2000/01 tél II. Villamosmérnök 13.-18.tk.
1.
Legyen H az a háromszögvonal, melynek csúcsai
a (0,0), (0,2) , (2,0) pontok a síkban.
Legyen
egy
kétdimenziós
vektorfüggvény.
Számítsuk ki v
felületmenti integrálját a kifelé irányított H-n!
MO. , így Gauss-Osztrogradszkij tétellel: (F a H által bezárt háromszöglap):
VAGY: a tengelyek mentén a felületi integrál 0, mert az x tengely mentén: v(x,0)=(x2,0), melynek csak x irányú, tehát a normálisra meroleges komponense van és u.így a másik tengely esetén. Tehát csak az átfogóra kell kiszámítani a felületi integrált. Ennek egyenlete:
2. Legyen H az a z tengelyu R sugarú h magasságú (háromdimenzióbeli) egyenes körhengerpalást, melynek alapköre az [x,y] síkban van.
MO. Legyen , n a hengerpalást normálisa, vn pedig v-nek n-re eso vetülete. Ekkor a hengerpaláston mindenütt vn=R így
VAGY: a hengerpalást egyenlete:
3. Számítsuk ki értékét, mint r függvényét minden -re ha ! MO.
().
4. Számítsuk ki a értékét !
MO. .
5. = ?
MO. Legyen f(z) a fenti függvény. Taylor-sora:
VAGY: L'Hospitallal:
6. Legyen K egységnyi sugarú, origóközéppontú kör és n >0 tetszoleges természetes szám.
Mennyi az integrál értéke?
MO. A Cauchy integrálformula szerint:
Itt most és