RLCszimulacio
Author: Horváth Róbert
Date: 14 Május 2013

A kondenzátor töltése

Idő

L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=E(t)

\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{q}{LC}=\frac{E(t)}{L}

A homogén egyenlet megoldása:

\lambda^2+\frac{R}{L}\lambda+\frac{1}{LC}=0

\lambda_{1,2}=-\frac{R}{2L}\pm \sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2-\frac{1}{LC}}=:-\sigma\pm\sqrt{\sigma^2-\omega_0^2}

\sigma=\frac{R}{2L},\ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}

1. Túlcsillapított rezgőkör:

\sigma>\omega_0

q(t)=c_1e^{(-\sigma+\sqrt{\sigma^2-\omega_0^2})t}+c_2e^{(-\sigma-\sqrt{\sigma^2-\omega_0^2})t}

\sigma=\omega_0

q(t)=c_1e^{-\sigma t}+c_2te^{-\sigma t}

R=2\sqrt{\frac{L}{C}}

2. Alulcsillapított rezgőkör:

\sigma<\omega_0

-\sigma\pm\sqrt{\sigma^2-\omega_0^2}=:-\sigma\pm \omega i

q(t)=c_1e^{-\sigma t}\cos(\omega t)+c_2e^{-\sigma t}\sin(\omega t)

R>2\sqrt{\frac{L}{C}}

R<2\sqrt{\frac{L}{C}}

Veszteségmentes eset:

R=0

q(t)=c_1\cos(\omega t)+c_2\sin(\omega t)

Kritikus ellenállásérték

omega1 = 10 (slider from 8 to 12, step 0.01)
R = 0 (slider from 0 to 30, step 0.1)
L = 1 (slider from 0 to 1, step 0.0010)
C = 0.01 (slider from 0 to 0.01, step 1.0E-6)
Kritikus: 2 * sqrt(L / C)
E(x) = sin(omega1 * x)
omega: sqrt(-(R / (2 * L))^(2) + 1 / (L * C))
szöveg6 = LaTeX(omega, true, true)
ponthalmaz1 = SolveODE(R / L, 1 / (L * C), E(x) / L, 0, 1, 0.5, 50, 0.0010)
szöveg5 = LaTeX(Kritikus, true, true)