Matematika A1 ütemterv

2007/08 őszi félév

Az alábbi időbeosztás csak hozzávetőlegesnek tekinthető!

A fejezetekre, alfejezetekre való hivatkozások a Thomas-féle Kalkulus tankönyvre (annak mind a három kötetére) vonatkoznak.

Nagyzárthelyik: 5. és 10. héten, mindkettő pótlása a 13. héten.

A gyakorlatokon 7 db röpzárthelyit iratunk: a 2., 3., 4., 6., 7., 11. és 12. heteken.

1. hét. Alapfogalmak. (1. fejezet, csak részben van meg) Halmazok: műveletek (unió, metszet, komplement, különbség), Boole-algebra axiómái, de Morgan szabályok. Logikai állítások: műveletek (vagy, és, nem, implikáció, ekvivalencia), igazságtáblák, . Függvények: értelmezési tartomány, értékkészlet, függvények kompozíciója, egy-egyértelmű (injektív) függvény, inverz függvény, halmazok Descartes szorzata, függvény grafikonja. Relációk: ekvivalencia és (teljes) rendezés. Számosságok: véges, megszámlálható, kontinuum.

2. hét. Valós számok. (1. fejezet, F.1. és F.3. függelék, csak részben van meg) Természetes számok, teljes indukció, egészek, racionális számok, rendezett test axiómái, irracionális számok, valós számok: felső határ tulajdonságú rendezett test, abszolút érték.

        Komplex számok. (F.4. függelék, csak részben van meg) Rendezett valós számpárok, összeadás, szorzás, komplex számtest; algebrai alak, konjugálás, abszolút érték; trigonometrikus alak, hatványozás, gyökvonás, az algebra alaptétele, komplex és valós együtthatós polinomok gyöktényezős alakja.

3. hét. Térvektorok. (12. fejezet 1-5.) Alapműveletek: összeg, számszoros, koordinátás definíció, geometriai jelentés, vektortér axiómái. Skalárszorzat: koordinátás definíció, geometriai jelentés, merőlegesség, párhuzamosság, vektor hossza, Cauchy-Schwarz- és háromszög-egyenlőtlenség, vektor vetítése vektorra. Vektorszorzat: koordinátás definíció, geometriai jelentés. Vegyesszorzat: koordinátás definíció, geometriai jelentés. Analitikus geometriai feladatok: egyenes és sík egyenlete és alkalmazásai.

4. hét. Határérték. (2. fejezet 1-5.) Függvény határértéke, határértékek és algebrai műveletek, szendvicstétel, jobb és bal oldali határérérték, határérték a végtelenben, végtelen határérték.

Eddig tart az 1. zárthelyi anyaga.

5. hét. Számsorozatok. (11. fejezet 1., csak részben van meg) Számsorozat fogalma, határértéke, monoton sorozatok, részsorozatok, torlódási pont, Bolzano-Weierstrass-tétel.

6. hét. Folytonosság. (2. fejezet 6., csak részlegesen van meg) Folytonosság, jobb és baloldali folytonosság, folytonos függvények és algebrai műveletek, folytonos függvények kompozíciója, Bolzano- (közbensőérték-) tétel, Weierstrass- (max-min-) tétel.

7. hét. Differenciálás. (2. fejezet 7. és 3. fejezet 1-3.) Derivált fogalma, érintő, deriválási szabályok.

8. hét. (3. fejezet 4-8.) Trigonometrikus függvények deriváltjai, linearizáció és differenciálok, láncszabály, implicit függvény deriváltja.

9. hét. A derivált alkalmazásai. (4. fejezet 1-5.) Szélsőértékek, középértéktételek, monotonitás, konvexitás, függvényábrázolás.

Eddig tart a 2. zárthelyi anyaga.

10. hét. (4. fejezet 6-8.) Darboux-tétel, L’Hospital-szabály, Newton-módszer, primitív függvény.

Integrálás. (5. fejezet 1-3., csak részben van meg) Közelítő összegek, felső és alsó összegek, Riemann-integrál, folytonos függvények és monoton függvények Riemann integrálhatók.

11. hét. (5. fejezet 3-6.) A határozott integrál tulajdonságai, Newton-Leibniz-tétel, helyettesítéses integrálás.

        Transzcendens függvények. (7. fejezet 1-5. és F.6. függelék) Inverz függvény deriváltja, logaritmusfüggvény definíciója integrállal, a logaritmus tulajdonságai, az exponenciális függvény definíciója a logaritmus inverzeként, az exponenciális függvény tulajdonságai, nevezetes sorozatok határértékei, általános hatványkifejezések, az exponenciális függvény differenciálegyenlete.

12. hét. (7. fejezet 7-8.) Inverz trigonometrikus függvények, hiperbolikus függvények.

Integrálási technikák. (8. fejezet 1-5) Parciális integrálás, racionális törtfüggvények integrálása, trigonometrikus integrálok, trigonometrikus és hiperbolikus helyettesítések, egyéb helyettesítések.

13. hét. Az integrál alkalmazásai. (6. fejezet 1-3.) Terület-, térfogat-, ívhossz-számítás.

        (8. fejezet 6-8.) Numerikus integrálás: trapéz- és Simpson-módszer, integrálás számítógéppel. Improprius integrálok: integrálás nemkorlátos intervallumon és nemkorlátos függvény integrálása, összehasonlító teszt, hányadosteszt, abszolút konvergencia.

14. hét. Tartalék idő az esetleges csúszásokra.

Dr. Szabados Tamás egyetemi docens