₄	0	0	0	0	0
0	0	0	p₅	0	1 - p₅	0	0	0	0
0	0	0	0	p₆	0	1 - p₆	0	0	0
0	0	0	0	0	p₇	0	1 - p₇	0	0
0	0	0	0	0	0	p₈	0	1 - p₈	0
0	0	0	0	0	0	0	p₉	0	1 - p₉
1 - p₁₀	0	0	0	0	0	0	0	p₁₀	0

ahol 0 ≤ p_i ≤ 1 és véletlenszerűen választandók meg. Vizsgáljuk meg a vPⁿ vektorok határértékét, ha n tart végtelenhez! Mi történik, ha a p_i értékek egyike 0, egy másika 1, vagyis ha van olyan játékos, aki mindig jobbra, és olyan is, aki mindig balra adja a gyűrűt? Mi köze van az eredményeknek a P Perron-vektoraihoz?
Határidő: 2015-05-08 10:00

Konzultációk

2015-04-07 kedd 18:00 H607
2015-04-08 szerda 10:15 E305

1. ZH anyaga

Gyakorlati feladattípusok
1. Lineáris kapcsolatok meghatározása elemi sorműveletekkel (függetlenség, bázis, bázisra vonatkozó koordináták, altér dimenziója, mátrix bázisfelbontásának felírása, egyenletrendszer megoldása, mátrix inverze)
2. egyenletrendszer megoldása LU vagy PLU felbontással valós vagy véges test fölött
3. valamely lineáris leképezés mátrixának fölírása, altérre való merőleges vetítés mátrixa (7.29)
4. adott bázisban megadott mátrixú lineáris leképezés mátrixának fölírása másik bázisban
5. egyenletrendszer optimális megoldásainak meghatározása
6. egyenletrendszer legkisebb abszolút értékű optimális megoldásának meghatározása (1) az egyenletrendszerhez új egyenletek hozzá vételével, (2) az együtthatómátrix pszeudoinverzének kiszámításával, (3) a QR-felbontás fölhasználásával
7. altérben ortogonális (ortonormált) bázis keresése
8. pszeudoinverz kiszámítása
9. QR-felbontás kiszámítása
10. mátrix diagonalizálása, sajátfelbontásának és spektrálfelbontásának felírása
11. mátrix ortogonális diagonalizálása
Elméleti témák
1. a négy kitüntetett altér, dimenziótétel, a lineáris algebra alaptétele
2. az elemi sorműveletek hatása a sortérre és az oszloptérre
3. egyenletrendszer megoldhatóságának mátrixrangos feltétele
4. a megoldások tereinek jellemzése
5. (egyik bázisról a másikra való) áttérés mátrixa
6. invertálhatóság és az egyenletrendszerek kapcsolata (5.15)
7. a determinánsfüggvény soronkénti linearitása, determináns és a mátrixműveletek kapcsolata, determináns értékének kiszámítása elemi sorműveletekkel, sor vagy oszlop szerinti kifejtéssel, kígyók determinánsainak összegére bontással
8. mátrixleképezés, lineáris leképezés
9. merőleges vetítés és a legjobb közelítés, a legjobb közelítés ONB esetén (7.65)
10. polinomiális regresszió
11. pszeudoinverz fogalma és a Moore-Penrose-tétel
12. (szemi)ortogonális mátrixok
13. speciális mátrixok sajátértékei
14. hasonlóság, diagonalizálhatóság, sajátalterek direkt összege és a diagonalizálhatóság (8.40)
15. Gersgorin-körök
16. Cayley–Hamilton-tétel
17. ortogonális és unitér diagonalizálás (9.3, 9.9)
18. Schur-felbontás
19. kvadratikus formák, mátrixok definitsége

2. ZH anyaga

Gyakorlati feladattípusok:
1. Szinguláris értékek, bal és jobb szinguláris vektorok, SVD, redukált SVD, SVD diadikus alakjának meghatározása
2. Euklideszi, Frobenius-, p-norma, ∞-norma kiszámítása
3. mátrixnorma kiszámítása
4. egy 3×3-as mátrix Jordan-bázisának és Jordan-felbontásának meghatározása
5. Jordan-féle normálalak meghatározása a (A-λI)^k-ra vonatkozó ismeretekből
6. minimálpolinom meghatározása a Jordan-normálalak (vagy a definíció) alapján
7. mátrixfüggvény kiszámítása a Jordan-normálalakból
8. mátrixfüggvény kiszámítása polinominterpolációval
9. mátrix (ir)reducibilitásának és primitívségének eldöntése
10. (A/r)^k határértékének kiszámítása a Perron-vektorokkal
Elméleti témák:
1. Szinguláris értékek és vektorok fogalma, kapcsolatuk a négy alapvető altérrel
2. Az SVD hatása R² → R² függvényekre
3. norma definíciója
4. normák ekvivalenciája (R-ben és C-ben)
5. mátrixnorma definíciója, indukált norma és ekvivalens alakjai
6. Eckart–Young-tétel (kis rangú approximáció tétele)
7. a szinguláris értékek kapcsolata a 2- és a Frobenius-normával
8. alterek direkt összegére bontás és a blokkdiagonális mátrix kapcsolata
9. általánosított sajátvektor, Jordan-lánc, Jordan-bázis fogalma
10. minimálpolinom és tulajdonságai
11. f definiálva van az A spektrumán jelentése
12. Perron-tételek pozitív mátrixokra
13. Perron-vektorok
14. Perron–Frobenius-tételek nemnegatív mátrixokra
15. Collatz–Wieland-tétel és a spektrálsugár becslése
16. sztochasztikus és duplán sztochasztikus mátrixok
17. Frobenius–Kőnig-tétel
18. Birkhoff-tétel
Bizonyítások:
1. A szinguláris értékek létezése (A^HA hasonló Σ^HΣ-hoz, önadjungált, pozitív szemidefinit)
2. Polárfelbontás előállítása SVD-ből (P pozitív szemidefinit, Q unitér)