1. Legyen egy kétdimenziós vektortér és az a háromszögvonal, melynek csúcsai az origó, a (0,1) és az (1,0) pontok. Számítsuk ki fluxusát -en mint egy kifelé irányított kétdimenzióbeli valódi felületen és cirkulációját -en mint egy pozitívan irányított kétdimenzióbeli görbén!
MO. a) , így Gauss-Osztogradszkij tétellel a fluxus (a háromszöglapot -vel jelölve): b) , így Stokes tétellel a cirkuláció (a háromszöglapot -vel jelölve):
2. Számítsuk ki a rot div értékét a pontban!
MO. div div grad és rot rot CROSS grad
CROSS (VAGY koordinátánként:
és .
Végülis tehát rot div rot rot .
3. Adjunk meg egy olyan skalár-függvényt, melyre fennáll, hogy grad minden esetén!
MO. (VAGY:
) Tehát mindenütt
(VAGY: , így tehát azaz , vagyis , így amibol
4. Legyen ha és Hol folytonos az függvény?
MO. Az origó kivételével mindenütt, mert esetén folytonos függvényekbol származik folytonosságot megorzo módon és , - nek pedig nincs határértéke az origóban, hiszen az tengely mentén: , míg az y tengely mentén
5. egységnyi sugarú, origó középpontú kör és tetszoleges egész szám. = ?
MO. Ha nem pozitív, akkor, mivel az integrandus reguláris, az integrál 0. Egyebként Cauchy integrál-formulával, vagy residuum-tétellel:
6. Határozza meg a függvény azon pont körüli Laurent sorát mely a pontban eloállítja a függvényt!
MO.