MATEMATIKUS BSC ZÁRÓVIZSGA TÉTELSOROK -- 2014
(A) ALGEBRA, DISZKRÉT MATEMATIKA, GEOMETRIA TÉTELSOR
- Algebra I
- A-1 A csoport fogalma (részcsoportok, normálosztók, izomorfizmustételek)
- A-2 Nevezetes részcsoportok, permutációcsoportok
- A-3 Abel-csoportok és szabad csoportok
- A-4 p-csoportok, Sylow-tételkör
- A-5 Polinomgyűrű, F[x] és Z ideáljai és faktorai
- A-6 A testelmélet alapjai
- Diszkrét matematika és algoritmusok
- A-7 Adatrendezési módszerek
- A-8 A keresés alapvető módszerei, adatszerkezetei
- A-9 Legrövidebb utak gráfokban
- A-10 Minimális súlyú feszítőfák keresése gráfokban,
maximális méretű párosítások keresése páros gráfokban
- A-11 Az NP fogalma, nevezetes NP-beli feladatok
- A-12 NP-teljesség
- A-13 Algoritmus-tervezési módszerek
- Geometria
- A-14 A geometria axiomatikus felépítése, az
axiómacsoportok szerepe, alapvető példák és érdekes konstrukciók.
- A-15 n-dimenziós euklideszi tér
- A-16 Kollineációk és lineáris
transzformációk
- A-17 Másodrendű görbék és felületek
- A-18 Konvex poliéderek
- A-19 Projektív geometria
- A-20 Görbék és felületek
differenciálgeometriája a 3-dimenziós euklideszi térben*
* A görbeelmélet alaptétele, a felületelmélet alaptétele,
theorema egregium és az ezekben szereplő fogalmak ismertetése.
(B) ANALÍZIS, VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA, OPERÁCIÓKUTATÁS, FOLYTONOS MATEMATIKA TÉTELSOR
- Analízis
- B-1 Határérték, folytonosság, differenciálhatóság egy-
és többváltozós valós függvényekre. Abszolút folytonos függvények.
- B-2 Metrikus terek topológiája.
- B-3 Felcserélési tételek az analízisben
(deriválás-integrálás-konvergencia, minden párosításban).
- B-4 Fourier-sorok. Fourier-sor
részletösszegeinek pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Fejér tétele
a Fourier-sor konvergenciájáról.
- B-5 Függvények Taylor-sorfejtése valós illetve egy
komplex változóban. Laurent-sorok.
- B-6 Normált és Banach-terek. Normák
ekvivalenciája. Konvergens és abszolút konvergens sorok normált terekben.
Lokálisan kompakt normált terek. Operátornorma és tulajdonságai.
- B-7 Komplex függvények deriválása és vonalintegrálja,
kapcsolatok a valós kétváltozós analízissel.
- Numerikus módszerek és differenciálegyenletek
- B-8 Mátrixok felbontásai szorzat alakban
(LU, Cholesky, QR) és felhasználásuk a numerikus lineáris algebrában.
- B-9 Interpoláció polinommal, trigonometrikus polinommal,
spline függvénnyel.
- B-10 Közönséges differenciálegyenlet
kezdetiérték-feladatának korrekt kitűzöttsége, diszkretizációs közelítő
módszerei (explicit Euler, implicit Euler, negyedrendű explicit
Runge–Kutta).
- B-11 Síkbeli autonóm közönséges differenciálegyenletek
fázisportréja az egyensúlyi helyzetek környezetében.
- B-12 Stabilitás, aszimptotikus stabilitás,
Ljapunov-függvények.
- Operációkutatás:
- B-13 Poliéderek, politopok,
szeparáció, Farkas-lemma és dualitástételek, szimplex módszer.
- B-14 Szimplex módszer variánsai,
hálózati szimplex módszer, hozzárendelési feladat, magyar módszer, PERT.
- Valószínűségszámítás és matematikai statisztika
- B-15 Együttes és feltételes eloszlás. Várható érték
vektor, kovarianciamátrix. A többdimenziós normális eloszlás.
- B-16 Valószínűségszámítási egyenlőtlenségek és
alkalmazásaik. Nagy számok gyenge törvénye.
- B-17 Stirling-formula, DeMoivre–Laplace-tétel és
alkalmazásaik.
- B-18 Diszkrét Markov-láncok, rekurrencia,
stacionáris állapot, határeloszlás-tétel.
- B-19 Statisztikai próbák általános elmélete. Egyenletesen
legerősebb próbák, Neyman–Pearson-alaptétel és kiterjesztése összetett
hipotézisek vizsgálatára.
- B-20 Pontbecslési módszerek (momentumok, maximum
likelihood, Bayes). A maximum likelihood becslés aszimptotikus viselkedése,
Cramér–Dugué-tétel és következményei.
MATEMATIKUS BSC ZÁRÓVIZSGA TÉTELSOROK -- 2009
(A) ALGEBRA, DISZKRÉT MATEMATIKA, GEOMETRIA TÉTELSOR
- Algebra I
- A-1 A csoport fogalma (részcsoportok, normálosztók, izomorfizmustételek)
- A-2 Nevezetes részcsoportok, permutáció-csoportok
- A-3 Abel csoportok és szabad csoportok
- A-4 p-csoportok, Sylow-tételkör
- A-5 Polinomgyűrű, F[x] és Z ideáljai és faktorai
- A-6 A testelmélet alapjai
- Diszkrét matematika és algoritmusok
- A-7 Adatrendezési módszerek
- A-8 A keresés alapvető módszerei, adatszerkezetei
- A-9 Legrövidebb utak gráfokban
- A-10 Minimális súlyu feszítőfák keresése gráfokban, maximális méretű párosítások keresése páros gráfokban
- A-11 Az NP fogalma, nevezetes NP-beli feladatok
- A-12 NP-teljesség
- A-13 Algoritmus-tervezési módszerek
- Geometria
- A-14 A geometria axiomatikus felépítése, az axiómacsoportok szerepe, alapveto példák és érdekes konstrukciók.
- A-15 3-dimenziós abszolút geometria
- A-16 n-dimenziós euklideszi tér
- A-17 Kollineációk és lineáris transzformációk
- A-18 Másodrendű görbék és felületek
- A-19 Konvex poliéderek
- A-20 Projektív geometria
(B) ANALÍZIS, VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA, OPERÁCIÓKUTATÁS, FOLYTONOS MATEMATIKA TÉTELSOR
- Analízis
- B-1 Határérték, folytonosság, differenciálhatóság egy- és többváltozós valós függvényekre. Abszolút folytonos függvények.
- B-2 Metrikus terek topológiája.
- B-3 Felcserélési tételek az analízisben (deriválás-integrálás-konvergencia, minden párosításban).
- B-4 Fourier-sorok egyenletes és négyzetes konvergenciája, Parseval formula.
- B-5 Függvények Taylor-sorfejtése valós illetve egy komplex változóban. Laurent-sorok.
- B-6 Gradiens, divergencia, rotáció, Jacobi-determináns és a vonatkozó integráltranszformációs tételek.
- B-7 Komplex függvények deriválása és vonalintegrálja, kapcsolatok a valós kétváltozós analízissel.
- Numerikus módszerek és differenciálegyenletek
- B-8 Mátrixok felbontásai szorzat alakban (LU, Cholesky, QR) és felhasználásuk a numerikus lineáris algebrában.
- B-9 Interpoláció polinommal, trigonometrikus polinommal, spline függvénnyel.
- B-10 Közönséges differenciálegyenlet kezdetiérték-feladatának korrekt kitűzöttsége, diszkretizációs közelítő módszerei (explicit Euler, implicit Euler, negyedrendű explicit Runge-Kutta).
- B-11 Síkbeli autonóm közönséges differenciálegyenletek fázisportréja az egyensúlyi helyzetek környezetében.
- B-12 Stabilitás, aszimptotikus stabilitás, Ljapunov-függvények.
- Operációkutatás:
- B-13 A lineáris programozás szimplex módszere.
- B-14 Nemlineáris programozás (az optimalitás szükséges feltétele, konvex programozás).
- Valószínűségszámítás és matematikai statisztika
- B-15 Együttes és feltételes eloszlás. Várható érték vektor, kovariancia mátrix. A több-dimenziós normális eloszlás.
- B-16 Valószínűségszámítási egyenlőtlenségek és alkalmazásaik. Nagy számok gyenge törvénye.
- B-17 Stirling-formula, DeMoivre-Laplace-tétel és alkalmazásaik.
- B-18 Karakterisztikus függvények, tulajdonságaik és alkalmazásaik.
- B-19 Statisztikai próbák általános elmélete. Egyenletesen legerősebb próbák, Neyman-Pearson-alaptétel és kiterjesztése összetett hipotézisek vizsgálatára.
- B-20 Pontbecslési módszerek (momentumok, maximum likelihood, Bayes). A maximum likelihood becslés aszimptotikus viselkedése, Cramér-Dugué-tétel és következményei.