% Megjegyzéseket (kommenteket) % után írhatunk
% A TeX amint egy % jelet talál, akkor nem veszi 
% figyelembe az adott sorban a % jel utáni részt,

% Az első parancs: definiáljuk a dokumentumunk típusát (osztályát), 
% ami lehet: article, book, report, slides, letter... és még számtalan más.
% A kiadható parancsok függnek a dokumentum típusától is,
% pl. a \chapter csak book-ban működik, article-ben nem.

\documentclass{article} 

% Betöltjük a csomagokat a \usepackage segítségével:

%\usepackage{fullpage}        % szélesebb szedéstükör -- ha ki akarjuk
                             % nyomtatni, és spórolunk a papírral!
                             % Ekkor vegyük ki a %-jelet a sor elejéről!

\usepackage[T1]{fontenc}     % belső kódrendszer beállítása
\usepackage[utf8]{inputenc}  % input kódolás
\usepackage[magyar]{babel}   % nyelv

\usepackage{amsmath,amssymb} % AMS matematikai és fontcsomag
\usepackage{amsthm}          % AMS tételszerű környezetek

\usepackage{graphicx}        % az ábrák betöltéséhez

\usepackage{refcheck}        % \label címkéit a margóra írja, szerkesztés
                             % közben segít áttekinteni a címkéket, a végén 
                             % ki-%-oljuk, vagy kitöröljük.

\newtheorem{tet}{tétel}[section]  % egy tételszerű környezet, itt a
                             % section sorszáma is benne van a tétel sorszámában
                             % pl. 2.1, 2.2, 2.3,...

\newtheorem{lem}[tet]{lemma} % A tétel és a lemma számlálója legyen közös

\theoremstyle{definition}    % Az amsthm parancsa, az ezután
                             % \newtheorem-mel definiált tételszerű
                             % környezetek kevésbé kiemelt tipográfiát
                             % kapnak. A legalacsonyabb szintet kapjuk
                             % a \theoremstyle{remark} parancs után,
                             % az alapértelmezés: \theoremstyle{plain}

\newtheorem{dfn}{definíció}  % Önálló sorszámozás, és nincs section
                             % sorszám benne, azaz sorszámozása 1, 2,...

\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}} % új matematikai operátor
\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}        % más módon (az amsmath parancsával)

                             % definiáljunk új parancsot a 
\newcommand{\vect}{\mathbf}  % vektorokhoz félkövér betűket használjunk
\newcommand{\mtrx}{\mathbf}  % mátrixokhoz ugyancsak

                             % Ha egy szót rosszul választana el,
                             % akkor megadhatjuk a helyes elválasztást: 
\hyphenation{meg-e-gyez-nek ke-rék-pár-út}


\title{Mintapélda}           % a mű címe
\author{Szerzők, Hát Mi}     % Szerzők felsorolása (itt a BME oktatói)
\date{2010. november 12.}    % Ha nem töltjük ki, akkor fordításkor a
                             % mai dátumot illeszti be 

\begin{document}

\maketitle                   % Ennek hatására elkészíti a címet

\tableofcontents             % Tartalomjegyzéket készít, és ide illeszti


% Nagyobb dolgozatnak kivonatot is készíthetünk:
\begin{abstract}
  Ebben a dolgozatban megszerkesztünk néhány képletet, és leírunk
  néhány tételt.
\end{abstract}


                             % Fejezet, alfejezet megfelelője a
                             % section, subsection 
\section{Ismerkedés a \LaTeX\ programmal}\label{sec:ismerkedes}

\subsection{Példák bekezdésekre, kiemelésre, elválasztásra}\label{sub:bekezdes}

Ez egy bekezdés. A bemeneten (azaz az inputban) 
az extra                                          szóközök, 
               sortörések, tabulátor        karakterek nem számítanak,
csak ha két újsor karakter követi egymást, mert az üres sort
eredményez, ami új bekezdést kezd a kimeneten (outputon).
A fejezet első bekezdését a \LaTeX\ alapértelmezésben nem húzza
beljebb, de a \verb.\usepackage{indentfirst}. parancs hatására igen.

Ez egy új bekezdés. Elég volt két enter-t nyomni hozzá, hogy
keletkezzen egy üres sor az inputban. (Végszükség esetén eltörhető egy
sor a \verb.\\. paranccsal, de ezt normál szövegben \emph{sose}
használjuk!)
% Figyeljük meg, hogy a \emph kiemeli a szöveget, itt kurzívvá tette

Már nem volt a szarkánál kar\-ó\-ra, mikor felrepült a ka\-ró\-ra.
% A karóra szót a \- jellel megjelölt részeknél választhatja el, ha az
% a sor végére kerül.

Néhány ligatúra: Puff! Oda a maffia mafla fia! Figyeljük meg, hogy az
\emph{ff}, \emph{ffi}, \emph{fl}, \emph{fi} esetekben összelógnak a
betűk. Repülő ékezetek használata: D\'ult \'arv\'iz, t\H{u}zv\'esz,
j\"ott g\"um\H{o}k\'or.

A szövegszerkesztőtől függ, hogy a bement sorai végére tesz-e sorvége
karaktert. A TeXnicCenter például nem tesz, ebben az állományban
viszont vannak.

\Aref{sec:ismerkedes}.~szakasz és \aref{sub:bekezdes}.~alszakasz
\apageref{sub:bekezdes}.~oldalon van.

\subsection{Ábrák}

Az úszó objektum beillesztésére a \texttt{figure} környezet
használandó. Ide fogom tenni az ábrát a forrásállományban, de nem
biztos, hogy ide fog kerülni, ezért hivatkozni kell rá:
\aref{fig:1}.~ábráról van szó. 
\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics{abra}
  \caption{Ez az első ábra}
  \label{fig:1}
\end{figure}
\Aref{fig:2}.~ábrát megpróbáljuk ide kényszeríteni a \texttt{!h}
opcióval! Enélkül ez is a lap tetejére kerülne a másik alá!
\begin{figure}[!h]    % a !h hatására ide fog kerülni -- ha tud
  \centering
  \includegraphics[width=22mm]{abra}
  \caption{Ez a második ábra}
  \label{fig:2}
\end{figure}


\section{Matematikai formulák}\label{sec:matek}

\subsection{Egyszerűbb képletek}\label{sub:keplet}

Szövegközi képlet dollárjelek közé zárandó: $ 2+4=6$, vagy $3^2 =
9$. Kiemelt képletet a \verb.\[. és \verb.\]. közé írunk:
\[ 
  a^2 + b^2 = c^2 
\]
Ugyanaz a képlet szövegközi módban: 
$ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{1+x} = 1$, és kiemelt módban:
\[ 
  \lim_{x \to \infty} \frac{x}{1+x} = 1,
\]
Matematikai módban nincs szerepe a szóköznek. 

Szövegközi módban kívül, kiemelt módban belülre rakjuk a képletvégi
írásjelet! Lássunk egy további példát:
\[ 
  \sum_{i=1}^k \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6},
\]
és egy másikat az integráljel használatára:
\[ 
  \int_{0}^{\frac{t^2-1}{2}} \sin^2(x)+\cos^2(x)\,\mathrm dx = \dots = ? 
\]
Sorszámozott képletet kapunk az \verb+equation+ környezettel.
%
\begin{equation}\label{eq:euler}
  e^{i\pi}+1=0
\end{equation}
%
Fontos, hogy e kiemelt képletek előtt és után ne hagyjunk ki üres
sort, ha egyébként nem akarunk új bekezdést kezdeni\footnote{ha a forrásállomány
olvashatósága érdekében mégis üres sorokat akarunk hagyni, tegyünk az
elejére százalékjelet}. A következő képlet után majd hagyunk:
\begin{equation}\label{eq:harmonikus}
  \sum_{n=1}^\infty \frac1n =\infty.
\end{equation}

A képlet sorszámára való hivatkozásnál a zárójeleket is ki kell tenni,
amire több módszer is használható: az előző képletek sorszáma
(\ref{eq:euler}) és \eqref{eq:harmonikus}, amit a \verb+(\ref{...})+,
illetve a \verb+\eqref{...}+ típusú parancsokkal vihetünk be. Határozott
névelőt a \verb+\aref({...})+ paranccsal vihetünk be, például
\aref({eq:euler}) képletet ezzel kaptuk meg: \verb+\aref({eq:euler})+.


\subsection{Az \texttt{amsmath} kiemelt képletei}

Többsoros képletekhez az \verb+amsmath+ csomag több környezetet is
felajánl. Mi hármat mutatunk. A \verb+multline+ környezet a \verb+\\+
paranccsal eltört képlet első sorát balra, utolsó sorát jobbra
igazítja, a többit középre:
\begin{multline*}
  1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=\\
  =2+2+2+2+2+2+2+2+2
\end{multline*}
A \verb+multline*+ nem sorszámozza be a képletet.
A kiemelt képleteket (például \verb+\[+ és \verb+\]+ között vagy az
\verb+equation+ környezetben) a \verb+split+ paranccsal lehet eltörni,
és itt az \verb+&+ jellel lehet igazítani a sorokat:
\[
  \begin{split}
    100 &= 1+8+27+64=\\
        &= 1+3+5+7+9+11+{}\\
        &\quad +13+15+17+19
  \end{split}
\]
Többoszlopos képletekhez használható az \verb+align+ és \verb+align*+
környezet, mely az oszlopokat felváltva jobbra és balra igazítja, és
minden második után térközt hagy:
\begin{align*}
  x_1&=1 & x_2&=4 & x_3&=-12 \\
  y_1&=2 & y_2&=7 & y_3&=24
\end{align*}


\subsection{Képletek elemei}

Mátrixok bevitelére az \verb+array+ környezet használható, ahol az
oszlopokat tudjuk jobbra, balra és középre igazítani (rlc), és az
\verb+amsmath+ csomag \verb+pmatrix+, \verb+bmatrix+, \verb+vmatrix+
környezetei, ahol az oszlopok automatikusan középre igazodnak:
\[
  \left[
  \begin{array}{rr}
    \alpha & \beta \\
    \gamma & -\delta
  \end{array}
  \right],\quad
  \left|
  \begin{array}{rr}
    \alpha & \beta \\
    \gamma & -\delta
  \end{array}
  \right|,\quad
  \begin{pmatrix}
    \alpha & \beta \\
    \gamma & -\delta
  \end{pmatrix}\quad
  \begin{bmatrix}
    \alpha & \beta \\
    \gamma & -\delta
  \end{bmatrix}\quad
  \begin{vmatrix}
    \alpha & \beta \\
    \gamma & -\delta
  \end{vmatrix}.
\]
Ide sorolhatjuk a \verb+cases+ környezetet is:
\[ 
  f(x):= 
  \begin{cases} 
    0 & \text{ha $x$ irracionális,}\\
    1 & \text{ha $x$ racionális.} 
  \end{cases}
\]


Félkövér betűk a vektorokhoz, mátrixokhoz használhatók, de jobb, ha a
preambulumban definiálunk egy parancsot a vektorokhoz, egyet a
mátrixokhoz, és a \verb+\mathbf+ helyett azokat használjuk. 
\[
  \mtrx{A} := \begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&4 \end{bmatrix},\quad 
  \vect{v} := \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix},
\]
Szorzatuk: $\mtrx{A}\vect{v}$. Ha így járunk el, és később
meggondoljuk magunkat, és inkább kis nyíllal akarjuk jelölni a
vektort, csak át kell definiálni a vektorokra definiált parancsot, a
preambulumban, és a dolgozat minden vektora ebben az alakban fog
megjelenni:
\renewcommand{\vect}{\vec}% áttediniáljuk a \vect parancsunkat a
                          % TeX \vec parancsára!
$\mtrx{A}\vect{v}$.

Írott, gót vagy duplázott szárú (blackboard bold) betűkre a \verb+\mathcal+,
a \verb+\mathfrak+, illetva a \verb+\mathbb+ parancs használandó:
\[
  \mathcal{ABCDEF}, \mathfrak{ABCDEF}, \mathbb{NZRCQ}, \quad 
  \mathcal A \subset \mathcal B,\quad 
  \mathfrak A := \left< \mathcal U,\mathcal V\right>.
\]
A görög betűket angol nevükkel adjuk meg, pl.~\verb+\omega+,
\verb+\Omega+, ($\omega$, $\Omega$), a továbbiak közül csak a
betűváltozatokat mutatjuk: \verb+\epsilon+, \verb+\varepsilon+,
\verb+\theta+, \verb+\vartheta+ ($\epsilon$, $\varepsilon$,
$\theta$, $\vartheta$). A megszámlálható számosságra használt
$\aleph_0$ leírásához az \verb+\aleph+ parancsot használjuk.

Matematikai művelet készíthető egy jelből a \verb+\mathop+, reláció a
\verb+\mathrel+, emeletes reláció a \verb+\stackrel+ paranccsal. Egyéb
érdekességek: \verb+\overline+, \verb+\underbrace+, \verb+\overbrace+,
\verb+\text+, \verb+\binom+:
\[
  \mathbb{N} \stackrel{\text{def}}{=} 
  \{ 0, \underbrace{1, 2, 3, 4, \ldots}_{\text{pozitív számok}} \}, \quad
  \overline{a+b\mathrm i}=a-b\mathrm i, \quad
  (\tg(x))' = \frac1{\cos^2(x)},\quad
  A\mathrel{\rho}B,\quad \binom nk.
\]


\section{Tételszerű környezetek}

Tételeket és bizonyításokat adhatnánk \acite{bak} könyvből, de nem
fogunk.

\begin{lem}\label{lem:elso}
  Ez egy rendkívül egyszerű segédtétel! Egysoros.
\end{lem}

\begin{proof}
  A segédtétel bizonyítását egy bizonyításvége-jel zárja.
\end{proof}

\Aref{lem:elso}.~lemma után következzen egy tétel, mégpedig
\aref{tet:elso}.~tétel!

\begin{tet}\label{tet:elso}
  Ez egy tétel!
\end{tet}

\begin{proof}
  A tétel bizonyítását is egy bizonyításvége-jel zárja, még akkor is,
  ha a bizonyítás egy kiemelt képlettel zárul! Ez azonban nagyon
  csúnya lesz, mert a jel a kiemelt képlet utáni sorba kerül. Hogy ezt
  elkerüljük, a jelet kézzel betesszük a kiemelt képlet sorába a
  \verb+\qedhere+ paranccsal.
  \[
    \sum_{i=1}^\infty \frac1{i^2}=\frac{\pi^2}{6}. \qedhere
  \]
\end{proof}

\begin{dfn}
  Ez egy definíció! Sorszáma független a tétel és a lemma sorszámától,
  és a szakasz sorszámát sem tartalmazza!
\end{dfn}

Ezután következzen egy igazi tétel, amelyben a tétel szerzőjét is
megadjuk!

\begin{tet}[Wilson]
  Egy $p$ szám pontosan akkor prím, ha 
  \[
    (p-1)! \equiv -1 \pmod{p}. % A \pmod{p} kiteszi a "(mod p)" részt. 
                               % A bináris "mod" művelet parancsa: \bmod
  \]
\end{tet}


\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{bak} Martin Aigner, Günter M. Ziegler: \textit{Bizonyítások a
    Könyvből}, Typotex, Budapest, 2004. 
\end{thebibliography}


\end{document}
