Analízis 3        jegyzet

Vizsgakérdések

   1.   Komplex számok (topológia, kapcsolat 2x2-es mátrixokkal)
    2.    Komplex függvények deriválása,  Cauchy-Riemann egyenlet (biz), holomorf függvények.
   3.   Néhány speciális függvény (sin, exp, log, Gamma).
   4.   Vonalmenti integrál definiciója és tulajdonságai, összehasonlitás az ivhosz szerinti integrállal.
   5.   Cauchy-tétel: holomorph függvény körintegrálja (bizonyitással).
   6.   Cauchy-integrálformula  (bizonyitással). Liouville-tétel (bizonyitással).
   7.   Taylor-sor holomorf függvényre,  egyértelműségi tétel (bizonyitással és alkalmazással).
   8.   Lokális szingularítások osztályozása, példák.
   9.   Laurent-sorfejtás (bizonyitással).
   10. Metrikus tér topológiája és Borel-halmazai.
   11. Mérhető függvények (szorzat. összeg, limesz) és konvergenciák.
   12. Mértéktér (szigma-véges, szigma-additivitás, lépcsős függvény integrálja).
   13. Konvergenciák (majdnem mindenütt, mértékben).
   14. Külső mérték,  Carathéodory-feltétel.
   15. A Lebesgue-mérték.
   16. Integrál, Fatou-Beppo Levi tétel, Lebesgue-féle dominált konvergencia bizonyítással, alkalmazás.
   17. Radon-Nikodym-tétel, feltételes várható érték, Lebesgue felbontás.
   18. Szorzat-mérték.
   19. Elpé terek, Hölder-egyenlőtlenség, Minkowski-egyenlőtlenség (bizonyitással).
   20. Lokálisan kompakt terek  és Haar-mérték (biz. vázlat), példa
   21. Lokálisan kompakt kommutativ csoportok duálisa.
   21. A Fourier-transzformáció, Plancherel-tétel (bizonyitás vázlattal).
   22. A Hermite-függvények és generátor függvényük.
   23. Hilbert-tér ortonormált bázisa a számegyenesen.