Matematika A2 ütemterv

2007/08. tavaszi félév

Az alábbi időbeosztás csak hozzávetőlegesnek tekinthető!

Analízisből a fejezetekre, alfejezetekre való hivatkozások a Thomas-féle Kalkulus tankönyvre vonatkoznak.

A lineáris algebrából ajánlott tankönyv: H. Anton, Elementary Linear Algebra.

Kiváló, tömör összefoglaló: Simon Károly, Matematika A2 jegyzet. Kapható a H. ép. 5. em. 7. titkárságon.

Nagyzárthelyik: a 6. és 12. héten, mindkettő pótlása a 13. héten, l. lejjebb.

A gyakorlatokon 7 db röpzárthelyit iratunk: a 2., 3., 4., 5., 8., 9. és 10. heteken.

Az ajánlott tankönyvek tartalmazzák a tananyag nagy részét. A tananyag fennmaradó kisebb része csak az előadásokon fog elhangzani. A tankönyvek és az előadás szervesen kiegészítik egymást, egyik sem pótolja a másikat. A tankönyvek példái, az előadó ajánlott házi feladatai és a gyakorlatvezető által megbeszélt és kitűzött feladatok együttvéve tartalmazzák a kiváló szerepléshez szükséges összes példatípust. A tárgy sikeres teljesítéséhez a következő tanácsokat adjuk:

1. Aktívan vegyen részt lehetőleg a tárgy összes előadási és gyakorlati óráján.

2. Olvassa rendszeresen a tankönyveket, tanulmányozza a kidolgozott példákat és hétről-hétre oldja meg a házi feladatokat.

3. Ha bármi kérdése, javaslata vagy problémája van, kérdezzen az előadótól/gyakorlatvezetőtől, ill. forduljon az előadóhoz/gyakorlatvezetőhöz (óra közben/szünetben/fogadó órán/emailben).

1. hét. Számsorok. (11. fej. 2-6.) Geometriai sor, végtelen számsor részletösszegei, végtelen számsor összegének definíciója, Cauchy-teszt, konvergencia szükséges feltétele, abszolút és feltételes konvergencia, integrál teszt, p-sorok, összehasonlító teszt, hányados teszt, gyök teszt, Leibniz-sorok.

2. hét. Függvénysorok, hatványsorok. (11. fej. 7-10., csak részben van meg.) Függvénysor definíciója, pontonkénti konvergencia, egyenletes konvergencia egy intervallumon, egyenletes konvergencia következményei bizonyítások nélkül, hatványsorok, konvergencia sugár meghatározása, hatványsorok fő tulajdonságai, analitikus függvények, Taylor-sorok, az elemi függvények Taylor sorai: , ln(1+x), sin x, cos x, sh x, ch x; binomiális sor; exponenciális függvény komplex kitevőre, Euler-formula.

3. hét. Fourier-sorok. (11. fej. 11., csak részben van meg.) Trigonometrikus polinomok; a Fourier-együtthatók meghatározása; egy adott, szerint periodikus, integrálható függvényt a Fourier-sorának részlet-összegei „legkisebb átlagos hibanégyzet” értelemben a legjobban közelítik; pontonkénti konvergencia elégséges feltétele bizonyítás nélkül; páros és páratlan függvények Fourier-sora; T szerint periodikus, integrálható függvények Fourier-sora.

4. hét. Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok. Lineáris egyenletrendszerek az -es esetben, együttható mátrix, kibővített mátrix, elemi sorműveletek, echelon-forma, Gauss- és Gauss-Jordan módszer, a megoldás létezése és egyértelműsége, homogén lineáris egyenletrendszerek. Műveletek mátrixokkal: összeadás, számmal szorzás, mátrix-szorzás, transzponált; inverz mátrix; a műveletek alaptulajdonságai, mátrix invertálás elemi sorműveletekkel.

5. hét. Determinánsok. A determináns definíciója előjeles elemi szorzatok összegeként; a determináns geometriai jelentése: előjeles térfogat; a determináns tulajdonságai; determináns kiszámítása elemi sorműveletekkel; kifejtési tétel; mátrix inverz = adjungált per determináns; Cramer-szabály -es lineáris egyenletrendszerekre.

(Várhatólag eddig tart az 1. zh. anyaga)

6. hét. Vektorterek (= lineáris terek). terek és euklideszi skalárszorzat; általános vektortér, alterek, lineáris kombináció, lineáris függetlenség, bázis, dimenzió; mátrix rangja; skalárszorzatos terek, ortonormált bázisok, Gram-Schmidt-módszer, projekció-tétel, áttérés másik bázisra.

7. hét. (Hétfő munkaszünet!) Lineáris transzformációk. Definíció, példák, magtér, képtér, dimenziótétel, kapcsolat a lineáris egyenletrendszerekkel, lineáris transzformáció mátrixa, hasonló mátrixok.

8. hét. Sajátértékek, sajátvektorok, karakterisztikus egyenlet, ortogonális és szimmetrikus mátrixok, diagonalizálás, kvadratikus alakok, főtengely-tétel.

Görbék és felületek. (10. fej. 3-7. 13. fej. 1-3., 12. fej. 6.) Görbe definíciója, érintője, hossza. Síkbeli polárkoordináták. Hengerek, kúpok, másodfokú felületek; térbeli polár- henger- és gömbkoordináták.

9. hét. Többváltozós függvény fogalma, folytonossága és parciális deriváltjai. (14. fej. 1-3., csak részben van meg.) Topológiai alapfogalmak: belső pont, határpont, nyílt halmaz, zárt halmaz, korlátos halmaz. Többváltozós függvény megadása, szemléltetése, példák, szintgörbék és szintfelületek. Többváltozós függvény határértéke, folytonossága, maximum-minimum (Weierstrass-) tétel és közbenső érték (Bolzano-) tétel bizonyítás nélkül; példák szakadásokra. Parciális deriváltak és geometriai jelentésük, Young tétele.

10. hét. Kétváltozós függvény (totális) differenciálhatósága, szélsőértékei. (14. fej. 4-10., csak részben van meg.) Gradiens, a függvény lineáris közelítése, láncszabály, a (totális) differenciálhatóság elégséges feltétele: folytonos parciálisok; iránymenti deriváltak, érintősík. Kétváltozós Taylor-polinom, lokális szélsőérték szükséges feltétele, elégséges feltétele, nyeregpont; feltételes szélsőérték, Lagrange-multiplikátor, globális szélsőérték keresése.

11. hét. függvények differenciálása; kettős integrálok. (15. fej. 1., 2., 7., csak részben van meg.) Jacobi-mátrix és Jacobi-determináns. Kettős integrál definíciója alsó és felső összegekkel téglalap tartományon, kiszámítása kétszeres integrállal. Mérhető területű korlátos síktartomány, terület definíciója és kiszámítása kettős integrállal. Riemann-összegek. Kettős integrál tulajdonságai. Kettős integrálás normál tartományon.

(Várhatólag eddig tart a 2. zh. anyaga.)

12. hét. (Csütörtök munkaszünet!) Kettős és hármas integrál. (15. fej. 3-5.) Kettős integrálás helyettesítéssel, integrálás polárkoordinátákkal. Hármas integrál definíciója tégla tartományon, kiszámítása.

13. hét. Hármas integrál. (15. fej. 4-7.) Mérhető térfogatú test, térfogat definíciója és kiszámítása hármas integrállal. Hármas integrálás normál tartományon. Hármas integrálás helyettesítéssel, integrálás henger- és gömb koordinátákkal.

14. hét. (Hétfő munkaszünet!) Tartalék idő az esetleges csúszásokra.

Zárthelyik:

1. zh: március 19. szerda 17:05- és 18:05 (K.2.21 és K.1.48, a hallgatók előzetes beosztásával). Konzultáció: március 17. hétfő 17-19, K.1.48.

2. zh: április 28. hétfő 17:05- és 18:05 (Ch.Max. és K.1.48, a hallgatók előzetes beosztásával). Konzultáció: április 24. csütörtök 17-19, K.a.60.

1.és 2. pótzh: május 6. kedd 17:05- és 18:05- (Ch.Max.).

Dr. Szabados Tamás egyetemi docens