4. Vizsgazárthelyi megoldásokkal
1999/2000 tél II. évf. 13.-18.tk.
1. Legyen F a z-tengelyu R sugarú m magasságú egyenes körhengerpalást.
MO. . Ugyanis F normálisa , azaz n benne van a k és r által kifeszített síkban, míg persze . Következésképp az integrandus minden pontban meroleges a felületi normálisra, azaz az integrál 0.
VAGY:
2. Számítsuk ki a rot értékét minden esetén!
MO. rot , mert , mert antiszimmetrikus lin. op., vagy mert ahogy a fenti pl.-ban láttuk .
3.
Legyen K az [xy] síkbeli origóközéppontú
körvonal, mint kifele irányított kétdimenzióbeli
felület és
minden
-re.
MO. div így Gauss-Osztrogradszkij tétellel (F a K által bezárt körlap): mert F az y tengelyre szimmetrikus és az integrandus x-ben páratlan.
4. Legyen az origón kívül és g(0,0) = 0, továbbá f(z)=f(x+jy)=g(x,y)+jg(x,y). Állapitsa meg, hogy az origóban:
a) fennállnak-e a Cauchy-Riemann differenciáegyenletek b) deriválható-e az f függvény!
MO. a) Igen: . b) Nem: u(x,y)=v(x,y)=g(x,y) nem deriválható az origóban, hiszen nem is folytonos itt: .
5. Adja meg az függvény origó körüli azon Laurent sorait, melyek a a ill. a z=3 pontokban eloállítják a fúggvényt és mutassa is meg, hogy a megfelelo sor ott valóban eloállítja a függvényt! MO. a) |z| < 1:
b) |z| > 1:
c)
6.
MO. Az integrál 0, mert
-nek az egyetlen a
körlapon levo
szingularitásában, az origóban megszüntetheto
szakadása van.