Az elégségeshez szükséges követelményeket illusztráló példa

13. Tétel: Többváltozós függvény differenciálhatósága

A megkövetelt minimális válasz:

(Persze bizonyos pontokon - pl. a példákban - megengedhetõek bizonyos eltérések)

a) Definíció:

1. Legyen n pozitív egész, $H \subseteq {\mathbb R}^n$ nyílt, $r \in H$. Azt mondjuk, hogy az $f: H \longrightarrow {\mathbb R}$ differenciálható az r-ben, ha van olyan g vektor (az f gradiense, jelölése: gradf), hogy

${\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(r+h)-f(r)-g\cdot h}{\vert h\vert}=0}$.

2. Iránymenti derivált: adott egységnyi hosszú $e \in {\mathbb R}^n$ esetén t valóssal

${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial e}\, \rule[-3mm]{0.005mm}{7mm}_{\,\,r}\circeq \lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(r+te)-f(r)}{t}}$

A koordinátairányú iránymenti deriváltakat (azaz ha $e = e_i=(0,0,\ldots,1^{\smile^{\!\!\!\!i}},\ldots,0)$) az i. koordináta szerinti parciális deriváltnak nevezzük.

b) A legfontosabb tételek és más fogalmakkal való legfontosabb kapcsolatok:

b1) f deriválható $\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}$ léteznek a parciálisai és gradf komponensei a parciálisok:

grad ${\displaystyle f= \left(\frac{\partial\,f}{\partial\,x_1}, \frac{\partial\,f}{\partial\,x_2}, \ldots , \frac{\partial\,f}{\partial\,x_n}\right)}$

Fordítva nem igaz, de ha a parciálisok folytonosak, akkor abból már következik a gradiens létezése.

b2) f deriválható $\mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}f$ folytonos, fordítva nem igaz.

b3) Koordinátafüggvények ( $f_i(x_1,x_2,\ldots,x_i,\ldots,x_n)=x_i$) deriválhatóak, deriválhatóság invariáns az alapmuveletekre (nevezõ nem nulla) és az összetett függvény képzésre

b4) Ha létezik gradiens, akkor ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial e}\,= \mbox{grad\,}f\cdot e}$, de iránymenti derivált létezhet akkor is, ha a gradiens nem létezik.

c) Példák:

c1) ${\displaystyle f(r)=\vert r\vert}$.

Az origón kívül ${\displaystyle \mbox{grad\,}f= \frac{r}{\vert r\vert}}$, az origóban nem létezik gradiens, már a parciálisok sem léteznek: pl. két változós esetben ${\displaystyle f(x,0)= \vert x\vert}$ nem deriválható az origóban.

c2) ${\displaystyle f(x,y) = x^2\cdot y, \,\,\,\,\,\, \mbox{grad\,}f = (2xy,x^2)}$

c3) ${\displaystyle f(x,y) = \frac{x\cdot y}{x^2+y^2} \,\,}$az origón kívül és f(0,0)=0.

1) Az origón kívül ${\displaystyle \mbox{grad\,}f= \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}(-y,x)}$ (koordináta függvények alapmüveletei).

2) Az origóban nem létezik a gradiens (bár a parciálisok léteznek !!), a függvény még csak nem is folytonos mert $\lim_{x\rightarrow 0} f(0,x)=0\neq \frac{1}{2} = \lim_{x\rightarrow 0} f(x,x)$. Valóban:

${\displaystyle f(x,0)=f(0,y)=0 }$ ${\displaystyle \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}}$

${\displaystyle \hspace*{-2mm} \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ ... ...(x,y)-f(0,0)-(0,0)\cdot(x,y)} {\sqrt{x^2+y^2}}= \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=}$ ${\displaystyle \frac{\frac{x\cdot y}{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}= \frac{x\cdot y}{({x^2+y^2})^{3/2}}}$

esetén ${\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}g(x,y)\neq 0}$ mert $\lim_{x\rightarrow 0} g(x,x) = \lim_{x\rightarrow 0}c\cdot\frac{x^2}{\vert x\vert^3}$ nyilván még csak nem is létezik.

d) Szemléletes jelentés:

d1) A gradiens a függvény legnagyobb változási irányába mutató vektor. Például origóbeli pontszeru hoforrás esetén a gradiens sugárirányú mivel nyilván errefelé csökken legjobban a homérséklet d2) A gradiens az adott ponton átmeno f(r)=c egyenletu (hiper)szintfelület érintosíkjának normálvektora. Origóbeli pontszeru hoforrás esetén a szintfelület (azaz az azonos homérsékletu pontokat tartalmazó felület) az adott ponton átmeno origóközéppontú gömb, a gradiens ennek normálisa.

d3) Iránymenti derivált: a függvény változási sebessége az e irányban

f) Alkalmazások:

f1) Deriválható f lokális szélsoértékhelyein grad$\,f=0$

f2) Gradiens a szintfelület éríntosíkjának normálisa

f3) Gradiens abszolút értéke a legnagyobb iránymenti derivált, ill. az iránymenti derivált a gradiensnek a megfelelo irányra vett vetülete

f4) Skalárpotenciál: L kezdopontja r₀, végpontja r₁ és ${\displaystyle v = \mbox{grad}\,u \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}}$

${\displaystyle \mbox{\,\,\,\,\raisebox{-0.5mm}{\Large$\leadsto$ }\,\,\,\,}\int_L v\, dr = u(r_1)-u(r_0)}$

f5) Ha u skalár- és v vektorfüggvény:

div $(u\, v)= u\,\mbox{div}\,v + \mbox{grad}\,u\cdot v$

rot $(u\, v)= u\,\mbox{div}\,v - \mbox{CROSS}\,v\cdot\mbox{grad}\,u \mbox{ \ \ (s\'\i kban) }$

rot $(u\, v)= u\,\mbox{div}\,v - v \times\mbox{grad}\,u \mbox{ \ \ (t\'erben) }$