Tematika
Villamosmérnöki szak II. évf. 13.-18.tk.
1998/99 tél
A. VEKTORANALÍZIS
1. Integrálásra vezetö fizikai problémák.
2. Háromdimenzióbeli görbék, felületek és tartományokra vonatkozó alapfogalmak. Topológiai alapok: homoeomorfizmus definíciója és szemléletes jelentése. Térgörbék definíciója, érinto, ívhossz, ívhossz paraméter, görbület. Példák: kör, egyenes, csavarvonal. Felületek definíciója és osztályozása. Elemi és egyszeru felületek. Felület határa ill. belso pontja. Kontúr. Zárt és nyílt felületek. Egyszeresen és többszörösen összefüggo felületek. Topológiai invariáns. Irányíthatóság. Möbius-szalag és kettévágásai, Klein-palack és kettévágása. Felületek jellemzo mennyiségei: felületi normális, érintosík, felszín. Példák: egyenes körhenger és körkúpfelület, gömb paraméteres egyenletei.
3. Görbék és felületek általános fogalma. Vekroriális szorzat általánositása, CROSS és tulajdonságai. Hiperfelületek. Definíció, alapfogalmak, valódi felület, görbe, térrész. Érinto, érinto hipersík. Irányítás. Mérték: ívhossz, felszín, térfogat. Normál tartomány és térrész. Implicit egyenlet.
4. Vonal- és felületi integrál általános fogalma. Definíció, mérték (ívhossz, ill. felszín) szerinti és görbe- ill. felületmenti integrál. Integrál tulajdonságai (különös tekintettel a a mérték szerint integrál és a görbe- ill. felületmenti integrál közötti összefüggésre).
5. Vektorfüggvények szemléltetése erovonalaikkal. Példák: sík- és térbeli ponttöltés tere, végtelen mágneses vezeto tere, homogén- és homogén irányú terek.
6. Vektorfüggvények nagyság(változás)ának jellemzése felületi integrállal: fluxus és forrássuruség fizikai jelentése áramló anyag illetve eroterek leírása esetén, források és nyelok. Példák: sík- és térbeli ponttöltés terének, homogén és homogén irányú terek zárt felületre vonatkozó fluxusa és forrássurusége. Divergencia.
7. Vektorfüggvények irány(változás)ának jellemzése felületi integrállal: cirkuláció és örvénysuruség fizikai jelentése áramló anyag illetve eroterek leríása esetén. Példák: sík- és térbeli ponttöltés terének, homogén- és homogén irányú terek zárt görbére vonatkozó cirkulációja és örvénysurusége. Rotáció.
8. A deriválttenzor invariánsai. Skalárinvariáns és divergencia, vektorinvariáns és rotáció.
9. Divergencia- és rotációszámítás. Nabla, a
divergencia és
rotáció lineáris operátorok, skalár- és
vektorfüggvény szorzatának
divergenciája és rotációja. Konstans, identitás,
CROSS ill. vektoriális
szorzat divergenciája és rotációja. Speciális
összetett függvények:
rotgrad u, divrot v, divgrad u. Példa:
n-dimenziós Coulomb
törvény.
10. A fluxus és divergencia kapcsolatára vonatkozó
integráltétel: a
Gauss-Osztrogradszkij tétel . A Gauss-Osztrogradszkij tétel mint a
Newton-Leibniz formula általánosítása, a tétel egy geometriai
alkalmazása: n-dimenziós kúp térfogata, a tétel
alkalmazása felületi
integrál kiszámítására, a tétel
alkalmazásának
korlátai: a ponttöltés
terének divergenciája és fluxusa, Green-formulák.
Egyéb Gauss-
Osztrogradszkij tipusú tételek: a második Gauss-Osztogradszkij
tétel és a gradiens-tétel.
11. A cirkuláció és a rotáció kapcsolatára vonatkozó integráltétel: a Stokes-tétel. Rotáció zárt felületmenti integrálja, a tétel egy geometriai alkalmazása: síktartomány területének számítása vonalintegrállal, a tétel alkalmazása vonalintegrál kiszámítására, a tétel alkalmazásának korlátai: a végtelen vezeto mágneses terének cirkulációja és fluxusa.
12. A potenciálelmélet elemei: a skalárpotenciál mint a primitív függvény általánosítása. Potenciál létezésére vonatkozó szükséges és elégséges feltételek: potenciál és zárt görbe menti integrál, potenciál és az integrál függetlensége az úttól, potenciál és rotációmentesség.
13. Potencálkeresés vonalintegrállal (speciálisan koordinátatengelyekkel párhuzamosan és sugárirányban). Potenciálkeresés parciális differenciálegyenlet megoldással. Példák két-, három- és négydimenzióban. Potenciál alkalmazása vonalintegrál kiszámítására. Egzakt differenciálegyenlet definíciója és megoldása.
1. Az alapstruktúra: a komplex számok halmaza. Az univerzum. Számkörbovítés. Komplex szám definíciója. Kanonikus alak, abszolút érték, konjugált, valós rész, képzetes rész. A komplex számok teste. Aritmetika, alapveto azonosságok és egyenlotlenségek. A komplex számok kétdimenziós lineáris tere. Trigonometrikus alak. Alapveto jellemzok, komplex vektoraritmetika trigonometrikus alakban, muveletek geometriai jelentése. Gyökvonás, másodfokú egyenletek gyökei. Exponenciális alak. A komplex számok normált tere. Ponthalmazelméleti alapfogalmak, tartomány. Komplex síkgörbék és tartományok megadása. Konvergencia. Alapfogalmak és alapveto tételek a komplex számok normált lineáris terén. Riemann-féle számgömb, sorozat végtelenhez tartása.
2. Függvénytani alapfogalmak. Komplex függvény, megadás, ábrázolás. Lineáris leképezések. Lineáris egész- és törtfüggvény. A lineáris leképezés mint elemi síktranszformációk összetett függvénye. Körívekre és egyenes szakaszokra bomló határú tarományok képeinek meghatározása. Adott (körívekre és egyenes szakaszokra bomló határú) tartományt adott (körívekre és egyenes szakaszokra bomló határú) tartományba vivo lineáris leképezés keresése. Határérték, folytonosság. Alapfogalmak és alapveto tételek a komplex számok kétdimenziós normált terén egyrészt és a komplex számtesten másrészt. A konjugálás mindenütt folytonos.
3. Deriválhatóság. Definíció és alapveto tételek a komplex számok testén. Regularitás. Cauchy-Riemann differenciálegyenletek és összefüggésük a deriválhatósággal. Deriválhatóság vizsgálatok. Harmonicitás és regularitás, harmonikus társ, harmonikus társ keresés. Konformitás.
4. Hatványsorok. Numerikus sorok, a valós numerikus sorokkal analóg alapveto fogalmak és tételek, konvergenciakritériumok. Hatványsorok, a valós hatványsorokkal analóg alapveto fogalmak és tételek. Taylor-sorok, formális Taylor-sor, Taylor-sor egyértelmusége.
5. Elemi függvények. Valós függvények kiterjesztése a komplex síkra hatványsor segĦtségével. Az exponenciális függvény és legfontosabb tulajdonságai. Trigonometrikus függvények és legfontosabb tulajdonságaik, Euler formulák, exponenciális alak. A logaritmus függvény foága és legfontosabb tulajdonságai. Hiperbolikus függvények definíciói. Általános hatványfüggvény definíciója.
6. Komplex integrál. Definíció, alaptulajdonságok. Cauchy-féle integráltétel, következményei és kiterjesztései. Integrálfüggvény, primitív függvény. Newton-Leibniz tétel. Az integrál kiszámítása. Egész kitevoju hatványfüggvény tetszoleges folytonos egyszeru zárt rektifikálható görbén vett integrálja.
7. Analicitás és következményei. Reguláris függvény analitikus azaz Taylor-sorba fejtheto. Deriváltakra vonatkozó Cauchy-féle integrálképletek és alkalmazásuk integrálok kiszámítására. Analicitás következményei, L'Hospital-szabály.
8. Laurent-sorfejtések és tulajdonságaik, racionális törtfüggvények Laurent-sora. Izolált szinguláris pontok osztályozása. Residuum, reziduum kiszámítása, reziduum-tétel. Integrálás reziduum tétellel.
9. Kitekintés. Alapveto különbségek valós és komplex függvények között (pl. korlátos függvény izolált szingularitása megszüntetheto). Liouville-tétel. Algebra alaptétele. Unicitási tétel: reguláris nem nulla függvény gyökei nem torlódhatnak, valós függvénykiterjesztések egyértelmuek és az azonosságok érvényben maradnak.