Sztochasztikus analízis és alkalmazásai

Tematika:

Bevezetés, ismétlés: Folytonos idejű Markov-folyamat, martingál, megállási idő.

Brown-mozgás: Leírás, konstrukció, erős-Markov tulajdonság, kvadratikus variáció, tükrözési elv és alkalmazásai, trajektóriák majdnem biztos analítikus tulajdonságai, ekvivalencia-transzformációk.

Sztochasztikus analízis véletlen bolyongásokra: sztochasztikus integrál, Doob-Meyer-felbontás, opcionális megállítás, diszkrét Ito-formula.

Sztochasztikus analízis Brown-mozgás esetén: Ito-integrál, sztochasztikus integrál mint folyamat, Ito-formula, Ito-folyamatok, többváltozós eset.

Bevezetés a sztochasztikus differenciálegyenletekbe: sztochasztikus exponenciális, lineáris SDE, egzisztencia és unicitás erős megoldásra, gyenge megoldások.

Bevezetés a diffúziós folyamatokba: SDE megoldása mint diffúzió, Markov-félcsoport, infinitézimális generátor, Kolmogorov-egyenletek, Feynman-Kac-formula.

Tankönyvek:

F.C. Klebaner, Introduction to stochastic calculus with applications, Third ed. Imperial College Press, 2012.

H-H. Kuo, Introduction to Stochastic Integration, Springer, 2008.

E könyvek tartalmazzák a tananyagot, sőt többet is annál, pl. több alkalmazást. Néhány bizonyítás elhangozhat az órán, ami nincs a tankönyvekben. Néhány, az órán vagy a könyvben szereplő állítás bizonyítása sem a tankönyvben, sem az órán nem lesz. Ezek megtalálhatók az alábbi ajánlott irodalmakban.

Osztályzás: 50%-ban az írásban beadandó házi feladatok, 50%-ban az írásbeli vizsga alapján.

Osztályzat határok: 50%: 2, 62%: 3, 75%: 4, 87%: 5.

Ajánlott irodalom:

I. Karatzas, S.E. Shreve, Brownian motion and stochastic calculus. Springer, 1988.

K.L. Chung, R.J. Williams, Introduction to stochastic integration, Second ed. Springer, 1990.

P. Mörters, Y. Perez, Brownian motion. Cambridge, 2010.

B. Oksendal, Stochastic differential equations, Sixth ed. Springer, 2007.

D. Revuz, M. Yor, Continuous martingales and Brownian motion, Third ed.. Springer, 2001.

Medvegyev P., Sztochasztikus analízis. Typotex, 2008.