\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{fullpage}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage [utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage {amsmath}
\usepackage {amsthm}
\usepackage {amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{indentfirst}

\hyphenation{}

%Tétel
%Lemma
%Állítás
%
%Definíció
%Példa

\title{9. gyakorlat}
\author{...}
\date{2009. november 4.}

\begin{document}
\frenchspacing
\maketitle

Az alábbi részletek forrása ... könyv.

Hat bizonyítás a prímszámok létezésére

Ez már csak természetes, hogy ezen jegyzeteket a valószínűleg legrégebbi Könyv-Bizonyítással kezdjük, melyet általában Euklidésznek tulajdonítanak (Elemek IX, 20). Azt mutatja meg, hogy a prímszámok sorozata nem ér véget.

Második bizonyítás
Vizsgáljuk először az ... Fermat számokat ...-re. Azt fogjuk megmutatni, hogy bármely két Fermat szám relatív prím, ezért végtelen sok prímszámnak kell lennie. E célból belátjuk a
...
rekurziót, amiből allításunk azonnal következik. Valóban, ha ... osztja például ...-t és ...-et (...), akkor ... osztja ...-t is, tehát ... vagy .... De ... nem lehet, hiszen minden Fermat szám páratlan.
A rekurziót ... szerinti indukcióval bizonyítjuk. Ha ..., akkor ... és .... Az indukciós feltevés szerint következik, hogy
...

Negyedik bizonyítás

Legyen ... az ... valós számnál kisebb vagy egyenlő prímek száma. Itt és a továbbiakban ... az ... halmaz elemszámát jelöli. Számozzuk meg a prímszámokat növekvő sorrendben: ... és tekintsük ... természetes logaritmusát, melyet a ... kifejezéssel definiálunk.
Hasonlítsuk össze az ... függvény grafikonja alatti területet egy a függvény grafikonját felülről közelítő lépcsős függvénnyel (lásd .... ábra).
Így ...-re
...
kapunk, ahol az összegzést valamennyi ...-re kiterjesztjük, melynek csak ... osztója van.

Lépcsős függvény az ... függvény grafikonja felett.

Mivel minden ilyen ... egyértelműen írható fel ... alakban, látható, hogy az utóbbi összeg egyenlő
...
A belső összeg egy ... kvóciensű mértani sor, azaz
...
Nos, nyilvánvalóan ..., így
...
tehát
...
Mint tudjuk ... nem korlátos, a fentiekből következik, hogy ... sem korlátos, azaz végtelen sok prímszám van.


Számok előállítása két négyzetszám összegeként

Mely számok írhatók fel két négyzetszám összegeként?

A ... alakú prímekre az ... egyenletnek két megoldása van az ... halmazon, ...-re egy megoldás van, míg ... alakú prímekre nincs megoldás.

Az ... alakú számok nem írhatók fel két négyzetszám összegeként.

Minden ... alakú prím előáll két négyzetszám összegeként, azaz felírható ... alakban, ahol ... és ... természetes számok.

A bizonyítás használja .... lemmát.

Egy ... természetes szám akkor és csak akkor állítható elő két négyzetszám összegeként, ha prímtényezős felbontásában minden ... alakú prím páros kitevőn szerepel.

%1 = 1^2+0^2   2 = 1^2+1^2   3 = ?   4 = 2^2+0^2
%5 = 2^2+1^2   6 = ?         7 = ?   8 = 2^2+2^2
%9 = 3^2+0^2  10 = 3^2+1^2  11 = ?

Prímtestek

Összeadás és szorzás ...-ben:

%+ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 
%0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 
%1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 
%2 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 
%3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 
%4 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3

%    & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$
%$0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$
%$1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$
%$2$ & $0$ & $2$ & $4$ & $1$ & $3$
%$3$ & $0$ & $3$ & $1$ & $4$ & $2$
%$4$ & $0$ & $4$ & $3$ & $2$ & $1$

Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Bizonyítások a Könyvből, Typotex, Budapest, 2004.

\end{document}
