3. Vizsgazárthelyi megoldásokkal
1999/2000 tél II. évf. 13.-18.tk.
1. Legyen F az R sugarú origóközéppontú kifelé irányított gömb és
MO. F normálisa , így v(r)-nek a normálisra való vetülete: vn(r)=|v(r)|=|r|3. Másrészt a gömbön |r|=R, így a gömbön vn(r)=|v(r)|=R3. Mindezekkel
2. Számítsuk ki a grad értékét minden esetén!
MO.
3.
Legyen K az [xy] síkbeli origóközéppontú
pozitívan irányított R sugarú
körvonal és
minden
-re.
MO. rot így Stokes tétellel (F a K által bezárt körlap):
mert F az x tengelyre szimmetrikus és az integrandus y-ban páratlan.
4. Határozza meg azt a tartományt, melybe az függvény a tartományt képezi!
MO. .
5. Számítsa ki az függvény 100. deriváltját az origóban! MO. Az függvény origó körüli Taylor-sora:
6. a) b)
MO. a) Az integrandus a körön belül reguláris, tehát Cauchy integráltétellel az integrál 0.
b) z2 mindenütt reguláris, tehát Cauchy integrálformulával: