Tematika, segédletek és követelmények a Matematika A3 című tárgyhoz

A Villamosmérnöki és Informatikai Kar villamosmérnök hallgatói számára indított tárgy, (2 óra előadás, 2 óra gyakorlat, ?? kredit, BMETE90AX09)

Az oldal folyamatosan változik, pontosabb lesz, illetve bővül: érdemes időnként idelátogatni.

Az előadások anyaga

1. Előadás

Differenciálegyenletre vezető feladatok a mechanika, kémia, biológia és az elektromosságtan területéről. Heurisztikus ,,osztályozás''. Elemi kvalitatív és kvantitatív módszerek. Egyszerű típusok: közvetlenül integrálható, autonóm, szétválasztható változójú és ilyenre visszavezethető differenciálegyenletek.

2. Előadás

Elsőrendű lineáris egyenletek. Az állandók variálásának módszere. Egzakt egyenletek, integráló tényező. Közelítő módszerek: Euler-módszer, Taylorsor-módszer.

3. Előadás

Hatványsormódszer, szukcesszív approximáció. Elsőrendű lineáris egyenletrendszerek megoldása különböző sajátértékek esetén. Magasabb rendű egyenletek. Átviteli elv. Harmonikus oszcillátor.

4. Előadás

Magasabb rendű lineáris állandó együtthatós egyenletek megoldása. A Laplace-transzformáció és alkalmazása lineáris egyenletekre és rendszerekre.

5. Előadás

Általános definíciók, egzisztencia- és unicitástételek.
  • Számítógépes bemutató: Mathematica használata differenciálegyenletek vizsgálatára. Ugyanez zippelt htmlben. Az alábbiakat részletesebben írom, ez az előadást követő iromány. Részletesebb anyag Serény tanár úr honlapján, de másképp van fölépítve és sokkal több, mint amit át tudunk venni (régi szép időkből való...) Ez viszont sokkal hasonlóbb stílusú az előadásomhoz, persze, ez is több... Szili László honlapja.

    Vektoranalízis

    Vektorváltozós vektorértékű függvények folytonossága és differenciálhatósága. Koordinátafügvények. Sima elemi n/dimenziós görbe, paraméterezése, irányítása, zárt görbe. Valós-valós függvény grafikonja mint görbe. Egyenes (nem görbe), egyenesszakasz, érintőegyenes. Példák: csavarvonal, valós-valós függvény. Többféle paraméterezés. Kitüntetett: ívhossz szerinti. Görbület.

    6. Előadás

    (Folytonos/differenciálható) vektormező. Példák: gravitációs erőtér, ponttöltés erőtere (elektrosztatikus), végtelen hosszú vezető mágneses tere. Tenzor: lineáris vektromező. Speciális lineáris operátor; mátrixa. Derivált tenzor, differenciál. Vektormező integrálja sima elemi görbe mentén (=erőtér által végzett munka): (másodfajú) vonalintegrál. Potenciálos vektormező, skalárpotenciál. Newton-Leibniz-tétel. Egy vektormező pontosan akkor potenciálos, ha zárt görbék mentén az integrálja nulla. A potenciál additív állandó erejéig egyértelmű. (Skalárértékű függvény elsőfajú görbementi integrálja.) Konzervatív erőtér. Rotáció értelmezése és kiszámítása, értéke potenciálos erőtérben. Egyszeresen összefüggő tartomnyban a vektormezőnek pontosan akkor létezik (skalár)potenciálja, ha rotációja nulla.
    Felületek
    Felület, paraméterezése, irányíthatósága. Érintő sík; a felületen haladó görbék érintői benne haladnak. Felszín. Független a paraméterezéstől. Fluxus: vektormező skalárértékű felületi integrálja. Kiszámítása.

    7. Előadás

    Források és nyelők. A divergencia értelmezése és kiszámításának módja.
    Az operátorokkal végzett műveletek számolási szabályai.
    (Különféle szorzatok és kompozíciók. grad(|r|), div(r), rot(r).) Laplace-operátor: div grad.
    Többváltozós integrálás
  • a) Helyettesítéses integrálás.
  • b) Newton-Leibniz-tétel 3 dimenzióban. Newton-Leibniz-tétel 2 dimenzióban.
  • c) Parciális integrálás térben, síkon.
  • d) Gauss-Osztrogradszkij-tétel és kétdimenziós analógja.
  • e) Green-formulák.
  • f) Rotációtétel.
  • g) Gradienstétel.
  • h) Stokes-tétel.

    • 8. Előadás

    Potenciálos <=> örvénymentes <=> konzervatív. Forrásmentes vektormező. Vektorpotenciál. Ha létezik vektorpotenciál, akkor forrásmentes. Egyszeresen összefüggő térbeli tartomány. (Példák.) (Egyszeresen összefüggő tartományon) Van vektorpotenciálja <=> forrásmentes <=> minden zárt felületre vett fluxusa nulla. Példa a Gauss-Osztrogradszkij-tétel és a Stokes-tétel alkalmazására.

    Komplex függvénytan

    Ajánlott irodalom: a Babcsányi és mtsai által írott példatárak Matematika feladatgyűjtemény II.-III. (075002,3), Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1997, valamint Kónya Ilona tanárnő feladatokat is tartalmazó honlapja.
    Deriválás
    Műveletek, sorozatok és sorok határértéke, függvények határértéke, folytonossága, differenciálhatósága (lineáris közelítés!). A fentiek kapcsolata a műveletekkel. A Cauchy-Riemann-egyenletek. Reguláris és harmonikus függvények. Harmonikus társ, létezése, egyértelműsége. Ha u harmonikus társa v, akkor -v harmonikus társa u. grad u forrás és örvénymentes síkmező. Komplex potenciál.

    9. Előadás

    Legyen a forrás és örvénymentes v síkmező komplex potenciálja u+jv. Akkor a) v szintvonalai v erővonalai; b) u szintvonalai (az ekvipotenciális vonalak) merőlegesek az erővonalakra.
    Leképezések
    Lineáris függvény, reciprokfüggvény (inverzió és tükrözés). Körök és egyenesek képe a reciprokfüggvénynél. Lineáris törtfüggvény. Körök és egyenesek képe lineáris törtfüggvénynél. Kögyenesre inverz pontpár képe kögyenesre nézve inverz pontpár. A lineáris törtfüggvények kettősviszonytartóak (tehát három pont képe meghatározza őket). Néhány speciális lineáris törtfüggvény. z|-->z^n, z|-->z^(1/n). Az exponenciális függvény értelmezése és tulajdonságai. Az exp függvény 0-t nem vesz fel, bármi mást végtelen sokszor. Sáv képe exp-nél. Logaritmus. Reguláris függvény. Minek a képe sáv? Trigonometriai függvények. sin, cos, tg, ctg regularitása. Goniometriai összefüggések. Félsáv képe sin és cos-nál. Trigonometriai függvények inverzei. Hiperbolikus függvények és inverzük; tualjdonságaik. Hatványfüggvény. Tartományok leképezése általában
  • Tartomány képe nemkonstans függvénynél tartomány.
  • Határ reguláris képe a kép határa.
  • A kerület iránya megmarad.
  • Görbék szöge megmarad, ha metszéspontjukban a derivált nem nulla.
  • Kölcsönösen egyértelmű függvény deriváltja nem veszi föl a nullát.
  • Ha a derivált nullától különböző, akkor alkalmas környezetben a függvény kölcsönösen egyértelmű.

    • 10. Előadás

    Integrálás
    Lesz a 2. zhban! Az elmélet itt van, a feladatok meg itt.

    11. Előadás

    Komplex hatványsorok
    Cauchy-Hadamard-tétel. Hatványsor összegfüggvényét előállítja a Taylor-sora. A Taylor-sor együtthatói. Példák. Laurent-sor, reguláris rész, fő rész. Gyűrűn reguláris függvény ott egyértelműen Laurent-sorba fejthető. Példák. n-szeres gyök. Reguláris függvény gyökeinek tulajdonságai, illetve elhelyezkedése. Izolált szingularitás, megszüntethető, n-edrendű pólus, lényeges szingularitás. Korlátos reguláris függvény szingularitása megszüntethető. Pólus: véges rendű. Izolált szingularitások jellemzése Laurent-sorral. Pólus és gyök kapcsolata. Picard tétele. Példák. Reziduum. Kiszámolásának módjai különféle szingularitásokban. Példák. A reziduum-tétel.

    12. Előadás

    Gyök és pólus multiplicitásának kiszámolása a rezidumm segítségével. Az argumentum-elv.
  • Számítógépes bemutató: Mathematica használata a vektoranalízisben és a komplex függvénytanban. Ugyanez zippelt htmlben. Persze, kimarad: Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek stabilitása. Stabilis polinomok. Csillapított rezgések, kényszerrezgés. Maxwell-egyenletek.

    A gyakorlatok anyaga

    Folyamatosan fölkerül, a gyakorlatvezetőktől és tőlem értesülnek, hogy pontosan mikor hol állunk.
  • Az első két gyakorlat anyaga, .pdf.
  • Az első két gyakorlat anyaga, .ps.
  • A harmadik gyakorlat anyaga, .pdf.
  • A harmadik gyakorlat anyaga, .ps.
  • A negyedik gyakorlat anyaga, .pdf.
  • A negyedik gyakorlat anyaga, .ps.
  • Az ötödik gyakorlat anyaga, .pdf.
  • Az ötödik gyakorlat anyaga, .ps.
  • A hatodik gyakorlat anyaga, .pdf.
  • A hatodik gyakorlat anyaga, .ps.
  • A hetedik gyakorlat anyaga, .pdf.
  • A hetedik gyakorlat anyaga, .ps.
  • A nyolcadik gyakorlat anyaga, .pdf.
  • A nyolcadik gyakorlat anyaga, .ps.
  • A kilencedik gyakorlat anyaga, .pdf.
  • A kilencedik gyakorlat anyaga, .ps.
  • Kiegészítés, fontos, mégis szorgalmi, .pdf.
  • Kiegészítés, fontos, mégis szorgalmi, .ps.
  • A tizedik gyakorlat anyaga, .pdf.
  • A tizedik gyakorlat anyaga, .ps.
  • A tizenegyedik gyakorlat anyaga, .pdf.
  • A tizenegyedik gyakorlat anyaga, .ps.
  • A tizenkettedik gyakorlat anyaga, .pdf.
  • A tizenkettedik gyakorlat anyaga, .ps.
  • A tizenharmadik gyakorlat anyaga, .pdf.
  • A tizenharmadik gyakorlat anyaga, .ps.

    • Hogy állunk?

    A mellékelt listában az előadásokon kitűzött, a rákövetkező héten beadandó feladatokból álló pontverseny aktuális állása látható. Az itt elért eredmény a vizsgán szerzett eredményeket pozitív irányban befolyásolhatja (az aláírás megszerzése nem helyettesíthető vele); kb. így: a pontverseny győztese(i) kap(nak) öt pontot, az utána következők négyet, stb.

    Követelmények

    Zárthelyik

    A szemeszter során a három kurzus részére közösen (azonos feladatokkal, azonos időben és helyen) két zárthelyi dolgozatot íratunk, 20-20 pontért; a gyakorlatokon pedig rendszeresen 5-10 perc időt igénybe vevő rövid dolgozatokat íratunk. Ezek és a gyakorlatokon való szereplés alapján a gyakorlatvezetők legfeljebb öt pontot adhatnak.

    A zárthelyik időpontja

  • 1. ZH: nov. 3. (8. hét)
  • 2. ZH: dec.1. (12. hét)
    • Amiként az elsőt az Aud Maxban írták az én hallgatóim, előreláthatólag a másodikat is ott fogják írni, és ismét 14 órakor. Pótzh: az is lesz, az egész félévi, de gyakorlaton már átvett anaygból, a vizsgán persze az át nem vett anyag is szerepel.

    A zárthelyik témája

  • 1. ZH: Differenciálegyenletek. Szeparábilis és szeparábilisra visszavezetheto d.e.-ek, egzakt d.e.-ek megoldása. Kezdetiérték-probléma. Lineáris differenciálegyenletek megoldásának általános alakja. Elsőrendű lineáris függvényegyütthatós d.e.-ek általános megoldása. Másodrendű állandó együtthatós d.e.-ek általános megoldása. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldása. Laplace-transzformáció. Lineáris differenciálegyenletek és -rendszerek megoldása Laplace-transzformációval. Görbék és felületek, vonal- és felületi integrál. Fluxus, cirkuláció.
  • 2. ZH: Divergencia és rotáció. A vektoranalízis integráltételei és alkalmazásaik. Skalárpotenciál. Potenciálkeresés és egzakt differenciálegyenlet. Komplex algebra. Komplex függvények folytonossága és differenciálhatósága. Elemi függvények. Harmonikus függvények. Komplex integrál. A Cauchy-integráltétel. Newton-Leibniz-formula. Cauchy-féle integrálformulák. Taylor-sorok, Laurent-sorok. Izolált szinguláris helyek osztályozása. Reziduum.
    • A ZH-kat kurzustól függetlenül javítjuk.
  • Az első mintazárthelyi, .pdf.
  • Az első mintazárthelyi, .ps.
    • Felhívom a figyelmet arra, hogy az előadásokon és gyakorlatokon elhangzott összes anyag tárgya a zárthelyinek, tehát azon belül az igazi zh jelentősen eltérhet a mintától, inkább a szerkezete látszik itt. Egyébként inkább feladatokat érdemes megoldani, sokat, mint ezt nézegetni túl sokáig.

    Vizsgára bocsátás, aláírás

    Vizsgára bocsátható (aláírást kaphat) az a hallgató, aki a zárthelyiken elérhető pontok összességében legalább 30%-át megszerzi. Kétes esetekben a gyakorlatokon íratott rövid dolgozatok eredménye dönti el az aláírás megadását, illetve az évközi eredményt. A szorgalmi időszak végén egy alkalommal a három kurzus számára közös pótzárthelyit tartunk december 11-én, a K133-ban 18 és 20 óra között, melynek értékelése kétfokozatú: megfelelt (=30%), ill. nem felelt meg. Azok a hallgatók, akik korábban szereztek aláírást, választhatnak az alábbi két lehetőség között:
  • Nem írják újra a zárthelyiket, ekkor a vizsgajegy megállapításánál félévközi munkájukat az aláírás megszerzésének minimális szintjének, vagyis 30%-nak fogjuk tekinteni.
  • Újra megírják a zárthelyi dolgozatokat, akkor az ott elért eredményt fogjuk figyelembe venni.

    • Vizsga, osztályzás

    A félév végén írásbeli vizsgákat tartunk szintén a három kurzus számára azonos időpontban és helyen, a vizsgadolgozatokat kurzustól függetlenül javítjuk.

    A vizsgák beosztása

    Ezt állandóan nézegetni kell, mert a felsőbb hatalmak folyamatosan változtatják.
    Nap Időpont   Helyszín
    2007. január 2. kedd10-12Konzultáció Ka 66
    2007. január 3. szerda13-16Írásbeli vizsga K 221
    2007. január 4. csütörtök13-14Jegybeírás, szóbeli H 311
    2007. január 9. kedd10-12Konzultáció V2 628A
    2007. január 10. szerda8-11Írásbeli vizsga IB 027:A-K, IB 028:L-Zs
    2007. január 11. csütörtök13-14Jegybeírás, szóbeli H 311
    2007. január 16. kedd10-12Konzultáció Z 208
    2007. január 17. szerda10-13Írásbeli vizsga Ch Max
    2007. január 18. csütörtök13-14Jegybeírás, szóbeli H 311
    2007. január 23. kedd9-11Konzultáció V2 628A
    2007. január 24. szerda8-11Írásbeli vizsga IB 027:A-K, IB 028:L-Zs
    2007. január 25. csütörtök17-18Jegybeírás, szóbeli H 311
    Az írásbeli vizsga mindenki számára kötelező. A vizsga eredménye a félévközi teljesítményt 40%-os, a vizsgát pedig 60%-os súllyal számítva alakul ki. (A vizsgán is el kell érni a 30%ot, azaz 18 pontot!) Az így kialakult átlagot a következő módon értékeljük:
  • 40% alatt 1,
  • 40-54 szóbelizni kell a kettesért az alábbi elemi definíciókból, tételekből. Három - különböző csoportból feltett - kérdés közül legalább kettőre kell tudni válaszolni. Ezek a szóbelik az írásbeli javításához hasonlóan kurzusfüggetlenek.
  • 55-69 megajánlott 2;
  • 70 felett megajánlott 3.
    • A megajánlottnál jobbért és négyes-ötösért szóbelizni kell, de ekkor már rendesen az előadás anyagából. Ezek a szóbelik kurzusonként zajlanak: mindenki a saját tanítványait vizsgáztatja. Én a következő kérdéslistából fogok adni kettőt:

    Vizsgakérdések

  • 1. Differenciálegyenletre vezető feladatok
  • 2. Elemi kvalitatív és kvantitatív módszerek
  • 3. Egyszerű típusok megoldása
  • 4. Elsőrendű lineáris egyenletek. Az állandók variálásának módszere
  • 5. Egzakt egyenletek, integráló tényező
  • 6. Közelítő módszerek
  • 7. Elsőrendű lineáris egyenletrendszerek megoldása különböző sajátértékek esetén
  • 8. Magasabb rendű lineáris állandó együtthatós egyenletek megoldása
  • 9. A Laplace-transzformáció és alkalmazása lineáris egyenletekre és rendszerekre
  • 10. Általános definíciók, egzisztencia- és unicitástételek
  • 11. Vektorváltozós vektorértékű függvények
  • 12. Görbe, egyenes, egyenesszakasz, érintőegyenes
  • 13. Vektormező integrálja sima elemi görbe mentén
  • 14. Potenciálos vektormező, skalárpotenciál. Newton-Leibniz-tétel
  • 15. Rotáció értelmezése és kiszámítása, értéke potenciálos erőtérben
  • 16. Felület, paraméterezése, irányíthatósága, érintő sík, felszín, fluxus
  • 17. A divergencia értelmezése és kiszámításának módja.
  • 18. Az operátorokkal végzett műveletek számolási szabályai
  • 19. Helyettesítéses integrálás, Newton-Leibniz-tételek, parciális integrálás térben, síkon
  • 20. Gauss-Osztrogradszkij-tétel és kétdimenziós analógja
  • 21. Green-formulák, rotációtétel
  • 22. Gradienstétel, Stokes-tétel
  • 23. Forrásmentes vektormező. Vektorpotenciál
  • 24. Cauchy-Riemann-egyenletek. Reguláris és harmonikus függvények. Harmonikus társ, létezése, egyértelműsége. Komplex potenciál
  • 25. Forrás és örvénymentes síkmező komplex potenciálja
  • 26. Körök és egyenesek képe lineáris törtfüggvénynél
  • 27. Az exponenciális függvény értelmezése és tulajdonságai. Logaritmus. Reguláris függvény. Trigonometriai függvények regularitása. Goniometriai összefüggések. Trigonometriai függvények inverzei. Hiperbolikus függvények és inverzük. Hatványfüggvény.
  • 28. Tartományok leképezése általában
  • 29. Taylor-sor, Laurent-sor.
  • 30. Reguláris függvény gyökeinek tulajdonságai, illetve elhelyezkedése
  • 31. Izolált szingularitások típusai és jellemzésük Laurent-sorral
  • 32. Pólus és gyök kapcsolata. Picard tétele
  • 33. A reziduum értelmezése és kiszámolásának módjai különféle szingularitásokban. A reziduum-tétel.
  • 34. Gyök és pólus multiplicitásának kiszámolása a rezidumm segítségével. Az argumentum-elv
    • A vizsga egy nap alatt zajlik le: az írásbeli rész után javítas, majd szóbeli, de szóbelizni nem kötelező az írásbeli napján, más vizsgaalkalmakkor is lehet. Végül pedig egy tanulságos hiba következik az első vizsganapról: Bizony.

    Segédanyagok

    A differenciálegyenletekről szóló kb. 4 előadáshoz:
  • Tóth J., Simon P.: Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, TYPOTEX Kiadó, Budapest, 2005. Az első 6 fejezet bőségesen lefedi az anyagunkat, leírom, hogy mi az amit - fájdalom - ki fogunk hagyni: 2.5, 2.6, 3.7, 3.8, 4.4, 5.3.3-tól az 5. fejezet végéig, 6.2.2, 6.5. Egyszerűbben fogom elmondani a 3.5-öt, 4.2-t.

    • Illusztrációk az első néhány előadáshoz Vecsei Balázstól meg tőlem:

  • Differenciálegyenletek.

    • Illusztrációk a vektoranalízis és a komplex függvénytan témaköréből Vecsei Balázstól meg tőlem:

  • Vektoranalízis, komplex függvénytan.

    • Ezek Mathematica jegyzetfüzetek. Olvasásukhoz le kell tölteni a MathReader elnevezésű programot innen.

    Tóth János
     

    A Matematika A3 c. tantárgy előadója
    Vissza a magyar nyelvű változat elejére