2010 őszén TDK-ztam, röviden a témáról:
A matematikában (sokszor fizikai motivációval) fontos lehet bizonyos függvények közelítése olyanokkal, melyek „szebb” tulajdonságokkal rendelkezek (pl. végtelen sokszor differenciálhatóak stb.). Az ilyen közelítésekkel foglalkozik az approximációelmélet. Ennek egyik legfontosabb alapkérdése, hogy adott függvénytéren mely függvényosztály elemeivel lehetséges az approximáció, ami azzal ekvivalens, hogy egy függvényosztály elemei sűrű alteret alkotnak-e a térben. Az első ilyen tétel Weierstrass nevéhez kötődik: approximációs tétele szerint a polinomok sűrű alteret alkotnak C[0,1]-en a szokásos szuprémumnormával. Később több általánosítás is született: Bernstein 1912-ben felvetett problémájára teljes megoldást adott Ch. H. Müntz, 1914-es dolgozatában szükséges és elégséges feltételt mutatott a [0,1] intervallumon a polinomok általánosításaként felfogható rendszer (Müntz-polinomok) sűrűségére. Az ilyen jellegű tételeket azóta Müntz-típusú tételeknek nevezzük.
A függvények értelmezési tartományának végtelenre való kiterjesztésével felmerül a tér súlyozásának kérdése. Dolgozatomban a súlyfüggvények egy rendkívül általános osztályával súlyozott L2(0,∞) téren igazolok Müntz-típusú tételeket, G. Horváth Ágota és E. Zikkos cikkei által motiválva. Előbbi Müntz-polinomokra igazolt ilyen tételeket meglehetősen általános súlyfüggvényekkel, utóbbi pedig a sorozatok egy multiplicitással ellátott osztálya által definiált altérre tette ugyanezt, de speciálisabb súlyfüggvényekkel. A multiplicitással ellátott sorozatok bizonyos értelemben előrelépést jelentenek a hagyományos sorozatokkal szemben, a legszembetűnőbb tulajdonságuk pl. az, hogy a sorozat elemeinek multiplicitása tarthat végtelenhez.
A mostani munka egyesíti a fent említett két cikk előnyeit: a súlyfüggvények általánosabbak, mint Zikkos cikkében, ugyanakkor megjelennek a multiplicitással ellátott sorozatok. A dolgozatban 3 tételt bizonyítok be, illetve a bizonyítás általános jellegéből adódóan egy negyediket mondok ki, mely teljesen hasonlóan belátható. A bizonyítások alapvetően analitikusak, legfontosabb sarokkövük a funkcionálanalízisből ismert Hahn–Banach-tétel egy következménye, Riesz Frigyes reprezentációs tétele, valamint a félsíkon reguláris függvények növekedésének vizsgálata.
Ily módon tehát új approximációs tételeket nyerünk, melyek általánosabbak az eddig hasonló témakörben tárgyaltaknál, mind súlyfüggvény, mind altér szempontjából. A bizonyítások technikája kapcsán további kérdéseket is felvetek, mint pl. a tételek esetleges érvényessége általános súlyozott L^p(0, ∞) terek esetén.
Eredmények: Kari TDK Konferencia, BME-TTK, 2010. 11. 17.: I. díj, Alkalmazott matematikáért különdíj.
Maga a dolgozat:
Müntz-típusú tételek súlyozott L^2(0,∞) terekben multiplicitással