~~~ Matematika A1 ~~~

ALAPFOGALMAK

Komplex számok. [pdf]
Bevezetés. [video]
Egyszerű példák. [video]
A komplex sík. [video]
Műveletek komplex számokkal, összeadás, kivonás, szorzás. [video]
Az imaginárius egység. [video]
Miért van szükség komplex számokra? [video1], [video2]
Történelmi kitekintés, Carl Friedrich Gauss. Az algebra alaptétele. [video]
Komplex konjugálás, komplex számok osztása. [video1], [video2]
Komplex számok abszolút értéke. [video]
Algebrai, trigonometrikus alak. [video]
Algebrai alak átalakítása trigonometrikus alakra. [video]
Trigonometrikus alak átalakítása algebrai alakra. [video]
DeMoivre tétel. [video]
Komplex számok gyökei. [video1], [video2]
Euler formula.

Vektor algebra. [prezentáció]
Sík- és térvektorok.
Vektorműveletek, koordináta-mentes és koordinátás értelmezés.
Műveleti tulajdonságok. Analitikus geometriai alapfeladatok.

Halmazelméleti alapfogalmak.
Halmazalgebrai műveletek.
Korlátos számhalmaz maximuma, minimuma, supremuma, infimuma.

SOROZATOK

Valós számsorozatok. [prezentáció]
Valós számsorozat definíciója, jelölése, megadási módjai. Részsorozat, monoton sorozat, korlátos sorozat értelmezése és tulajdonságai.
Számsorozat határértéke. Konvergens sorozat korlátos. Konvergencia vizsgálatot könnyítő néhány tétel.
Nevezetes határértékek.
Számsorozat sűrűsödési értékei (torlódási pontjai).

EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK

Egyváltozós valós függvények. [prezentáció]
Valós számhalmazon értelmezett valós értékű függvények értelmezése, szemléltetése; műveletek függvények körében.
Függvények néhány tulajdonsága (korlátosság, monotonitás, periodikusság, páros-páratlanság, konvexitás-konkávitás).

Határérték. [prezentáció]
Egyváltozós valós függvény határértéke a végesben és a végtelenben. Jobb- és baloldali határérték. Műveletek határértékkel (algebrai műveletek, összetett függvény határértéke).
Néhány nevezetes határérték.

Folytonosság. [prezentáció]
Pontbeli, intervallumbeli, egyenletes folytonosság. Jobb- és baloldali folytonosság.
Műveletek folytonos függvényekkel (algebrai műveletek, összetett és inverz függvény folytonossága).
Korlátos zárt intervallumon folytonos függvények néhány tulajdonsága.
Szakadási hely értelmezése, osztályozása (megszüntethető szakadási hely, ugráshely, másodfajú szakadás).

Differenciálszámítás I. [prezentáció]
Differenciálhatóság fogalma pontban, intervallumon.
Jobb- és baloldali differenciálhatóság; differenciálhatóság és folytonosság kapcsolata.
Differenciál fogalma. Differenciálási szabályok.

Differenciálszámítás II. [prezentáció]
Differenciálszámítás középérték tételei.
Deriváltfüggvény és tulajdonságai. Magasabbrendű deriváltak értelmezése, szabályai.
Elemi függvények és inverzeik értelmezése, fontosabb tulajdonságaik és differenciálásuk (hatványfüggvény, exponenciális függvény, logaritmus függvény, trigonometrikus függvények, arcus függvények, hiperbolikus függvények, area függvények).

Differenciálszámítás alkalmazásai I. [prezentáció]
Határérték meghatározása differenciálható függvények esetén, L'Hospital tétel.
Lokális és globális függvényvizsgálat differenciálható függvények esetén (növekedés-csökkenés, konvexitás-konkávitás, inflexió, lokális és abszolút szélsőérték, aszimptota egyenes).

Differenciálszámítás alkalmazásai II. [prezentáció]
Szélsőérték keresés. Gyökkeresés Newton-módszerrel.
Paraméter és polárkoordináta. [prezentáció]
Síkgörbék paraméteres és polárkoordinátás megadása. Formális deriváltak kiszámítása számítógéppel.

Integrálszámítás. [prezentáció]
Primitív függvény és határozatlan integrál fogalma és fontosabb tulajdonságai. Primitív függvény keresés néhány egyszerű módja.
Alapintegrálok.

Határozott integrál I. [prezentáció]
Alapfogalmak. (Felosztás és annak finomítása; alsó, felső közelítő összeg, integrálközelítő összeg.)
Határozott integrál definíciója (alsó, felső közelítő összeggel és integrálközelítő összeggel).
Folytonos vagy monoton függvény integrálható.
Határozott integrál kiszámítása, Newton-Leibniz tétel.
Határozott integrál néhány tulajdonsága.

Határozott integrál II. [prezentáció]
Határozott integrál középérték tétele.
Az integrálfüggvény fogalma, folytonossága. Integrálfüggvény és primitív függvény kapcsolata.
Improprius integrálok értelmezése, abszolút és feltételes konvergenciája. Improprius integrálokra vonatkozó Cauchy-kritérium, majoráns és minoráns kritérium.
Az integrálási szabályok általánosítása improprius integrálokra.

Integrálási módszerek.
Trigonometrikus függvények szorzatának integrálása.
Parciális integrálás.
Teljes négyzetté való kiegészítéssel alapintegrálokra való visszavezetés.
Racionális törtfüggvények integrálása.
Helyettesítéses integrálás. [pdf]

Az integrálszámítás alkalmazásai. [prezentáció]
Integrálszámítás geometriai alkalmazásai.
Görbe alatti, görbék közötti, szektorterület.
Forgástest térfogata. Ívhossz értelmezése és meghatározása. Forgástest felszíne. Súlypont.
Trapézformula, Simpson-formula. Határozott integrálok kiszámítása számítógéppel.

---

Irodalom

[1] Thomas, George B. (jr.) : Thomas-féle kalkulus, Typotex, Budapest 2006.

[2] Matematikusok életrajza (angolul)

Kiegészítő irodalom

[1] Babcsányi et. al.: Matematika feladatgyűjtemény I., Műegyetemi Kiadó, 1998. (olvasás)

[2] Fritz Józsefné - Kónya Ilona - Pataki Gergely - Tasnádi Tamás: Matematika 1. (olvasás)

[3] Fritz Józsefné - Kónya Ilona - Pataki Gergely - Tasnádi Tamás: Matematika 1. gyakorlatok (olvasás)

[4] Leindler László: Analízis, Polygon 2001.

[5] Walter Rudin: A matematikai analízis alapjai, Műszaki Könyvkiadó

[6] Urbán János: Határérték számítás (Bolyai sorozat)