Matematika A4

3. félév: 2/2/0/v/4

2005-02-11

Tárgyfelelős: Tóth Bálint

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Valószínűségszámítás

Képzési cél:

A képzés elsődleges célja a hallgatók bevezetése a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba. Emellett, mint minden matematikai tárgynak, feladata a matematikának, mint a logikus és rugalmas, lényegmeglátó és problémamegoldó gondolkodási módnak a fejlesztése a hallgatókban.

A matematika ismeretéről csak annyiban beszélhetünk, amennyiben azzal a hallgatók problémákat tudnak megoldani, számítógéppel és a nélkül.

A matematika több ezer éves fejlődése során alakult ki a matematika tárgyalásának és oktatásának a módszere. A defínició-tétel-bizonyítás hármasa, a példákon és alkalmazásokon való szemléltetés, a megoldó algoritmusok bemutatása és elemzése a matematika oktatásában általánosan elterjedt. Az egyszerűbbtől az összetettebb felé, a konkrét struktúrától az absztraktabb felé haladás a matematika oktatásának általánosan elfogadott elvei. Ezen elvekből következik, hogy adott idő alatt adott képességű és felkészültségű hallgatók csak meghatározott mennyiségű és minőségű matematika befogadására képesek.

A jelen konkrét tárgy célja, hogy a véletlen jelenségek matematikai leírásába, törvényszerűségeibe vezesse be a hallgatót. A matematika e területe egyrészt alkalmazza a korábban tanult matematikai tárgyak anyagának jelentős részét, segít azoknak az elmélyítésében, másrészt felkészít a szaktárgyakban és az alkalmazásokban előforduló igen nagyszámú, véletlennel kapcsolatos jelenségek modellezésére és a kapcsolódó számításokra. Ilyen alkalmazások például: mérések kiértékelése, sok felhasználós hálózatok, információ átvitele, zajos rendszerek, megbízhatósági analízis, közgazdasági folyamatok, statisztika.

1. A valószínűség fogalma.

Tapasztalati háttér, relatív gyakoriság, nagy számok tapasztalati törvénye. Eseménytér, kimenetelek, események, eseményekkel kapcsolatos fogalmak, műveletek. A valószínűségszámítás Kolmogorov-féle modellje, a valószínűség elemi tulajdonságai: (véges és megszámlálhatóan végtelen) additivitás, monotonitás, komplementer esemény valószínűsége, események összegének (uniójának) valószínűsége, szita-formula két és három eseményre.

2. Feltételes valószínűség és események függetlensége.

Feltételes valószínűség definíciója. Teljes valószínűség formulája, Bayes-tétel. Valószínűségek szorzási szabálya. Fagráfok alkalmazása. Események függetlensége kettő és több eseménynél.

3. Diszkrét valószínűségi változó és eloszlása.

Valószínűségi változó fogalma. Diszkrét eloszlások, valószínűségi súlyfüggvény. Nevezetes diszkrét eloszlásokra vezető modellek. Diszkrét egyenletes eloszlás. Klasszikus valószínűségi feladatok, kombinatorikus módszerek alkalmazása. Indikátor eloszlás. Binomiális eloszlás, visszatevéses mintavétel. Visszatevés nélküli mintavétel, hipergeometrikus eloszlás. A Poisson-eloszlás, mint a binomiális eloszlás határeloszlása. Diszkrét örökifjú véletlen várakozási idő modellje: geometriai eloszlás.

4. Folytonos eloszlású valószínűségi változók.

Folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye és tulajdonságai. Eloszlásfüggvény és tulajdonságai. Nevezetes folytonos eloszlásokra vezető modellek. Egyenletes eloszlás intervallumon. Folytonos örökifjú véletlen várakozási idő modellje: exponenciális eloszlás. Standard normális eloszlás.

5. Eloszlások paraméterei.

Várható érték. Medián. Módusz. Momentumok. Szórásnégyzet (variancia), szórás. Nevezetes diszkrét eloszlások (binomiális, Poisson, geometriai) várható értéke, szórásnégyzete, módusza. Nevezetes folytonos eloszlások (egyenletes, exponenciális, normális) várható értéke, szórásnégyzete, mediánja. Steiner-tétel: a várható érték minimum tulajdonsága. Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség.

6. Kétdimenziós eloszlások.

Diszkrét és folytonos eset. Egyenletes eloszlás, geometriai problémák. Kétdimenziós sűrűségfüggvény. Valószínűségek kiszámítása sűrűségfüggvényből. Diszkrét eloszlások peremeloszlásai, folytonos eloszlások perem-sűrűségfüggvényei.

7. Feltételes eloszlások, független valószínűségi változók.

Diszkrét és folytonos eset. Feltételes sűrűségfüggvények. Teljes valószínűség formulája, Bayes-tétel diszkrét valószínűségi változók esetén. Két illetve kettőnél több valószínűségi változó függetlensége valószínűségekkel, sűrűségfüggvényekkel.

8. Kétdimenziós eloszlások paraméterei.

Kovariancia, korrelációs együttható. Független valószínűségi változók szorzatának várható értéke. Függetlenség és korrelálatlanság kapcsolata. Várható érték és szórásnégyzet tulajdonságai lineáris transzformációnál, összegzésnél. Független esetben a szórásnégyzetek összeadódnak.

9. Regresszió.

Feltételes várható érték. Regressziós görbe a legkisebb várható négyzetes hibával: feltételes várható érték. Lineáris regresszió, regressziós egyenes egyenlete, lineáris regresszió szórásnégyzete.

10. Eloszlástranszformációk.

Diszkrét eset. Eloszlásfüggvény transzformációja szigorúan monoton növő és fogyó esetben. Adott (tetszőleges) eloszlásfüggvényű véletlen számok generálása. Sűrűségfüggvény transzformációja egydimenziós esetben. Eloszlástranszformáció kétdimenzióból egydimenzióba. Transzformált eloszlás várható értéke. Független valószínűségi változók összege: konvolúció. Standardizálás.

11. Egy- és kétdimenziós normális eloszlások.

Egydimenziós normális eloszlások származtatása standard normális eloszlásból és jellemzésük várható értékkel és szórással. Valószínűségek kiszámítása a standard normális eloszlás táblázatából. Kétdimenziós normális eloszlások jellemzése a várható értékekkel, szórásokkal és a korrelációs együtthatóval. Szemléltetés pontfelhővel. Lineáris kombináció egydimenziós normális eloszlású.

12. Határérték tételek.

Független, egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozatai. Összeg, illetve átlag várható értéke, szórása. A Bernoulli-egyenlőtlenség, mint a Csebisev-egyenlőtlenség következménye. Nagy számok törvénye. Moivre-Laplace-tétel. Centrális határeloszlás tétel. Alkalmazás relatív gyakoriságokra egy esemény valószínűségének közelítésére. Küszöbindex (minta elemszám) keresése adott pontosság és hiba-valószínűség esetén.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tantárgyfelelős: Dr. Tóth Bálint egyetemi tanár

Ügyvivők: Dr. Szabados Tamás egyetemi docens és Dr. Vetier András egyetemi docens

A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít: Az egy- és többváltozós függvények analízise, sorfejtések, lineáris algebra.

Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Vetier András, Valószínűségszámítás, egyetemi jegyzet, Tankönyvkiadó, 1985

Vetier András, Szemléletes mérték- és valószínűségelmélet, egyetemi tankönyv, Tankönyvkiadó, 1991

Ferenczy Miklós, Valószínűségszámítás és alkalmazásai, példatár, Nemzeti Tankönyvkiadó, 1998

Jim Pitman, Probability, Springer, 1993.