#A leadott anyagfeladatok
1. Többváltozós függvény ábrázolása, szintvonalak, nyeregfelület
Pontsorozat konvergenciája. Topológiai alapfogalmak: belső, külső, határpont, torlódási pont, nyílt, zárt halmaz, halmaz lezártja		 [2], 86.o., [5] 9-11
[4], 167-168.
2.Cantor metszettétel. Kompakt halmaz, Borel tétele. Halmazok távolsága.
Függvényhatárérték, tulajdonságai. Folytonosság, egyenletes folytonosság.
Parciális deriválás. Differenciálhatóság definíciója.		[4], 167-168.
[2] 86-91, [3] 14/1-2, [4] 170-172, [5] 11-12
[2] 91-97, [3] 14/5-7, [4] 173, [5] 13-14
3.Differenciálhatóság elégséges feltétele. Érintősík. Gradiensvektor. Iránymenti derivált. Differenciál.
Lagrange középértéktétel. Magasabbrendű deriváltak, Young tétele. Közvetett függvény deriválása. Vektorértékű függvények deriválása, láncszabály általános alakja. 		[2] 98-108, [3] 14/5-11, 15/3, [4] 173-178, 180-181, [5] 13-17, 19-21
[2] 98-108, [3] 14/5-11, 15/3, [4] 173-178, 180-181, [5] 13-17, 19-21
4.Magasabbrendű differenciálok. Taylor-polinom, a maradéktag Lagrange-alakja. Az első differenciál közelítésének hibabecslése.A Taylor-polinom közelítésének rendje.
Kvadratikus alakok definitása. Lokális szélsőérték vizsgálata az első és második differenciállal.
Implicit megadású függvények létezése, deriváltja. Implicit görbe érintőegyenese, implicit felület érintő-hipersíkja.		[3] 15/4-5, [4] 176-180
[2] 109-113, [3] 15/5-10, [4] 176-180, [5] 22-25
[3] 15/8, [4] 176-180
5.(Egy előadás) Feltételes szélsőérték, Lagrange-féle multiplikátor. Inverzfüggvény-tétel.[3] 15/8-10, [4] 179, [5] 22-25.
6.Jordan-mérték, külső és belső mérték. A Jordan-mérték tulajdonságai.
Többváltozós integrálás: felosztás, alsó és felső összegek, integrál. Az integrálhatóság jellemzése Jordan-mértékkel.
Integrál visszavezetése kevesebb változós integrálra. Az integrálások sorrendjének cseréje. Helyettesítéses integrálás, polárkoordinátás és egyéb helyettesítések.		 [2] 113-126, [3] 16/1-12, [4] 185-190, [5] 30-37.
[2] 113-126, [3] 16/1-12, [4] 185-190, [5] 30-37.
[2] 113-126, [3] 16/1-12, [4] 185-190, [5] 30-37.
7.Gömbi és hengerkoordináták. Irányított görbe fogalma. Skalárértékű görbementi integrál, kiszámítása paraméterezéssel. Az irányítás megfordítása.[2] 113-126, [3] 16/1-12, [4] 185-190, [5] 30-37.
8.Skalárpotenciál, görbementi integrál kiszámítása potenciálos térben. Homotóp görbék. Ívszerűen egyszeresen összefüggő tartomány. Feltételek skalárpotenciál létezésére. Skalárpotenciál számolás.[3] 18/4-6, 18/12
9.Jordan görbetétele. Irányított görbe. Green tétele. Területszámítás vonalintegrállal. Ívhossz szerinti integrálás. Külső normális egységvektor. Parciális integrálás két változóban
Felszín, felszín szerinti integrálás. Irányított felület. Möbius-szalag. Vektormező felületi integrálja (fluxus). Parciális integrálás 3 dimenzióban. Gauss-Osztrogradszkij tétel.		[3] 18/4-6, [4] 198-200
[3] 18/7-12, [4] 198-200.
10.Rotáció. Nabla formalizmus, számolási szabályok (div, rot, grad, Laplace operátor). Stokes tétel. Div és rot koordinátamentes (invariáns) értelmezése.
Rotációmentes vektormező jellemzése. Vektorpotenciál. Egyszeresen összefüggő tartomány. Divergenciamentes vektormező jellemzése. Divergencia- és rotációmentes vektormező. Helmholtz tétele.
11.
12.
13.
14.
#Segédanyagok
[1]Laczkovich Miklós, T. Sós Vera: Valós analízis II., Typotex, 2013.
[2]Pataki Gergely, Kónya Ilona, Fritz Józsefné, Tasnádi Tamás: Analízis 2. informatikusoknak, gyakorlat pdf
[3]Babcsányi, Gyurmánczi, Wettl, Zibolen: Matematika feladatgyűjtemény II. pdf
[4]Fehér, Kós, Tóth: Analízis feladatgyűjtemény II. pdf
[5]Monostory: Többváltozós valós függvények pdf