szakdolgozat

Petz Dénes szakdolgozati témái

A Fisher-információ: A fogalom megjelenik a statisztikai tananyagban egyszerű formájában a Cramér-Rao egyenlötlenséggel. A témák a matematikailag mélyebb változatok lennének valószínűségi formalizmusban, vagy kvantumelméleti változatban. A funkcionálanalízis tárgy elvégzésére szükség van. Parméterbecslési alkalmazásokat is lehet nézni.

A Haar-mérték: Lokálisan kompakt topologikus csoporton olyan mértékről van szó, ami invariáns a baloldali eltolásra. A szakdolgozati téma több szinten lehetséges, lehetnek benne tudománytörténeti megállapitások és el lehet jutni a Neumann-algebrák több témaköréhez is.

Kommutatív csoport esetére Neumann bizonyította a mérték létezését, nagyon erős hatással volt rá, hogy Haar Alfrédnek sikerült az általános eset. Összehasonlítható a két bizonyítás.

Az operátorgyűrűk elméletét Neumann kezdte, késöbb ezt Neumann-algebrának nevezték. Egy Neumann-algebrában rengetek projekció van. Véges dimenziós térben egy projekció nagysága a rangja lehet. Ennek két lényeges tulajdonsága van. Ha két projekció merőleges egymásra, akkor az összegük is projekció, aminek rangja a két rang összege. (Ez emlékeztet a mérték additivitására, diszjunkt unió helyett ortogonálisok összeadása szerepel.) A másik lényeges tulajdonság az, hogy egy projekciót unitérrel transzformálva a rangja nem változik. (Ez emlékeztet a mérték eltolásinvarianciájára.) A rang (vagy trace) általánosítására Neumann János Haar Alfréd gondolatát használta. Az ezt a témakört tartalmazó szakdolgozathoz nem túl mélyen meg kell ismerni a Neumann-algebrákat. Jóval mélyebben kell a következőhöz.
A baloldali és jobboldali Haar-mértéket a moduláris függvény köti össze. Egy lokálisan kompakt topologikus csoporthoz tartozik egy Neumann-algebra, amiben a moduláris függvény egy operátort indukál. Ez a példa lett a Tomita-Takesaki elmélet motivációja. Ehhez a részhez a nemkorlátos operátorok elméletét is ismerni kelll, és persze a Tomita-Takesaki elméletet is meg kell érteni. A szaldolgozat fő tartalma az lehet, hogy a csoportalgebrából hogyan lépett át Tomita az általános estre.

Témák a mátrixanalízisben: mátrix-monoton és mátrix-konvex függvények, mátrix-közepek, mátrix egyenlötlenségek, mátrixok nyomára vonatkozó egyenlőtlenségek, deriválás és integrálás, alkalmazások a kvantumelméletben és a kvantum információelméletben (a feladat a téma elmagyarázása, esetleges új bizonyítások és általánosítások, egyenlőtlenségeknél az egyenlőség kérdése)

Témák a nem-kommutatív valószinűségelméletben: Gauss-eloszlások és központi határeloszlás tétel, entrópia mennyiségek, Markov-láncok, statisztikai problémák (elégségesség, Fisher-információ).