\documentclass{article}

\usepackage{fullpage}        % szélesebb szedéstükör

\usepackage[T1]{fontenc}     % belső kódrendszer beállítása
\usepackage[utf8]{inputenc}  % input kódolás
\usepackage[magyar]{babel}   % nyelv

\usepackage{amsmath,amssymb} % AMS matematikai és fontcsomag
\usepackage{amsthm}          % AMS tételszerű környezetek

\usepackage{refcheck}        % \label címkéit a margóra írja, szerkesztés
                             % közben segít áttekinteni a címkéket, a végén 
                             % ki-%-oljuk, vagy kitöröljük.

\newtheorem{tet}{Tétel}[section] 
                             % section sorszáma is legyen a tétel sorszámában
\newtheorem{lem}[tet]{Lemma} % Tétel és Lemma számlálója legyen közös

\theoremstyle{definition}    % Az ezután \newtheorem-mel definiált
                             % környezet tipográfiája más lesz
\newtheorem{dfn}{Definíció}  % Önálló sorszámozás, nincs section sorszám benne



\title{9. gyakorlat}
\author{Gyakorlatvezetők: Tóth Ágnes, Móra Péter, Wettl Ferenc}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
  Ebben a dolgozatban megszerkesztünk néhány képletet, és leírunk
  néhány tételt.
\end{abstract}

\section{Tételek}\label{sec:tetelek}

\begin{lem}\label{lem:elso_lemma}
  Ez egy segédtétel!
\end{lem}

\begin{proof}
  A segédtétel bizonyítását egy bizonyításvége-jel zárja.
\end{proof}

\Aref{lem:elso_lemma}.~lemma után következzen egy tétel, mégpedig
\aref{tet:elso}.~tétel!

\begin{tet}\label{tet:elso}
  Ez egy tétel!
\end{tet}

\begin{proof}
  A tétel bizonyítását is egy bizonyításvége-jel zárja, még akkor is,
  ha a bizonyítás egy kiemelt képlettel zárul! Ekkor azonban nagyon
  csúnya lesz, hogy a jel a kiemelt képlet utáni sorba kerül. Hogy ezt
  elkerüljük, a jelet kézzel betesszük a kiemelt képlet sorába a
  \verb+\qedhere+ paranccsal.
  \[
    \sum_{i=1}^\infty \frac1{i^2}=\frac{\pi^2}{6}. \qedhere
  \]
\end{proof}

\begin{dfn}
  Ez egy definíció! Sorszáma független a tétel és a lemma sorszámától,
  és a szakasz sorszámát sem tartalmazza!
\end{dfn}

Ezután következzen egy igazi tétel, amelyben a tétel szerzőjét is
megadjuk!

\begin{tet}[Wilson]
  Egy $p$ szám pontosan akkor prím, ha 
  \begin{equation}\label{1} % A \pmod{p} kiteszi a "(mod p)" részt. 
                            % Ha bináris "mod" műveletet szeretnénk írni, 
                            % a \bmod parancsot használjuk!
    (p-1)! \equiv -1 \pmod{p}.
  \end{equation}
\end{tet}


\section{Képletek}\label{sec:kepletek}

\subsection{Kiemelt képletek}

\Aref{sec:tetelek}.~szakaszban tételeket írtunk le, itt képleteket
fogunk. A kiemelt képleteket a \verb+\[+ és \verb+\]+ közé írjunk,
ha a képlet egysoros, és nem kell a képletet megsorszámozni. 
Sorszámozott képletet kapunk az \verb+equation+ környezettel.
\begin{equation}\label{eq:euler}
  e^{i\pi}+1=0
\end{equation}
Fontos, hogy e kiemelt képletek előtt és után ne hagyjunk ki üres
sort, ha egyébként nem akarunk új bekezdést kezdeni. A következő
képlet után majd hagyunk:
\begin{equation}\label{eq:harmonikus}
  \sum_{n=1}^\infty \frac1n =\infty.
\end{equation}

A képlet sorszámára való hivatkozásnál a zárójeleket is ki kell tenni,
amire több módszer is használható: az előző képletek sorszáma
(\ref{eq:euler}) és \eqref{eq:harmonikus}, amit a \verb+(\ref{...})+,
illetve a \verb+\eqref{...}+ típusú parancsokkal vihetünk be. Határozott
névelőt a \verb+\aref({...})+ paranccsal vihetünk be, például
\aref({eq:euler}) képletet ezzel kaptuk meg: \verb+\aref({eq:euler})+.

Többsoros képletekhez az \verb+amsmath+ csomag több környezetet is
felajánl. Mi hármat mutatunk. A \verb+multline+ környezet a \verb+\\+
paranccsal eltört képlet első sorát balra, utolsó sorát jobbra
igazítja, a többit középre:
\begin{multline*}
  1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=\\
  =2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2
\end{multline*}
A \verb+multline*+ nem sorszámozza be a képletet.
A kiemelt képleteket (például \verb+\[+ és \verb+\]+ között vagy az
\verb+equation+ környezetben) a \verb+split+ paranccsal lehet eltörni,
és itt az \verb+&+ jellel lehet igazítani a sorokat:
\[
  \begin{split}
    100 &= 1+8+27+64=\\
        &= 1+3+5+7+9+11+{}\\
        &\quad +13+15+17+19
  \end{split}
\]
Többoszlopos képletekhez használható az \verb+align+ és \verb+align*+
környezet, mely az oszlopokat felváltva jobbra és balra igazítja, és
minden második után térközt hagy:
\begin{align*}
  x_1&=1 & x_2&=4 & x_3&=-12 \\
  y_1&=2 & y_2&=7 & y_3&=24
\end{align*}

\subsection{Képletek elemei}

Mátrixok bevitelére az \verb+array+ környezet használható, ahol az
oszlopokat tudjuk jobbra, balra és középre igazítani (rlc), és az
\verb+amsmath+ csomag \verb+pmatrix+, \verb+bmatrix+, \verb+vmatrix+
környezetei, ahol az oszlopok automatikusan középre igazodnak:
\[
  \left[
  \begin{array}{rr}
    \alpha & \beta \\
    \gamma & -\delta
  \end{array}
  \right],\quad
  \left|
  \begin{array}{rr}
    \alpha & \beta \\
    \gamma & -\delta
  \end{array}
  \right|,\quad
  \begin{pmatrix}
    \alpha & \beta \\
    \gamma & -\delta
  \end{pmatrix}\quad
  \begin{bmatrix}
    \alpha & \beta \\
    \gamma & -\delta
  \end{bmatrix}\quad
  \begin{vmatrix}
    \alpha & \beta \\
    \gamma & -\delta
  \end{vmatrix}.
\]
Ide sorolhatjuk a \verb+cases+ környezetet is:
\[ 
  f(x):= 
  \begin{cases} 
    0 & \text{ha $x$ irracionális,}\\
    1 & \text{ha $x$ racionális.} 
  \end{cases}
\]


Félkövér betűk a vektorokhoz, mátrixokhoz:
\[
  \mathbf{A} := \begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&4 \end{bmatrix},\quad 
  \mathbf{v} := \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix},
\]
Szorzatuk: $\mathbf{A}\mathbf{v}$.

Írott, gót vagy duplázott szárú (blackboard bold) betűkre a \verb+\mathcal+,
a \verb+\mathfrak+, illetva a \verb+\mathbb+ parancs használandó:
\[
  \mathcal{ABCDEF}, \mathfrak{ABCDEF}, \mathbb{NZRCQ}, \quad 
  \mathcal A \subset \mathcal B,\quad 
  \mathfrak A := \left< \mathcal U,\mathcal V\right>.
\]
A görög betűket angol nevükkel adjuk meg, pl.~\verb+\omega+,
\verb+\Omega+, ($\omega$, $\Omega$), a továbbiak közül csak a
betűváltozatokat mutatjuk: \verb+\epsilon+, \verb+\varepsilon+,
\verb+\theta+, \verb+\vartheta+ ($\epsilon$, $\varepsilon$,
$\theta$, $\vartheta$). A megszámlálható számosságra használt
$\aleph_0$ leírásához az \verb+\aleph+ parancsot használjuk.

Matematikai művelet készíthető egy jelből a \verb+\mathop+, reláció a
\verb+\mathrel+, emeletes reláció a \verb+\stackrel+ paranccsal. Egyéb
érdekességek: \verb+\overline+, \verb+\underbrace+, \verb+\overbrace+,
\verb+\text+, \verb+\binom+:
\[
  \mathbb{N} \stackrel{\text{def}}{=} 
  \{ 0, \underbrace{1, 2, 3, 4, \ldots}_{\text{pozitív számok}} \}, \quad
  \overline{a+b\mathrm i}=a-b\mathrm i, \quad
  (\mathop{\mathrm{tg}}(x))' = \frac1{\cos^2(x)},\quad
  A\mathrel{\rho}B,\quad \binom nk.
\]


\end{document}

