SCRIPTEK
 

Letölthetõ Fried Ervin    honlapjáról: Fried Ervin Az elõadás nem teljesen fedi a könyv anyagát !!!

  I. Elemi algebrai alapfogalmak

   1. Komplex számok  ( szeptember 14. és 17.)
            A racionális és valós számok teste, komplex számok algebrai és trigonometrikus alakja,
            komplex számok geometriája, egységgyökök. Algebra  alaptétele.

   2. Mátrixok és determinánsok  ( szeptember 21. ,24.és október 1.),(szeptember 28. dékáni szünet !)
           (a). Mátrix mûveletek, sor és oszlopvektor, inverz mátrix, speciális mátrixok. Lineáris egyenletrendszer és  mátrix, lineáris
           egyenletrendszer megoldásainak száma. Mátrix átalakítások: Gauss kiküszöbölés, elemi sormûveletek, elemi mátrix, sorekvivalencia.
           (b). Determinánsok elemi tulajdonságai. Kifejtési tétel. Determinánsok szorzástétele, mátrix rangja, Vandermonde determináns,

   3. Lineáris egyenletrendszerek  ( október 5.)
           Megoldás Gauss-Jordán eliminációval,  homogén lineáris egyenletrendszer, megoldhatósági  feltételek, invertálható mátrixok
           különféle jellemzései. Crammer szabály.

    4. Polinomok algebrája  ( október 8.  és október 12.)
           Polinomgyûrûk,C[x], R[x], Z[x], Q[x] , maradékos osztás, faktorizáció, legnagyobb közös osztó, irreducibilitás,
           Schönemann-Eisenstein kritérium, többszörös gyökök, többhatározatlanú polinomok,  a szimmetrikus polinomok alaptétele,
           primitiv polinomok.
 

II. Lineáris algebra

     5. Vektortér  ( október 12. és 15.)
           A vektor fogalma, mûveletek vektorokkal a 2 és 3 dimenziós térben. n-dimenziós valós tér: Rⁿ
           A vektortér absztrakt fogalma,  példák  vektorterekre, lineáris függetlenség, generátorrendszer,  bázis, standard bázis Rⁿ-ben,
           kicserélési  tétel,  dimenzió, izomorfizmus.  Mátrix  rangja sor- ill. oszlopvektorokkal.

     6. Vektortér konstrukciók ( október  19.)
           Altér ( lezárási rendszer,  az X által generált altér [X] ),  faktortér, direkt összeg és direkt szorzat,
           dimenziótétel: dim U?V + dim U+V = dim U + dim V.

     7. Lineáris leképezések (október 22,  október 26.)
           Lineáris leképezés és transzformáció fogalma, elemi tulajdonságaik, lineáris leképezések közötti  mûveletek,  a lin. leképezések tere,
           dimenzió tétel (dim Ker f + dim Im f = dimV), duális tér.  Injektív és szürjektiv leképezések jellemzései.

     8. Koordinatizálás   (október 29.  és november2. ),( november5. és 9. szünet !)
           Lineáris leképezések és mátrixok kapcsolata. Bázistranszformáció. A R²  tér invertálható lineáris  transzformációinak leírása.

     9. Bilineáris leképezések  (november 12. és 16.)
           Lineáris függvények és a duális tér. Bilineáris függvények mátrixa, Gram-Schmidt-féle  ortogonalizáció,  bázistranszformáció,  kvadratikus
           alakok a valós és  komplex térben.  Multilineáris függvény és a determináns.
           Pozitiv definit bilineáris forma. Tehetetlenségi tétel.

    10. Euklideszi és unitér terek  (november 19. és 23.)
           Skalárszorzat (belsõ szorzat):  <a,b >. Valós euklideszi tér geometriája,  ortonormált bázis,  pozitív definit mátrix, Cauchy-Schwarz
           egyenlõtlenség.  Ortogonális polinomok,   unitér tér. Alkalmazás: Legendre és Csebisev  polinomok.

    11. Mátrixok normálformái ( november 26. és  november 30.)
           Asszociált mátrixok, hasonlósági transzformáció, kongruens transzformáció, sajátvektor és  sajátértek, karakterisztikus polinom,
           minimálpolinom és a diagonalizálhatóság kapcsolata, Cayley-Hamilton tétel. Jordán-féle normálalak ( bizonyítás nélkül ).

    12. Euklideszi terek lineáris transzformációi   ( december 3. és 7.)
           Adjungált lineáris transzformáció, normális, szimmetrikus,  önadjungált, ortogonális,  unitér  transzformációk.
           Kvadratikus alakok,  fõtengelytétel és annak geometriai interpretációja, kapcsolata a másodrendû görbékkel.

    13. Vektorterek néhány alkalmazása:különféle térfogalmak  (december 10. és december 14.)  lásd
             Affin és projektiv terek, Desargues tétel szerepe a koordinatzálásban. Végtelen dimenziós vektorterek: Hilbert és Banach tér.

Jelen tanévben nem szerepel:

    14. Tenzorok   ( december 17.)
           Tenzorszorzat,  tulajdonságok,  tenzoralgebra,  szimmetrikus tenzorok, alkalmazások

2004. november 19.