Analízis kettes

1. Sorozat fogalma, monotonitás, korlátosság, határérték, torlódási pont definíciója.

2. Az elemi függvények (hatvány, exponenciális, trigonometrikus, hiperbolikus függvények és inverzeik) grafikonja.

3. Az elemi függvények transzformáltjainak ábrázolása.

4. Függvény határérték fogalma. Folytonosság definíciója.

5. Differenciálhányados definíciója, geometriai és fizikai szemléltetése.

6. Differenciálható függvény érintő egyenesének felírása.

7. Határozatlan integrál, primitív függvény.

8. Newton-Leibniz formula.

9. Numerikus sor és konvergenciájának definíciója.. Geometriai sor.

10. Komplex szám algebrai, trigonometrikus és exponenciális alakja.

11. Műveletek komplex számokkal (összeadás, szorzás, osztás).

12. Komplex számok hatványozása.

13. Függvénysorok pontonkénti konvergenciája, konvergencia tartomány, hatványsorok és konvergencia tartománya.

14. Exponenciális függvények, sinx, cosx, chx, shx, függvények McLaurin-sora.

15. Fourier-sor definíciója.

16. Vektorok skaláris és vektoriális szorzatának a definiálása és kiszámítása.

17. Egyenes és sík paraméteres és paraméter nélküli egyenletei.

18. Vektorok lineáris kombinációja, függetlensége, vektortér bázisa, dimenziója.

19. Mátrix műveletek (összeadás, számmal való szorzás, mátrixok szorzata).

20. Másod és harmadrendű determináns kiszámítása.

21. Mátrix sajátértékei és sajátvektorai, karakterisztikus egyenlet.

22. Kétváltozós függvény értelmezése, ábrázolása, szintvonalai.

23. Parciális deriváltak definíciója és geometriai jelentése.

24. Kétváltozós függvény iránymenti deriváltja.

25. Exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus, hiperbolikus függvények értelmezése komplex változóval.

26. Differenciálegyenletek osztályzása (közönséges vagy parciális, diff. Egyenlet rendje, lineáris-e vagy nem, homogén vagy inhomogén).

27. Térgörbék megadása, érintője, ívhossza..

28. Térgörbe kisérő triédere.

29. Felületek kétféle megadási módja.

30. Felületek érintősíkjának egyenlete.

31. Skalármező és vektormező fogalma.

32. Gradiens, divergencia, rotáció kiszámítása.

Analízis hármas

1. Nevezetes határértékek kimondása (pl. két polinom hányadosa, , , , , , az -t definiáló határérték).

2. Függvény inverzének előállítása, az és grafikonjának kapcsolata.

3. Zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai.

4. Implicit és paraméteresen adott függvények deriválása.

5. Taylor-tétele függvények Taylor-polinommal való közelítéséről.

6. L’Hospital- szabály.

7. Egyváltozós függvények lokális szélsőértékeinek meghatározása.

8. Monotonitás és konvexitás kapcsolata a deriváltakkal.

9. Két függvénygörbe n-edrendű illeszkedése, simulókör, görbület.

10. Határozott integrál pontos definíciója.

11. Imroprius integrál (ne korlátos tartományra vagy nem korlátos függvény).

12. Numerikus sorok abszolút és feltételes konvergenciája.

13. Sorok konvergencia kritériuma (majoráns-, minoráns-, gyök-, hányados—kritérium, Leibniz-kritérium).

14. Sorok átrendezhetőségének a feltétele.

15. Függvénysor egyenletes konvergenciájának a fogalma.

16. Pont és sík távolsága analitikus geometriai eszközökkel.

17. Lineáris leképezés definíciója, és mátrixa adott bázisban.

18. Mátrix rangja és meghatározása.

19. Determináns kifejtési tétele.

20. Mátrix inverze, inverzmátrix kiszámítása.

21. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának feltétele, kapcsolata a mátrixok rangjával.

22. Kétváltozós függvény adott pontjában az érintősík előállítása.

23. Kétváltozós valós értékű függvény első és második deriváltja.

24. Kétváltozós függvények szélsőértékének szükséged és elégséges feltételei.

25. Mit értünk kétváltozós függvény feltételes szélsőértékén?

26. Síkbelei normáltartomány fogalma, kettős integrál kiszámítása normáltartományon.

27. Komplex függvények differenciálhatósága, Cauchy-Riemann differenciálegyenletek.

28. Elsőrendű szétválasztható változójú differenciálegyenletek megoldása.

29. Állandó együtthatós lineáris homogén differenciálegyenletek megoldása.

30. Torzió, Frenet-képletek.

31. Felületdarab felszíne, Gauss-féle első főmennyiségek.

Analízis négyes

1. Bolzano-Weierstrass tétel kimondása és sorozatokra korlátosság, monotonitás és határérték kapcsolata.

2. Zárt intervallumon folytonos függvény korlátosságának bizonyítása.

3. Nevezetes görbék (ciklois kardioid).

4. Rolle és Lagrange középérték tételek bizonyítása.

5. Taylor-polinom hibájának becslése. (Illusztrációja a kiszámításán 0,001 pontossággal).

6. Inflexiós pont fogalma és meghatározása.

7. Bizonyítandó, hogy ha az [a,b] intervallumon, akkor a függvény monoton növő.

8. Racionális tört függvény integrálása parciális törtekre bontással.

9. Newton-Lebniz tétel bizonyítása.

10. Integrálszámítás alkalmazásai (terület, ívhossz, súlypont, forgástest térfogata, felszíne derékszögű koordináta rendszerben).

11. Függvénysor határértékének folytonosságát, differenciálhatóságát, integrálhatóságát kimondó tételek.

12. Kitérő egyenesek távolsága analitikus geometriai eszközökkel.

13. Determinánsok tulajdonságai(elemi sor és oszlop transzformációk hatása, szorzat determinánsa).

14. Gauss, Gauss-Jordan módszer, az egyenletrendszer megoldásainak száma.

15. Homogén egyenletrendszer megoldásainak száma és a megoldások előállítása.

16. Szimmetrikus mátrix sajátértékei, sajátvektoraira vonatkozó tételek.

17. Kétváltozós függvény feltételes szélsőértékeinek meghatározása Lagrange-féle multiplikátoros módszerrel.

18. Kétváltozós Taylor-formula.

19. Jacobi-determináns, integrál transzformációk (polár-, gömbi-, henger-,koordináták).

20. Az , kezdeti érték probléma (Cauchy- feladat) megoldásánál létezése és annak egyértelműsége.

21. Elsőrendű homogén lineáris parciális diff. Egyenletek megoldása karakterisztikus görbék módszerével.

22. Térgörbe esetén áttérés ívhossz paraméterezésre.

23. Vektormező integrálása görbe mentén.

Analízis ötös

1. Az -t definiáló sorozat konvergenciájának bizonyítása.

2. Bolzano-Weierstrass tétel bizonyítása.

3. Sorozatokra vonatkozó korlátosság, monotonitás és határérték kapcsolatát leíró tételek bizonyítása.

4. Az kifejezése az segítségével.

5. A simulókör vagy a görbület levezetése.

6. Fourier-sor együtthatóinak levezetése.

7. Főtengely-transzformáció.

8. Hiányos másodrendű diff. egyenletek megoldásának levezetése.

9. Állandó együtthatós lineáris inhomogén diff. egyenletek megoldása speciális jobb oldal estén próba függvénnyel.

10. Egydimenziós hővezetés diff. egyenletének megoldása Fourier-módszerrel.

11. Egydimenziós rezgő húr diff. egyenletének megoldása Fourier-módszerrel.

12. Térgörbe görbületének a levezetése.

13. Felületi pontok görbületi jellege, Gauss-féle második főmennyiségek.

14. Vektormező felületi integrálja

Valószínűségszámítás Kettes

1. Eseménytrér, kimenetelek események. Műveletek eseményekkel. Reletív gyakoriság és valószínűség fogalma és alapvető tulajdonságai.

2. A valószínűség elemi tulajdonságai, komplementer esemény valószínűsége, monotonitás, két tetszőleges esemény összegének (uniójának) valószínűsége.

3. Feltételes valószínűség fogalma, a valószínűségek szorzási szabálya két és több eseményre alkalmazási példákkal illusztrálva.

4. A teljes valószínüség tétele alkalmazási példákkal illusztrálva.

5. Bayes-tétele alkalmazási példákkal illusztrálva.

6. Események függetlensége két eseményre feltételes valószínüséggel és szorzási szabállyal, példákkal illusztrálva.

7. A vószínűségi változó és eloszlása. Eloszlás típusok: diszkrét és folytonos, példákkal illusztrálva.

8. Várható érték, általános képlet diszkrét és folytonos esetre, kapcsolat a kísérleti eredmények átlagával.

9. Diszkrét egyenletes eloszlás, klaszikus valószínűségi feladatok, elemi kombinatorikai módszerek (összegzési és szorzási szabály, ismétlés nélküli és ismétléses permutáció, variáció és ismétlés nélküli kombináció) alkalmazása.

10. Binomiális eloszlás, kísérleti háttér (visszatevéses mintavétel), képlet és várható érték és szórás ismerete.

11. Poisson eloszlás, kísérleti háttér (sok kicsi valószínűségű független…), képlet és várható érték ismerete, alkalmazások.

12. Geometriai eloszlás, kísérleti háttér képlet levezetése.

13. Sűrűségfüggvény, eloszlásfüggvény egy-dimenzióban, tulajdonságaik, kapcsolatuk, valószínűségek kiszámítása segítségükkel.

14. Nevezetes folytonos eloszlások: egyenletes, exponenciális. Sűrűségfüggvény, eloszlásfüggvény, várhatóérték ismerete alkalmazások.

15. Egydimenziós normális eloszlások, visszavezetés standard normálisra. Standard normális sűrűségfüggvény ismerete. Valószínűségek kiszámítása standard normális táblázattal.

16. Momentumonk. Szórásnégyzet, szórás, kiszámolás momentumokból. Steiner –egyenlőtlenség, minimál-tulajdonság.

17. Kétdimenziós eloszlások megadása diszkrét és folytonos estben, valószínűségek kiszámítása. Peremeloszlások.

18. Geometriai problémák: valószínűségek számolása egy és kétdimenziós egyenletes eloszlásokból, alkalmazások.

19. Eloszlás transzformáció eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény alkalmazásával egy-dimenzióban példákkal illusztrálva.

20. Független valószínüségi változók, szorzat várható értéke, összeg szórásnégyzete , levezetés nélkül, de példákkal illusztrálva.

Valószínűségszámítás Hármas

1. Események összegének(uniójának) valószínűsége, Poincaré-féle (szita-formula) alkalmazása.

2. A teljes valószínűség tételének levezetése.

3. A Bayes-tétel levezetése.

4. Események függetlensége több eseménynél(teljes és páronkénti), példával is illusztrálva.

5. Binomális eloszlás képletének és „tagok összege 1” levezetése

6. Binomiális eloszlás várhatóértékének levezetése.

7. A módusz levezetése diszkrét eloszlásokkal kapcsolatban (binomiális vagy Poisson).

8. Hipergeometrikus eloszlás, kísérleti háttér, képlet levezetése.

9. A Poisson eloszlás várható értékének levezetése.

10. Geometriai eloszlás várható értékének levezetése

11. Intervallumon egyenletes eloszlás várható értékének és szórásának levezetése.

12. Exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága.

13. Exponenciális eloszlás várható értékének és szórásának levezetése.

14. Moivre-Laplace-tétel alkalmazása valószínűségek kiszámítására.

15. Valószínűségi változó függvénye várható értékének kiszámítása és alkalmazásai (egy- és kétdimenzióban).

16. Medián és kvantilisek fogalma, a medián minimál-tulajdonsága.

17. Steiner-tétel bizonyítása.

18. Csebisev egyenlőtlenség kimondása.

19. Kovariencia és korreláció együttható fogalma. Függetlenség és korrelálatlanság kapcsolata (indoklással).

20. Eloszlás-transzformáció egy-dimenzióban, eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény képletének levezetése.

21. Eloszlás-transzformáció síkról egyenesre, az eloszlásfüggvény képletének ismerete és alkalmazása.

22. Feltételes eloszlások. Diszkrét és folytonos eset.

23. A regressziós probléma, a lineáris regresszió fogalma, példával.

24. A konvolúció fogalma, képlete és alkalmazása.

Valószínűségszámítás-négyes-ötös

1. A valószínűségszámítás Kolmogorov-féle axiómái és elemi következményeinek levezetése.

2. A Poncaré-tétel (szita-formula) bizonyítása.

3. Binomiális eloszlás szórásának levezetése.

4. Hipergeometrikus eloszlás várható értékének levezetése.

5. Poisson eloszlás, mint a binomiális eloszlás határeloszlása, bizonyítás.

6. Negatív binomiális eloszlás, kísérleti háttér, képlet, várható érték levezetése.

7. Polinomiális és polihipergeometrikus eloszlás, kísérleti háttér,képlet levezetése.

8. Cauchy eloszlás definíciója, sűrűségfüggvényének levezetése, várható értékének problémája.

9. Moivre-Laplace-tétel kimodása és illusztrálása példákon.

10. Csebisev-egyenlőtlenség bizonyítása.

11. Az összeg, szorzat és hányados sűrűségfüggvényének levezetése.

12. Adott (folytonos) eloszlású valószínűségi változó generálása.

13. Feltételes várható érték fogalma és kapcsolata a regresszióval.

14. Regressziós egyenes egyenletének levezetése.

15. Kétdimenziós normális eloszlás. Lineáris kombinációk eloszlása.

16. Nagyszámok törvényei, a gyenge törvény bizonyítása, alkalmazása.

17. Centrális határeloszlás tétel kimondása és alkalmazása.