%2011.11.21
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[leqno,intlimits]{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{wasysym}

\usepackage{times}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{hhline}
\usepackage{pstricks}

\usepackage[hmargin=1.5cm,vmargin=1cm]{geometry}

%\renewcommand\tabularxcolumn[1]{>{\raggedright\arraybackslash}m{#1}}
\renewcommand\tabularxcolumn[1]{>{\centering\arraybackslash}m{#1}}
\newcommand*{\ora}[1]{\nobreak\ {\scriptsize({#1})}}
\newcounter{sz}
\newcommand{\tsz}{\addtocounter{sz}{1}\thesz.}
\newcommand{\tsza}{\thesz/}
\newcommand*{\Pv}{{\bf P}}
\newcommand*{\Ev}{{\bf E}}
\newcommand*{\Dv}{{\bf D}}
\newcommand*{\Vv}{{\bf D}^2}
\newcommand*{\Cov}{{\text{\bf Cov}}}
\newcommand*{\Corr}{{\text{\bf Corr}}}
\newcommand*{\Rb}{\mathbb R}
\newcommand*{\Nb}{\mathbb N}
\newcommand*{\Nc}{\mathcal N}
\newcommand*{\Lc}{\mathcal L}
\newcommand*{\la}{\lambda}
\newcommand*{\si}{\sigma}
\newcommand*{\ve}{\varepsilon}
\newcommand*{\hop}{\bigskip\noindent}
\newcommand*{\1}{$^\bullet$}
\newcommand*{\2}{$^{\bullet\bullet}$}
\newcommand*{\3}{$^{\bullet\bullet\bullet}$}
\newcommand*{\e}[1]{\text{\rm e}^{#1}}
\newcommand*{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand*{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand*{\di}{\,\text{\rm d}}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arc\,tg}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}

\def \va {va\-ló\-szí\-nű\-ség}
\def \Va {Va\-ló\-szí\-nű\-ség}
\def \vava {{\va}i vál\-to\-zó}
\def \Vava {{\Va}i vál\-to\-zó}
\def \ef {el\-osz\-lás\-függ\-vény}
\def \Ef {El\-osz\-lás\-függ\-vény}
\def \sf {sű\-rű\-ség\-függ\-vény}
\def \Sf {Sű\-rű\-ség\-függ\-vény}

\def\E{\mathbb{E}}
\def\P{\mathbb{P}}
\def\D{\mathbb{D}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\lora{\longrightarrow}

\begin{document}

\begin{itemize}

%**********************************************************************************************

 \item[{\bf 7.~HF:}]\
 \begin{enumerate}[label=7.\arabic{*},ref=7.\arabic{*}]

\item\2 Sok intelligencia teszt normális eloszlást követ, 100 pont várható értékkel és 15 pont szórással. Ha ezeknek a
teszteknek és értékelésüknek hihetünk, akkor az emberiség hány százalékának van 95 és 110 pont között az IQ-ja?
A 100 pont körüli mekkora intervallumban van az emberiség $50\%$-ának az IQ-ja? Egy 2500 fős településen
várhatóan hány embernek lesz 125 pont fölött az IQ-ja?

\item Az IQ teszteknek még mindig hiszünk és tegyük fel, hogy az eredmény 100 pont várható értékű és 15 szórású normális eloszlást követ.
A teszteket megírt és kiértékelt alanyokat általában 3 csoportba szokták sorolni:
alacsony-, átlagos-, illetve magas intelligenciahányadosúak. A résztvevőknek rendre 20, 65 illetve 15$\%$-a került
a megfelelő csoportokba. Hol húzták meg a határokat, azaz melyek azok a pontszámok melyek megkülönböztetik az egyes csoportokat?

\item Tegy\"uk fel, hogy \(X\) norm\'alis eloszl\'as\'u 5 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. Ha \(\Pv\{X>9\}=0.2\), k\"ozel\'\i t\H oleg mennyi \(X\) sz\'or\'asn\'egyzete?
  %Ross 5 pr/21
  \item Tegy\"uk fel, hogy a 25 \'eves fiatalemberek magass\'aga centim\'eterben m\'erve norm\'alis eloszl\'as\'u, \(\mu=180\) \'es \(\si^2=169\) param\'eterekkel. A 25 \'eves fiatalemberek h\'any sz\'azal\'eka magasabb 2 m\'etern\'el? A k\'et m\'eteres klub tagjainak h\'any sz\'azal\'eka magasabb 2 m\'eter 10 cm-n\'el?
  %Ross 5/th20
  \item Mutassuk meg, hogy $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$. (\emph{Tipp: $\Gamma(\frac12)=\int_0^\infty \e{-x}x^{-\frac12}dx$. Helyettes\'\i ts\"unk $y=\sqrt{2x}$-et \'es hasonl\'\i tsuk \"ossze az \'\i gy kapott kifejez\'est a norm\'alis eloszl\'assal!})
  %TB 11.3
  \item[Bónusz:] Sz\'amoljuk ki a norm\'alis eloszl\'as  al\'abb defini\'alt ``abszol\'ut momentumait'' (\(\varphi\) a standard norm\'alis s\H ur\H us\'eg):
  \[
   A_k:=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(y)|y|^k\di y,\qquad k=1,2,3,\dots
  \]
  (\emph{Tipp: p\'aros $k=2\ell$-re sz\'amoljuk ki \'es haszn\'aljuk a k\"ovetkez\H o kifejez\'est:
  \[
   \left.
    \frac{d^\ell}{d\lambda^\ell} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\lambda y^2/2}\di y
   \right|_{\lambda=1}.
  \]
  P\'aratlan $k=2\ell+1$-re hajtsuk v\'egre a $z=y^2$ v\'altoz\'ocser\'et az $A_k$-t defini\'al\'o integr\'alban.})
  %
  \item
  Legyen az $X$ valószínűségi változó normális eloszlású $\mu$ várható értékkel és $\sigma$ szórással. Számoljuk ki $t\in\Rb$-re az $\Ev(e^{tX})$ várható értéket! (Tipp: ez egy egyszerű integrálhelyettesítéssel visszavezethető a normális sűrűségfüggvény integráljára.)
  \item Bizonyítsuk be, hogy az előző feladatban kapott képlet akkor is érvényes marad, ha $t$ tetszőleges komplex szám! (Vigyázat: a normális sűrűségfüggvény integrálját csak a \emph{valós} számegyenesen tanultuk, hogy mennyi. A bizonyításhoz kell valami komoly az analízisből.)
  %TB 11.5
  \item Legyen $X$ nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H u \'es $\si$ sz\'or\'as\'u, norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o. Bizony\'\i tsuk be, hogy tetsz\H oleges $x>0$ eset\'en fenn\'allnak a k\"ovetkez\H o egyenl\H otlens\'egek:
  \[
   \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(x^2/2\sigma^2)}\left(\frac{\sigma}{x}-\frac{\sigma^3}{x^3}\right)\quad<\quad\Pv\{X > x\}\quad<\quad\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(x^2/2\sigma^2)}\frac{\sigma}{x}.
  \]
  (\emph{Tipp: differenci\'aljuk az egyenl\H otlens\'egl\'anc mindh\'arom tagj\'at, \'es hasonl\'\i tsuk \"ossze a deriv\'altakat.})
  %
  \item Becsüljük meg annak a {\va}ét, hogy 100.000 pókerleosztás során a
fullok száma 128 és 158 közé essen.
%Ross 5 pr/26
  \item\2 Egy gy\'ar k\'etfajta \'erm\'et gy\'art: egy igazs\'agosat \'es egy hamisat, ami 55\% es\'ellyel mutat fejet. Van egy ilyen \'erm\'enk, de nem tudjuk, igazs\'agos-e vagy pedig hamis. Ennek eld\"ont\'es\'ere a k\"ovetkez\H o statisztikai tesztet hajtjuk v\'egre: feldobjuk az \'erm\'et 1000-szer, ha legal\'abb 525-sz\"or fejet mutat, akkor hamisnak nyilv\'an\'\i tjuk, ha 525-n\'el kevesebb fej lesz a dob\'asok k\"oz\"ott, akkor az \'erm\'et igazs\'agosnak tekintj\"uk. Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy a teszt\"unk t\'eved abban az esetben, ha az \'erme igazs\'agos volt? \'Es ha hamis volt?
  %TB 12.9
\item Egy nagyv\'aros lakoss\'ag\'anak {\it \'altalunk ismeretlen\/} $p$ h\'anyada doh\'anyzik. Ezt a $p$ h\'anyadot akarjuk k\"ozel\'\i t\H oleg meghat\'arozni egy mint\'aban megfigyelt relat\'\i v gyakoris\'aggal a k\"ovetkez\H o m\'odon: megk\'erdez\"unk $n$ v\'eletlenszer\H uen kiv\'alasztott lakost, \'es meg\'allap\'\i tjuk, hogy ezek k\"oz\"ott $k$ \'all\'\i tja, hogy doh\'anyzik. A NSZT-b\H ol tudjuk, hogy ha $n$ el\'eg nagy, akkor az empirikusan megfigyelt $p':\,=k/n$ relat\'\i v gyakoris\'ag igen nagy val\'osz\'\i n\H us\'eggel j\'ol k\"ozel\'\i ti az igazi $p$ h\'anyadot. Milyen nagynak kell $n$-et v\'alasztanunk, ha azt akarjuk el\'erni, hogy az empirikusan megfigyelt $p'$ relat\'\i v gyakoris\'ag legal\'abb 0.93 val\'osz\'\i n\H us\'eggel 0.02 hibahat\'aron bel\"ul k\"ozel\'\i tse a val\'odi (ismeretlen) $p$ h\'anyadot? M\'as sz\'oval: hat\'arozzuk meg azt a legkisebb $n_0$ term\'eszetes sz\'amot, amelyre igaz, hogy b\'armely $p\in(0,1)$-re \'es $n\ge n_0$-ra
  \[
   \Pv\{|p'-p|\le0.02\}\ge0.93.
  \]
  \item Az előző feladat kicsit máshogy \smiley

  Budapest utcáin az emberek $42\%$-a támogatná, hogy közterületen ne lehessen dohányozni. Közelítsük azt a valószínűséget, hogy $n$ megkérdezett ember közül legalább $40\%$ a betiltás mellett nyilatkozik, ha
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item $n=11$,
   \item $n=101$,
   \item $n=1001$.
   \item Hány embert kellene megkérdeznünk, hogy legalább $95\%$ eséllyel $40\%$ felett legyenek a betiltást támogatók?
  \end{enumerate}
  %RB 11.16
  \item\2 Az ún.\ Monte Carlo-integrálás lényege a következő: legyen az egyszerűség
kedvéért $f:[0,1]\to[0,1]$ folytonos függvény, és az
\[I=\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x\]
integrál értékét becsüljük. Ha $U$ és $V$ két független $[0,1]$ intervallumon
egyenletes eloszlású való\-színűségi változó, akkor az $(U,V)$ pár a $[0,1]^2$
egységnégyzet egy véletlen pontját adja. Függetlenül generálva $n$ véletlen
pontot az egységnégyzetben, jelölje $X_n$ azon pontok számát, amelyek az $f$
függvény grafikonja alá estek, vagyis amelyekre $V<f(U)$. Ekkor $I$ becslését
az $X_n/n$ hányados adja. Mekkorának válasszuk $n$ értékét, ha azt szeretnénk,
hogy legfeljebb $0.02$ {\va}gel kapjunk $0.1$-nél nagyobb hibát, ha a Monte Carlo-integrálás módszerét
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
\item az $f(x)=x^2$ függvényre alkalmazzuk?
\item egy ismeretlen $f:[0,1]\to[0,1]$ folytonos függvényre alkalmazzuk?
 \end{enumerate}
%
\item Van k\'et egyforma biztos\'\i t\'ot\'arsas\'ag egyenk\'ent t\'\i zezer \"ugyf\'ellel. A 2007-es \'ev elej\'en minden \"ugyf\'el befizet a biztos\'\i t\'oj\'anak \"otvenezer forintot, \'es az \'ev folyam\'an minden \"ugyf\'el egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $\frac13$ val\'osz\'\i n\H us\'eggel ny\'ujt be k\'arig\'enyt, amely minden esetben $150$ ezer forintos. Mindk\'et biztos\'\i t\'ot\'arsas\'agnak van ezen fel\"ul 5 milli\'o forint f\'elretett p\'enze az el\H oz\H o \'evr\H ol. Egy biztos\'\i t\'ot\'arsas\'ag cs\H odbe megy, ha nem tudja kifizetni a be\'erkez\H o k\'arig\'enyeket. \'Erdemes-e egyes\"ulnie a k\'et biztos\'\i t\'ot\'arsas\'agnak? Legyen $p_1$ annak a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy a k\'et biztos\'\i t\'ot\'arsas\'ag k\"oz\"ul legal\'abb egy t\"onkremegy, \'es $p_2$ annak a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy az egyes\"ult biztos\'\i t\'ot\'arsas\'ag t\"onkremegy. Hat\'arozzuk meg $p_1$ \'es $p_2$ (k\"ozel\'\i t\H o) \'ert\'ek\'et, \'es vonjuk le a k\"ovetkeztet\'est!
  %TB 12.11
  \item {\bf(A Poisson eloszl\'as norm\'alis approxim\'aci\'oja.)} Bizony\'\i tsuk be, hogy $\lambda\to \infty$-re
  \[\sqrt\la\cdot p_{\text{Poi}(\la)}(\lfloor\la+x\sqrt\la\rfloor)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\exp(-x^2/2)+\mathcal O(\la^{-1/2}),\]
  \'es a hibatag egyenletesen kicsi, ha $x$ egy korl\'atos halmazban marad. K\"ovetkezm\'enyk\'ent l\'assuk be, hogy
  \[\sum_{\la+\alpha\sqrt\la<k<\la+\beta\sqrt\la}p_{\text{Poi}(\la)}(k)\to\int_\alpha^\beta\varphi(y)\di y=\Phi(\beta)-\Phi(\alpha)\]
  amint $\la\to\infty$.
  \item A menzai poharak kirakásuktól számított törési ideje exponenciális eloszlást követ $6$ hónap várható értékkel. Számítsuk ki annak valószínűségét, hogy
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
  \item $5$ kirakott pohárból legfeljebb $3$ törik el egy éve alatt;
  \item $500$ kirakott pohárból legfeljebb $300$ törik el egy éve alatt! (Adjuk meg a numerikus értéket is!)
  \end{enumerate}
  %
  \item A valszámium radioaktív bomló részecske átlagos élettartama $1$ év. Mennyi ennek a részecskefajtának a felezési ideje?
  %
  \item\2  A ``Fény az éjszakában'' típusú villanykörte élettartama exponenciális eloszlású. A gyártó mérései szerint a körték 90 százaléka bírja legalább egy évig. Mennyi időre vállalhat a gyártó garanciát a körték működésére, ha azt akarja, hogy a vevőknek legfeljebb 1 százaléka reklamáljon?
  %
  \item Reggel a földalatti szerelvények követési ideje exponenciális eloszlású valószínűségi változó $2$ perc várható értékkel. Az egyik szerelvényt pont lekéstem.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mennyi a valószínűsége, hogy legalább $5$ percet várnom kell a következőre?
   \item Már $3$ perce várok hiába. Mennyi a valószínűsége, hogy még további $5$ percig várnom kell?
  \end{enumerate}
  %
 \item (\emph{Veszélyráta.}) Egy pozitív abszolút folytonos valószínűségi változó kockázati rátafüggvényének a $\la(t)= \frac{f(t)}{1-F(t)}$ függvényt nevezzük.
  \begin{enumerate}[label= \bf \alph{*})]
   \item Mi a kockázati rátafüggvény szemléletes jelentése?
   \item Lássuk be, hogy ekkor \[ F(t)= 1- \exp\left\{ -\int_0^t \la(s)\mathrm d s\right\}! \]
   \item Mi a $\la$ paraméterű exponenenciális eloszlás rátafüggvénye?
   \item És egy $[0,a]$ intervallumon egyenletes eloszlásé?
  \end{enumerate}
  \item Gyakran hallani, hogy a dohányosok halálozási rátája (azaz a kockázati rátája a halál időpontjára vonatkozólag) minden életkorban kétszerakkora, mint az azonos korú nemdohányzóké. Igaza van-e annak a nemdohányzónak, aki erre azzal jön, hogy ő akkor kétszer akkora valószínűséggel fog még $x$ évig élni, mint a dohányos osztálytársa? Ha nem, mi a két valószínűség viszonya? (\emph{Tipp: előző feladat.})
  %
  \item Egy nagyon gyors számítógépen futó program, miután elindult, minden órajel hatására (vagyis nagyon gyak\-ran) megpróbál lefagyni -- feltéve, hogy ez korábban nem sikerült neki -- és valamilyen nagyon kicsi va\-ló\-szí\-nű\-ség\-gel le is fagy. A tapasztalat szerint ez a program az indítás után átlagosan $1$ órával fagy le. Mi a lefagyásig eltelő (órában mért) idő eloszlása?
  %
  \item\label{it:csillagh} Pistike nyári estéken csillaghullást néz. Egy-egy nyári estén nagyon sok meteor éri el a Földet, ezek mindegyikének egymástól függetlenül, nagyon kis valószínűséggel sikerül Pistike szeme elé kerülni -- vagyis pont akkor és ott esni le, amikor és ahol Pistike látja. Így ő fél óra alatt átlagosan hármat lát lehullani. Augusztus 19-én este 22:00-kor kezdi nézni az eget.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mi a valószínűsége, hogy 22:00 és 22:25 között egyetlen hullócsillagot sem lát?
   \item Mi a valószínűsége, hogy $T$ perc alatt egyetlen hullócsillagot sem lát, ahol $T\in\Rb^+$?
   \item Az $X$ valószínűségi változó legyen az az idő (percben mérve), amennyit Pistikének az első hullócsillag megpillantására várnia kell. Számoljuk ki $X$ eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét!
   \item Fogalmazzuk meg szépen a tanulságot!
  \end{enumerate}

  \item\2 A HOMÁLY cég kétféle kompakt fénycsövet forgalmaz, az A és B típusok várható élettartama rendre $4000$, illetve $8000$ óra, mindkét esetben exponenciális eloszlással.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
  \item  Egy egyetemi előadóterem két lámpájában egyszerre cserélik a fénycsöveket, tehát ha az egyik fénycső kiég, mindkettőt lecserélik. A legutóbbi csere alkalmával az egyik lámpába A, a másikba B típusú fénycső került. Mi a valószínűsége, hogy a következő cserére kevesebb, mint $4000$ óra elteltével lesz szükség?  És ha tudjuk, hogy a legutóbbi csere óta $2000$ óra telt el, mi a valószínűsége, hogy további $4000$ óráig nem lesz szükség cserére? (Az egyes fénycsövek élettartama függetlennek tekinthető.)
  \item A takarékosság jegyében a doktorandusz szobába egy olcsó boltból szerzik be a fénycsövet, ahol azokat csomagolás nélkül, a rendetlenség miatt jól összekeveredve tárolják. A kupac $10\%$-a "selejtes", be se kapcsol, a maradék egyenlő arányban A, illetve B típusú. Vaktában választva, mi lesz a doktorandusz szobába kerülő fénycső élettartamának eloszlásfüggvénye?
  \item Mi a valószínűsége, hogy a doktorandusz szobába kerülő fénycső több, mint $4000$ óráig bírja? És ha ez a fénycső már kibírt $2000$ órát, mi a valószínűsége, hogy még további $4000$ óráig bírni fogja?
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\end{itemize}

\newpage

\begin{center}
\begin{tabular}{rr@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r}
\multicolumn{11}{c}{A normális eloszlásfüggvény}\\
\ \\
$x$&0.00&0.01&0.02&0.03&0.04&0.05&0.06&0.07&0.08&0.09\\
\ \\
0.0&0.5000&0.5040&0.5080&0.5120&0.5160&0.5199&0.5239&0.5279&0.5319&0.5359\\
0.1&0.5398&0.5438&0.5478&0.5517&0.5557&0.5596&0.5636&0.5675&0.5714&0.5753\\
0.2&0.5793&0.5832&0.5871&0.5910&0.5948&0.5987&0.6026&0.6064&0.6103&0.6141\\
0.3&0.6179&0.6217&0.6255&0.6293&0.6331&0.6368&0.6406&0.6443&0.6480&0.6517\\
0.4&0.6554&0.6591&0.6628&0.6664&0.6700&0.6736&0.6772&0.6808&0.6844&0.6879\\
0.5&0.6915&0.6950&0.6985&0.7019&0.7054&0.7088&0.7123&0.7157&0.7190&0.7224\\
0.6&0.7257&0.7291&0.7324&0.7357&0.7389&0.7422&0.7454&0.7486&0.7517&0.7549\\
0.7&0.7580&0.7611&0.7642&0.7673&0.7703&0.7734&0.7764&0.7794&0.7823&0.7852\\
0.8&0.7881&0.7910&0.7939&0.7967&0.7995&0.8023&0.8051&0.8078&0.8106&0.8133\\
0.9&0.8159&0.8186&0.8212&0.8238&0.8264&0.8289&0.8315&0.8340&0.8365&0.8389\\
1.0&0.8413&0.8438&0.8461&0.8485&0.8508&0.8531&0.8554&0.8577&0.8599&0.8621\\
1.1&0.8643&0.8665&0.8686&0.8708&0.8729&0.8749&0.8770&0.8790&0.8810&0.8830\\
1.2&0.8849&0.8869&0.8888&0.8907&0.8925&0.8944&0.8962&0.8980&0.8997&0.9015\\
1.3&0.9032&0.9049&0.9066&0.9082&0.9099&0.9115&0.9131&0.9147&0.9162&0.9177\\
1.4&0.9192&0.9207&0.9222&0.9236&0.9251&0.9265&0.9279&0.9292&0.9306&0.9319\\
1.5&0.9332&0.9345&0.9357&0.9370&0.9382&0.9394&0.9406&0.9418&0.9429&0.9441\\
1.6&0.9452&0.9463&0.9474&0.9484&0.9495&0.9505&0.9515&0.9525&0.9535&0.9545\\
1.7&0.9554&0.9564&0.9573&0.9582&0.9591&0.9599&0.9608&0.9616&0.9625&0.9633\\
1.8&0.9641&0.9649&0.9656&0.9664&0.9671&0.9678&0.9686&0.9693&0.9699&0.9706\\
1.9&0.9713&0.9719&0.9726&0.9732&0.9738&0.9744&0.9750&0.9756&0.9761&0.9767\\
2.0&0.9772&0.9778&0.9783&0.9788&0.9793&0.9798&0.9803&0.9808&0.9812&0.9817\\
2.1&0.9821&0.9826&0.9830&0.9834&0.9838&0.9842&0.9846&0.9850&0.9854&0.9857\\
2.2&0.9861&0.9864&0.9868&0.9871&0.9875&0.9878&0.9881&0.9884&0.9887&0.9890\\
2.3&0.9893&0.9896&0.9898&0.9901&0.9904&0.9906&0.9909&0.9911&0.9913&0.9916\\
2.4&0.9918&0.9920&0.9922&0.9925&0.9927&0.9929&0.9931&0.9932&0.9934&0.9936\\
2.5&0.9938&0.9940&0.9941&0.9943&0.9945&0.9946&0.9948&0.9949&0.9951&0.9952\\
2.6&0.9953&0.9955&0.9956&0.9957&0.9959&0.9960&0.9961&0.9962&0.9963&0.9964\\
2.7&0.9965&0.9966&0.9967&0.9968&0.9969&0.9970&0.9971&0.9972&0.9973&0.9974\\
2.8&0.9974&0.9975&0.9976&0.9977&0.9977&0.9978&0.9979&0.9979&0.9980&0.9981\\
2.9&0.9981&0.9982&0.9982&0.9983&0.9984&0.9984&0.9985&0.9985&0.9986&0.9986\\
3.0&0.9987&0.9987&0.9987&0.9988&0.9988&0.9989&0.9989&0.9989&0.9990&0.9990\\
3.1&0.9990&0.9991&0.9991&0.9991&0.9992&0.9992&0.9992&0.9992&0.9993&0.9993\\
3.2&0.9993&0.9993&0.9994&0.9994&0.9994&0.9994&0.9994&0.9995&0.9995&0.9995\\
3.3&0.9995&0.9995&0.9995&0.9996&0.9996&0.9996&0.9996&0.9996&0.9996&0.9997\\
3.4&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9998\\
3.5&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998\\
3.6&0.9998&0.9998&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999\\
3.7&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999\\
3.8&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999\\
3.9&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000\\
\end{tabular}
\end{center}

\end{document}
\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{rr@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r}
\multicolumn{11}{c}{A normális eloszlásfüggvény}\\
\ \\
$x$&0.00&0.01&0.02&0.03&0.04&0.05&0.06&0.07&0.08&0.09\\
\ \\
0.0&0.5000&0.5040&0.5080&0.5120&0.5160&0.5199&0.5239&0.5279&0.5319&0.5359\\
0.1&0.5398&0.5438&0.5478&0.5517&0.5557&0.5596&0.5636&0.5675&0.5714&0.5753\\
0.2&0.5793&0.5832&0.5871&0.5910&0.5948&0.5987&0.6026&0.6064&0.6103&0.6141\\
0.3&0.6179&0.6217&0.6255&0.6293&0.6331&0.6368&0.6406&0.6443&0.6480&0.6517\\
0.4&0.6554&0.6591&0.6628&0.6664&0.6700&0.6736&0.6772&0.6808&0.6844&0.6879\\
0.5&0.6915&0.6950&0.6985&0.7019&0.7054&0.7088&0.7123&0.7157&0.7190&0.7224\\
0.6&0.7257&0.7291&0.7324&0.7357&0.7389&0.7422&0.7454&0.7486&0.7517&0.7549\\
0.7&0.7580&0.7611&0.7642&0.7673&0.7703&0.7734&0.7764&0.7794&0.7823&0.7852\\
0.8&0.7881&0.7910&0.7939&0.7967&0.7995&0.8023&0.8051&0.8078&0.8106&0.8133\\
0.9&0.8159&0.8186&0.8212&0.8238&0.8264&0.8289&0.8315&0.8340&0.8365&0.8389\\
1.0&0.8413&0.8438&0.8461&0.8485&0.8508&0.8531&0.8554&0.8577&0.8599&0.8621\\
1.1&0.8643&0.8665&0.8686&0.8708&0.8729&0.8749&0.8770&0.8790&0.8810&0.8830\\
1.2&0.8849&0.8869&0.8888&0.8907&0.8925&0.8944&0.8962&0.8980&0.8997&0.9015\\
1.3&0.9032&0.9049&0.9066&0.9082&0.9099&0.9115&0.9131&0.9147&0.9162&0.9177\\
1.4&0.9192&0.9207&0.9222&0.9236&0.9251&0.9265&0.9279&0.9292&0.9306&0.9319\\
1.5&0.9332&0.9345&0.9357&0.9370&0.9382&0.9394&0.9406&0.9418&0.9429&0.9441\\
1.6&0.9452&0.9463&0.9474&0.9484&0.9495&0.9505&0.9515&0.9525&0.9535&0.9545\\
1.7&0.9554&0.9564&0.9573&0.9582&0.9591&0.9599&0.9608&0.9616&0.9625&0.9633\\
1.8&0.9641&0.9649&0.9656&0.9664&0.9671&0.9678&0.9686&0.9693&0.9699&0.9706\\
1.9&0.9713&0.9719&0.9726&0.9732&0.9738&0.9744&0.9750&0.9756&0.9761&0.9767\\
2.0&0.9772&0.9778&0.9783&0.9788&0.9793&0.9798&0.9803&0.9808&0.9812&0.9817\\
2.1&0.9821&0.9826&0.9830&0.9834&0.9838&0.9842&0.9846&0.9850&0.9854&0.9857\\
2.2&0.9861&0.9864&0.9868&0.9871&0.9875&0.9878&0.9881&0.9884&0.9887&0.9890\\
2.3&0.9893&0.9896&0.9898&0.9901&0.9904&0.9906&0.9909&0.9911&0.9913&0.9916\\
2.4&0.9918&0.9920&0.9922&0.9925&0.9927&0.9929&0.9931&0.9932&0.9934&0.9936\\
2.5&0.9938&0.9940&0.9941&0.9943&0.9945&0.9946&0.9948&0.9949&0.9951&0.9952\\
2.6&0.9953&0.9955&0.9956&0.9957&0.9959&0.9960&0.9961&0.9962&0.9963&0.9964\\
2.7&0.9965&0.9966&0.9967&0.9968&0.9969&0.9970&0.9971&0.9972&0.9973&0.9974\\
2.8&0.9974&0.9975&0.9976&0.9977&0.9977&0.9978&0.9979&0.9979&0.9980&0.9981\\
2.9&0.9981&0.9982&0.9982&0.9983&0.9984&0.9984&0.9985&0.9985&0.9986&0.9986\\
3.0&0.9987&0.9987&0.9987&0.9988&0.9988&0.9989&0.9989&0.9989&0.9990&0.9990\\
3.1&0.9990&0.9991&0.9991&0.9991&0.9992&0.9992&0.9992&0.9992&0.9993&0.9993\\
3.2&0.9993&0.9993&0.9994&0.9994&0.9994&0.9994&0.9994&0.9995&0.9995&0.9995\\
3.3&0.9995&0.9995&0.9995&0.9996&0.9996&0.9996&0.9996&0.9996&0.9996&0.9997\\
3.4&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9998\\
3.5&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998\\
3.6&0.9998&0.9998&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999\\
3.7&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999\\
3.8&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999\\
3.9&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000\\
\end{tabular}
\end{center}

\thispagestyle{empty}
%**********************************************************************************************
 \item[{\bf 9.~HF:}]\
 \begin{enumerate}[label=9.\arabic{*},ref=9.\arabic{*}]
%Balazs 7.17
  \item\1 Legyen $X$ egyenletes eloszl\'as\'u a $[-3,\,4]$ intervallumon, \'es legyen $\Psi(x)=|x-1|+|x+1|$. Hat\'arozzuk meg az $Y=\Psi(X)$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o $G(y)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Abszol\'ut folytonos eloszl\'as\'u-e $Y$? Adjuk meg a $G$ eloszl\'asf\"uggv\'eny Lebesgue-f\'ele felbont\'as\'at diszkr\'et, abszol\'ut folytonos \'es folytonos de szingul\'aris nem cs\"okken\H o f\"uggv\'enyek \"osszeg\'ere.
%Ross 5/pr 41
  \item Hat\'arozzuk meg \(R=A\sin(\Theta)\) eloszl\'as\'at, ahol \(A\) egy r\"ogz\'\i tett konstans, \'es \(\Theta\) egyenletes eloszl\'as\'u\linebreak[4]
  \((-\pi/2,\,\pi/2)\)-n. (\emph{Az ilyen val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok ballisztik\'an\'al j\"onnek el\H o: a \(v\) sebess\'eggel \(\alpha\) sz\"ogben kil\H ott l\"oved\'ek \(R=\frac{v^2}{g}\cdot\sin(2\alpha)\) t\'avols\'agban \'er f\"oldet.})
%Ross 5/th 14-29-Ross 5/ts 16
  \item\2
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Legyen $X$ $\la$ param\'eter\H u exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, \'es $c>0$. Mutassuk meg, hogy $cX$ szint\'en exponenci\'alis eloszl\'as\'u, $\la/c$ param\'eterrel.
   \item Most legyen $X$ s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye $f(x)$. Mi az $Y=aX+b$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye?
   \item $Z$ eloszlása megegyezik $2Z$-jével. Mi ez a $Z$?
%LESZ LEJJEBB!!!
%   \item[{\bf c)}] Most legyen $X$ standard Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o. Mutassuk meg, hogy $1/X$ is standard Cauchy eloszl\'as\'u! Egy standard Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye:
%   \[
%   f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}\qquad-\infty<x<\infty.
%   \]
  \end{enumerate}
%5/th30+(CY^\alpha; Tb 8.7/b)
  \item\2
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Legyen \(X\) norm\'alis eloszl\'as\'u \(\mu\) v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es \(\si\) sz\'or\'assal. Hat\'arozzuk meg \(Y=\e{X}\) s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'et. (\emph{\(Y\) eloszl\'as\'at lognorm\'alisnak nevezik.})
   \item Mutassuk meg, lehet\H oleg sz\'amol\'as n\'elk\"ul, hogy ekkor $CY^\alpha$ eloszl\'asa szint\'en lognorm\'alis $\mu'=\alpha\mu+\log C$ \'es $\sigma'^2=\alpha^2\sigma^2$ param\'eterekkel. (\emph{Tipp: tudjuk, hogy \(Y=\e{X}\), ahol \(X\) norm\'alis. \'Irjuk fel $CY^\alpha$-t \(\e{Z}\) alakban, tal\'aljuk meg a kapcsolatot \(X\) \'es \(Z\) k\"oz\"ott, \'es haszn\'aljuk tud\'asunkat a norm\'alis val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o line\'aris transzform\'altjair\'ol.})
   \item Valamely homokfajta r\'eszecsk\'ei g\"omb alak\'uak, melyeknek \'atm\'er\H oje (millim\'eterben m\'erve) log-norm\'alis eloszl\'as\'u, $\mu=-0.4$ \'es $\sigma:=0.3$ param\'eterekkel. Az eg\'esz homokmennyis\'eg h\'any {\sl s\'ulysz\'azal\'eka\/} \'all $0.5$ mm-n\'el kisebb \'atm\'er\H oj\H u szemcs\'ekb\H ol?
  \end{enumerate}
%jzet 5.31
  \item Legyen $X$ folytonos eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, $F$ eloszl\'asf\"uggv\'ennyel. Legyen $Y=F(X)$. Mutassuk meg, hogy $Y$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o egyenletes eloszl\'as\'u a $(0,\,1)$ intervallumon.
%proextra/3.7 = TB 8.6
  \item Legyen $X$ egy val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, amelyre $\Pv\{X=0\}=0$, \'es $Y:=X^{-1}$. Mi a felt\'etele annak, hogy $X$ \'es $Y$ azonos eloszl\'as\'uak legyenek?
%proextra/3.8 = TB 8.10
  \item Bizony\'\i tsuk be, hogy ha $\xi$ Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, melynek s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac1\pi\frac1{1+x^2}$, \'es $X:=1/\xi$, $Y:=2\xi/(1-\xi^2)$, $Z:=(3\xi-\xi^3)/(1-3\xi^2)$, akkor $X$, $Y$ \'es $Z$ szint\'en Cauchy eloszl\'as\'u. (\emph{Tipp: Haszn\'aljuk a k\"ovetkez\H o trigonometriai azonoss\'agokat: ha $\xi=\tg(\alpha)$, akkor $1/\xi=\tg(\frac\pi2-\alpha)$, $2\xi/(1-\xi^2)=\tg(2\alpha)$ \'es $(3\xi-\xi^3)/(1-3\xi^2)=\tg(3\alpha)$.})
%7.9 (a resz (1,1)-tol; b: (1,1)-tol, de (0,2)-n egyenletes)
  \item Legyen \(\xi\) az \(X\) pont t\'avols\'aga a s\'\i k \((1,\,1)\) koordin\'at\'aj\'u pontj\'at\'ol, ha
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item \(X\)-et az \(x\)-tengely \([0,\,1]\) intervallum\'an v\'eletlenszer\H uen v\'alasztjuk;
   \item \(X\)-et az \(x\)-tengely \([0,\,2]\) intervallum\'an v\'eletlenszer\H uen v\'alasztjuk.
  \end{enumerate}
  A k\'et esetben hat\'arozzuk meg a $\xi$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'et.
%TB 7.7 egyenlo oldalu haromszoggel
  \item V\'alasszunk egy pontot egyenletes eloszl\'assal egy egyenl\H o oldal\'u h\'aromsz\"og belsej\'eben, mely h\'aromsz\"ognek minden oldala 1 hossz\'us\'ag\'u. Jel\"olje $\xi$ e pontnak a t\'avols\'ag\'at a h\'aromsz\"og legk\"ozelebbi oldal\'at\'ol. Hat\'arozzuk meg a $\xi$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as- \'es s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item\2 Egy $\ell$ hosszú ropit k\'et egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'assal kiv\'alasztott pontban elt\"or\"unk.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mi az \'\i gy  nyert h\'arom darab k\"oz\"ul a legr\"ovidebb hosszának a várható értéke?
   \item Mennyi a val\'osz\'\i n\H us\'ege annak, hogy a h\'arom darabb\'ol h\'aromsz\"oget alkothatunk?
  \end{enumerate}
%Ross 6/pr 1
  \item K\'et szab\'alyos kock\'aval dobunk. Hat\'arozzuk meg $X$ \'es $Y$ egy\"uttes s\'ulyf\"uggv\'eny\'et, ha
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item $X$ a dobott sz\'amok maximuma, $Y$ a k\'et dobott \'ert\'ek \"osszege;
   \item $X$ az els\H o kocka eredm\'enye, $Y$ a dobott sz\'amok maximuma;
   \item rendre $X$, $Y$ a dobott sz\'amok minimuma, ill. maximuma.
  \end{enumerate}
%Ross 6/th 14
  \item\1\label{it:ordstat} Legyenek $X$ \'es $Y$ f\"uggetlen, $p$ param\'eter\H u geometriai eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. (Azaz: \(\Pv\{X=i,\,Y=j\}=(1-p)^{i-1}\cdot p\cdot(1-p)^{j-1}\cdot p,\ i,\,j>0\).)
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Sejts\"uk meg $\Pv\{X=i\,|\,X+Y=n\}$ \'ert\'ek\'et. (\emph{Tipp: tegy\"uk fel, hogy egy cinkelt \'erm\'et dobunk fel, egym\'as ut\'an sokszor. Az \'erme $p$ val\'osz\'\i n\H us\'eggel ad fejet. Ha a m\'asodik fej az $n$-edik feldob\'asn\'al j\"on, mi az els\H o fej bek\"ovetkez\'ese idej\'enek eloszl\'asa?})
   \item Igazoljuk (a)-beli eredm\'eny\"unket sz\'amol\'assal. (\emph{Tipp: ugye m\'eg eml\'eksz\"unk mi f\"uggetlen geometriai v\'arakoz\'asi id\H ok \"osszeg\'enek az eloszl\'asa?})
  \end{enumerate}
%10.3
  \item\1 Egy\"uttes eloszl\'asf\"uggv\'eny-e a k\"ovetkez\H o k\'et f\"uggv\'eny (\(x,\,y\in\Rb\))?
  \[
  F(x,y)= \exp(-e^{-(x+y)}),\qquad G(x,y)= \exp(-e^{-x}-e^{-y}).
  \]
%TB 10.5 - 10.6
  \item\1 Legyen $(X,\,Y)$ az $\{(x,\,y)\,:\,x^2+y^2\le1\}$ egys\'egk\"orben v\'eletlenszer\H uen (egyenletes eloszl\'assal) v\'alasztott pont koordin\'ata-p\'arja. Hat\'arozzuk meg a peremeloszl\'asok s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'et.
  \item Legyen az $X$ \'es $Y$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'as\'anak s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye:
  \[
   h(x,y)=\left\{
    \begin{array}{cl}
     \frac45(x+xy+y)&\text{ ha }0<x<1,\ 0<y<1,
     \\[4pt]
     0&\text{ egy\'ebk\'ent.}
    \end{array}
   \right.
  \]
  Hat\'arozzuk meg a peremeloszl\'asokat.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 9. feladatsor vége
% 10.3\2 marad 10.5 helyett 10.8. 10.9 marad. 10.10 marad, csereljuk meg a 3<-->4et. 10.06 helyett 10.16. Bonusz --> rendezett mintak
 \item[{\bf 10.~HF:}]\
 \begin{enumerate}[label=10.\arabic{*},ref=10.\arabic{*}]
  %Ross 6/pr 12
  \item A patik\'aba egy \'ora alatt bet\'er\H o emberek sz\'ama Poisson eloszl\'as\'u \(\la=10\) param\'eterrel. Sz\'amoljuk ki annak felt\'eteles val\'osz\'\i n\H us\'eg\'et, hogy legfeljebb 3 f\'erfi t\'ert be, felt\'eve, hogy 10 n\H o t\'ert be a patik\'aba abban az \'or\'aban. Milyen feltev\'esekkel \'elt\"unk?
  %6/pr 13
  \item Egy f\'erfi \'es egy n\H o tal\'alkoz\'ot besz\'elt meg 12:30-ra. Ha a f\'erfi 12:15 \'es 12:45 k\"oz\"ott egyenletes eloszl\'as\'u id\H oben \'erkezik, \'es t\H ole f\"uggetlen\"ul a n\H o 12:00 \'es 13:00 k\"oz\"ott egyenletes eloszl\'as\'u id\H oben \'erkezik,
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item hat\'arozzuk meg annak val\'osz\'\i n\H us\'eg\'et, hogy aki el\H osz\"or \'erkezik, 5 percn\'el kevesebbet v\'ar.
   \item Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy a f\'erfi \'erkezik els\H onek?
  \end{enumerate}
  %6/pr 16
  \item\2 \(n\) pontot f\"uggetlen\"ul egyenletesen elosztunk egy k\"or ker\"ulet\'en, \'es szeretn\'enk meghat\'arozni annak val\'osz\'\i n\H us\'eg\'et, hogy mind egy f\'elk\"orbe esnek (vagyis annak val\'osz\'\i n\H us\'eg\'et, hogy van egy olyan, a k\"or k\"oz\'eppontj\'an \'atmen\H o egyenes, melynek az \"osszes pont az egyik oldal\'an van). Jel\"olje \(P_1,\,P_2,\,\dots,\,P_n\) a pontokat. Legyen \(A\) az az esem\'eny, hogy az \"osszes pont egy f\'elk\"orbe esik, \'es \(A_i\) az az esem\'eny, hogy az \"osszes pont abba a f\'elk\"orbe esik, amely \(P_i\)-t\H ol indul az \'oramutat\'o j\'ar\'as\'aval egyez\H o ir\'anyban, \(i=1,\,2,\,\dots,\,n\).
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Fejezz\"uk ki \(A\)-t az \(A_i\)-k seg\'\i ts\'eg\'evel.
   \item Igaz-e, hogy az \(A_i\)-k k\"olcs\"on\"osen kiz\'ar\'oak?
   \item Hat\'arozzuk meg \(\Pv\{A\}\)-t.
   \item Most v\'alaszoljuk meg a k\"ovetkez\H o k\'erd\'est: ha egy \emph{k\"orlapon} egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \(n\) pontot egyenletes eloszl\'assal elhelyez\"unk, mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy a k\"or k\"oz\'eppontja benne lesz a pontok konvex kombin\'aci\'oik\'ent el\H o\'all\'o halmazban?
  \end{enumerate}
  %6/pr 20
  \item\1 Az \(X\) \'es \(Y\) val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"os s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye
  \[
   f(x,\,y)=\left\{
    \ba
     &x\e{-(x+y)},&&\text{ha }x>0,\ y>0,\\
     &0,&&\text{egy\'ebk\'ent}.
    \ea
   \right.
  \]
  F\"uggetlen-e \(X\) \'es \(Y\)? \'Es ha a k\"oz\"os s\H ur\H us\'eg
  \[
   f(x,\,y)=\left\{
    \ba
     &2,&&\text{ha }0<y<1,\ 0<x<y,\\
     &0,&&\text{egy\'ebk\'ent}?
    \ea
   \right.
  \]
  %27-28-RB9.14
  \item
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Legyenek \(X\sim\text{E}(0,\,1)\), \'es \(Y\sim\text{Exp}(1)\) f\"uggetlenek. Hat\'arozzuk meg \(X+Y\) eloszl\'as\'at.
   \item Legyenek \(X\sim\text{E}(0,\,1)\), \'es \(Y\sim\text{Exp}(1)\) f\"uggetlenek. Hat\'arozzuk meg \(X/Y\) eloszl\'as\'at.
   \item Legyenek \(X\sim\text{Exp}(\la)\), \'es \(Y\sim\text{Exp}(\mu)\) f\"uggetlenek. Hat\'arozzuk meg \(X/Y\) eloszl\'as\'at, \'es a \(\Pv\{X<Y\}\) val\'osz\'\i n\H us\'eget.
   \item Legyen $X$ \'es $Y$ k\'et f\"uggetlen $\lambda$ param\'eter\H u exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o. Bizony\'\i tsuk be, hogy az $U:=X+Y$ \'es $V:=X/(X+Y)$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.
  \end{enumerate}
  %51-RB10.24
  \item
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Legyen \(X\) \'es \(Y\) a k\'et koordin\'at\'aja annak a pontnak, melyet az orig\'o k\"oz\'eppont\'u, 1 sugar\'u k\"orlapon egyenletesen v\'alasztottunk. (Azaz: a k\"oz\"os s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny \(f(x,\,y)=1/\pi\), ha \(x^2+y^2\le1\).) Hat\'arozzuk meg az \(R=\sqrt{X^2+Y^2}\) \'es a \(\Theta=\arctg Y/X\) val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"os s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'et.
   \item Legyen $U_1,U_2$ k\'et f\"uggetlen egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o a $[0,1]$-en. Bizony\'\i tsuk be, hogy ha $X=\sqrt{-2\ln U_1}\cos(2\pi U_2)$ \'es $Y=\sqrt{-2\ln U_1}\sin(2\pi U_2)$, akkor az $(X,Y)$ p\'ar k\'etdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u.
  \end{enumerate}
  %Ross 6/th 6
  \item Mutassuk meg \emph{sz\'amol\'assal}, hogy ha \(X_i\), \(i=1,\,\dots,\,n\) f\"uggetlen azonos eloszl\'as\'u geometriai val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok, akkor \(X_1+\dots+X_n\) negat\'\i v binomi\'alis eloszl\'as\'u. Haszn\'aljunk indukci\'ot. (A val\'osz\'\i n\H us\'egsz\'am\'\i t\'asi \'ervel\'est m\'ar l\'attuk el\H oad\'ason.)
  %TB 10.15
  \item\2 Legyen $\underline X=(X_1,\,X_2,\,X_3)$ h\'aromdimenzi\'os v\'eletlen vektor, amelynek komponensei f\"uggetlen $\mathcal N(0,1)$ eloszl\'as\'uak. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o v\'altoz\'okat:
  \[
   \varrho:\,=\sqrt{X_1^2+X_2^2+X_3^2},\qquad\xi_i:\,=X_i/\varrho,\qquad i=1,2,3.
  \]
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Hat\'arozzuk meg $\varrho$ s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'et.
   \item Bizony\'\i tsuk be, hogy $\varrho$ \'es a $\underline\xi=(\xi_1,\,\xi_2,\,\xi_3)$ vektorv\'altoz\'o egym\'ast\'ol f\"uggetlenek, tov\'abb\'a azt, hogy a $\underline\xi$ v\'eletlen vektor egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egg\"omb felsz\'\i n\'en.
  \end{enumerate}
  %TB 11.12
  \item\2 Legyenek $X$ \'es $Y$ f\"uggetlen $\mathcal N(0,1)$. illetve $\mathcal N(0,4)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok \'es $M$ egy v\'eletlenszer\H uen kiv\'alasztott pont az $\Rb^2$ s\'\i kon, melynek koordin\'at\'ai $(X;\,Y)$. Hat\'arozzuk meg a k\"ovetkez\H o esem\'enyek val\'osz\'\i n\H us\'eg\'et:
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item $M\in\{(x,\,y)\in\Rb^2\,:\,|x|\le 1,\ |y|\le2\}$,
   \item $M\in\{(x,\,y)\in\Rb^2\,:\,0\le x\le2,\ |y|\le 2\}$,
   \item $M\in\{(x,\,y)\in\Rb^2\,:\,0\le x\le2,\ 0\le y\le4\}$,
   \item $M\in\{(x,\,y)\in\Rb^2\,:\,x+y\le0,\ |x|\le1,\ y\ge-2\}$,
   \item $M\in\{(x,\,y)\in\Rb^2\,:\,x^2+(y^2/4)\le1\}$,
   \item $M\in\{(x,\,y)\in\Rb^2\,:\,x^2+(y^2/4)\le c^2\}$.
  \end{enumerate}
  %TB 11.20
  \item\2 Egy ember vonattal \'es t\'avols\'agi aut\'obusszal utazik a munkahely\'ere. {\it Menetrend szerint\/} a vonat 7:30-kor \'erkezik, a busz pedig 7:37-kor indul. Az \'atsz\'all\'as k\'et percet vesz ig\'enybe. \'Am a vonat val\'odi \'erkez\'esi ideje {\it norm\'alis eloszl\'as\'u\/} val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke 7:30-kor van \'es sz\'or\'asa 3 perc. Az aut\'obusz val\'odi indul\'asi ideje a vonat \'erkez\'es\'et\H ol f\"uggetlen, szint\'en norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke 7:37-kor van, sz\'or\'asa pedig 4 perc. Mennyi annak a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy ember\"unk a h\'et \"ot munkanapja k\"oz\"ul legfeljebb egy alkalommal k\'esse le a buszcsatlakoz\'ast?
  \item Legyenek $X$, $Y$ \'es $Z$ f\"uggetlen, azonos Geom(\(p\)) eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Sz\'am\'\i tsuk ki a k\"ovetkez\H o val\'osz\'\i n\H us\'egeket:
   \[
    \Pv\{X=Y\},\qquad\Pv\{X\ge2Y\},\qquad\Pv\{X+Y\le Z\}.
   \]
   \item Legyen $U:=\min\{X,Y\}$ \'es $V:=X-Y$. Bizony\'\i tsuk be, hogy $U$ \'es $V$ f\"uggetlenek.
  \end{enumerate}
  \item {\bf A függetlenség szimmetriája.} Legyenek $X_1,\,X_2,\,\dots$ független, azonos eloszlású valószínűségi változók az \(F\) folytonos eloszlásból. (Próbaként, lehet egyenletes.) Jelölje $A_n$ azt az eseményt, hogy az $X_n$ rekord, azaz nagyobb, mint az összes addigi. Mennyi $\Pv\{A_n\}$? Független-e $A_{n+1}$ $A_n$-től? Számítsuk ki a $\Pv\{A_n\,|\,A_{n+1}\}$ és $\Pv\{A_{n+1}\,|\,A_n\}$ felt\'eteles val\'osz\'\i n\H us\'egeket.
  \item Legyenek $X,\,Y$ független, $[0,\,1]$-en egyenletes val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. Mi a távolságuk s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye?
  \item[B\'onusz:] {\bf Rendezett minták.} Leszórunk a $[0,\,1]$-re egyenletesen $n$ pontot. Mi a $k.$ pont sűrűségfüggvénye? Rávezető kicsit egyszerűbb kérdések: Mi a maximum eloszlása? Mi a sűrűségfüggvény? És a 2.~legnagyobbé? (Hogyan kapjuk meg deriválás nélkül, közvetlenül?)
  \item {\bf Ez egy gonosz feladat...} A kóbor kutyák átlagos testsúlya 40 kg, a testsúlyuk szórása pedig 20 kg. A sintérek által a kutyák elfogására használt háló elszakad, ha a kutya 60 kilósnál nehezebb, es a 20 kilosnál kisebb kutyák pedig ki tudnak bújni belőle. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a kutya testsúlya az átlagtól nem tér el 20 kg-mal többel, és így biztonsággal el lehet kapni a hálóval, ha
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
  \item a testsúly \(\Nc(40,\,400)\) normális eloszlasú;
  \item a testsúly lognormális eloszlasú, melynek 40 kg a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es 20 kg a sz\'or\'asa.
  \end{enumerate}
  A két modell közül melyik valószerűbb?
  \item Legyenek $X\sim$ Poi(\(\la\)), $Y\sim$ Poi(\(\mu\)) eloszlású független valószínűségi változók. Mi lesz $X$ feltételes eloszlása $X+Y$ ismeretében? Számoljuk ki, majd ismerjük fel az eloszlást és vonjuk le a tapasztalatot a Poisson folyamatra gondolva.
  \item\1 Legyenek $X_1,\;X_2,\;X_3,\;X_4,\;X_5$ f\"uggetlen azonos eloszl\'as\'u, folytonos val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok, k\"oz\"os eloszl\'asf\"uggv\'eny\"uk legyen $F$, s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\"uk legyen $f$, tov\'abb\'a legyen
  \[
   I=\Pv\{X_1<X_2<X_3<X_4<X_5\}.
  \]
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mutassuk meg, hogy $I$ nem f\"ugg $F$-t\H ol. (\emph{Tipp: \'Irjuk \'at $I$-t \"ot\"os integr\'all\'a, \'es alkalmazzuk az $u_i=F(x_i),\;i=1,\dots,5$ v\'altoz\'ocser\'et.})
   \item Sz\'amoljuk ki \(I\) \'ert\'ek\'et!
   \item Adjunk szeml\'eletes magyar\'azatot az el\H oz\H o pontban kapott eredm\'enyre!
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 10. feladatsor vége
 \item[{\bf 11.~HF:}]\
 \begin{enumerate}[label=11.\arabic{*},ref=11.\arabic{*}]
  \item K\'et dob\'okock\'aval dobunk, legyen $X$ a nagyobb, $Y$ a kisebb \ dobott sz\'am. Sz\'amoljuk ki $Y$ felt\'eteles s\'ulyf\"uggv\'eny\'et, az $X=i,\;i=1,\,2,\,\dots,\,6$ felt\'etel mellett. F\"uggetlen egym\'ast\'ol $X$ \'es $Y$? Mi\'ert?
%
%R6/43-TB 10.9
  \item
  $X$ \'es $Y$ egy\"uttes s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye
  \[
   f(x,y)=c\left(x^2-y^2\right)\e{-x}\qquad0\le x<\infty,\ -x\le y\le x.
  \]
  Mi $Y$ felt\'eteles eloszl\'asa, $X=x$ felt\'etel mellett?
%
  \item \2 Legyenek $X$, $Y$ \'es $Z$ f\"uggetlen val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. Legyen $X$ ill.~$Y$ eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x)$, ill.~$G(x)$, \'es legyen $\Pv\{Z=1\}=p=1-\Pv\{Z=0\}$. Hat\'arozzuk meg a k\"ovetkez\H o val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asf\"uggv\'enyeit:
  \[
   T:\,=ZX+(1-Z)Y,\qquad U:\,=ZX+(1-Z)\max\{X,\,Y\},\qquad V:\,=ZX+(1-Z)\min\{X,\,Y\}.
  \]
%
  \item
  Egy kínai boltban háromféle kompakt fénycső kapható, a rendetlenség miatt jól összekeveredve.
  Mindegyikének élettartama exponenciális eloszlású, ám a várható élettartamok különbözőek: a kupac $15\%$-a "selejtes", be se kapcsol, a maradék $4000$, $8000$, $9000$ óráig bírják, ezek egyenlő arányban vannak jelen. Vaktában választok. Mi lesz így az általam hazavitt fénycső élettartamának sűrűségfüggvénye?
%
  \item \2 $X$ és $Y$ legyen független azonos eloszlású $\lambda$ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mi $X$ feltételes eloszlása az $X+Y=z$ feltétel mellett?
   \item Nézzünk vissza a \ref{it:ordstat}-es feladatra!
  \end{enumerate}
%
%Ross 7/pr 8
  \item Egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $N$ ember \'erkezik egy \"uzleti vacsor\'ara. Amikor meg\'erkezik, minden ember k\"or\"uln\'ez, hogy van-e a m\'ar megjelentek k\"oz\"ott bar\'atja, majd vagy oda\"ul az egyik bar\'atj\'anak az asztal\'ahoz, vagy egy \"ures asztalhoz \"ul, ha nem \'erkezett meg m\'eg egy bar\'atja sem. Ha b\'armely k\'et ember mindent\H ol f\"uggetlen\"ul $p$ val\'osz\'\i n\H us\'eggel bar\'atja egym\'asnak, sz\'amoljuk ki az elfoglalt asztalok v\'arhat\'o sz\'am\'at! (\emph{Tipp: legyen $X_i$ annak az indik\'atora, hogy az $i$-edik meg\'erkez\H o \"ures asztalhoz \"ul. (Azaz $X_i=1$, ha \"ures asztalhoz \"ul, \'es $X_i=0$, ha nem.)})
%
%Ross 7pr/12
  \item V\'eletlenszer\H uen sorban\'all $n$ f\'erfi \'es $n$ n\H o.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mennyi azon f\'erfiak v\'arhat\'o sz\'ama, akik mellett (azaz el\H ott vagy m\"og\"ott) n\H o \'all a sorban?
   \item Mennyi lenne a v\'alasz, ha nem sorban\'alln\'anak, hanem egy kerekasztal k\"or\'e \"uln\'enek le?
  \end{enumerate}
%
%Ross 7pr/21
  \item Adott egy 100 emberb\H ol \'all\'o csoport.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mennyi azon napok v\'arhat\'o sz\'ama, amikor legal\'abb 3 embernek van k\"oz\"ul\"uk sz\"ulet\'esnapja?
   \item V\'arhat\'oan h\'any olyan nap van egy \'evben, amikor k\"oz\"ul\"uk valakinek sz\"ulet\'esnapja van?
  \end{enumerate}
%
  \item \2 (hasonló, mint az előző, csak picit máshogy)  Egy urnában van $n$ golyónk, ebből húzunk $a_n$ darabot ismétléssel.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mi annak a valószínűsége, hogy az $i$.~golyót legalább kétszer húzom ki?
   \item Milyen $a_n$ értékre lesz a legalább kétszer húzott golyók számának várható értéke $C n^\alpha$, $\alpha\in \mathbb R$ nagyságrendű? Spec $\alpha=0$-ra mekkora az $a_n$?
   \item Mik a szóba jöhető $\alpha$ kitevők?
  %\item Hogyan módosulnak a kitevők, ha legalább $3$ kihúzást nézek? Hogyan kapcsolódik ez az előző feladathoz?
  \end{enumerate}
%Ross 7pr/25
  \item Legyen $X_1,\,X_2,\,\dots$ f\"uggetlen azonos eloszl\'as\'u folytonos val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok sorozata, legyen $N\ge2$ olyan, hogy
  \[
   X_1\ge X_2\ge\dots\ge X_{N-1}, \quad X_{N-1}<X_N.
  \]
  Azaz az $N$-edik az els\H o tagja a sorozatnak, ahol a sorozat n\"ovekv\H ov\'e v\'alik. Mutassuk meg, hogy $\Ev(N)=\e{}$! (\emph{Tipp: \'erdemes el\H osz\"or kisz\'amolni $\Pv\{N\geq n\}$-t.})
%
%26-TB 6.11 folytonosra!
  \item
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Legyenek $X$ \'es $Y$ f\"uggetlen, nemnegat\'\i v \'ert\'ek\H u folytonos val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok, melyekre $\Ev X<\infty$ \'es $\Ev Y<\infty$. Bizony\'\i tsuk be, hogy
   \[
    \Ev\min\{X,\,Y\}=\int_0^\infty\Pv\{X\ge t\}\cdot\Pv\{Y\ge t\}\,\di t.
   \]
   \item \'Altal\'anos\'\i tsuk az el\H obbi \"osszef\"ugg\'est tetsz\H oleges $k$ darab f\"uggetlen, nemnegat\'\i v \'ert\'ek\H u folytonos $X_1$, $X_2$, \dots $X_k$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ora, melyekr\H ol feltessz\"uk, hogy v\'eges a v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk:
   \[
    \Ev\min\{X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_k\}=\int_0^\infty\prod_{j=1}^k\Pv\{X_j\ge t\}\,\di t.
   \]
   \item Az a) k\'erd\'es felt\'etelei mellett bizony\'\i tsuk be, hogy
   \[
    \Ev\max\{X,\,Y\}=\int_0^\infty\left[1-\Pv\{X\le t\}\cdot\Pv\{Y\le t\}\right]\,\di t.
   \]
   \item Legyenek $X_1$, $X_2$, \dots $X_k$ f\"uggetlen, \((0,\,1)\)-en egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. Hat\'arozzuk meg az
   \[
    \Ev\min\{X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_k\},\qquad\Ev\max\{X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_k\}
   \]
   v\'arhat\'o \'ert\'ekeket.
  \end{enumerate}
%
%7/th 9
  \item $n$-szer feldobunk egy $p$ val\'osz\'\i n\H us\'eggel fejet ad\'o \'erm\'et. Sz\'amoljuk ki az $1,\,2,\,\dots,\,k$ hossz\'u csupa fej r\'eszsorozatok v\'arhat\'o sz\'am\'at! ($1\le k\le n$)
%
  \item\2 Tízszer feldobunk egy hamis érmét, amin a fej valószínűsége $p$.
  Jelölje $X$ a tiszta sorozatok számát (mint az \ref{it:ffii}-es feladatban).
  Mennyi $X$ várható értéke? (Vigyázat: az érme ezúttal hamis.)
  \item [Bónusz:] Tekintsük az $n$ hosszú $0-1$ kódokat, ahol minden koordináta független, $p$ valószínűséggel $0$, $1-p$ valószínűséggel $1$.  Gondoljunk ezekre úgy mint egy gráf csúcsaira!  Két csúcs közt menjen pontosan akkor él, ha csak a kódjuk legvégén lévő tiszta blokkban térnek el, vagyis valamely közös kezdeti rész után az egyik kód csupa $0$-val, a másik csupa $1$-gyel folytatódik. (Tehát pl. $1110011000$ szomszédjai:  $1110011001$, $1110011011$ és $1110011111$.) Lesorsolok egy $0$-val illetve egy $1$-gyel kezdődő kódot a fenti eloszlással, vagyis a többi koordinátát már függetlenül $p$ valószínűséggel $0$-nak, $1-p$-vel $1$-nek. Mennyi az így kapott két kód közt húzott legrövidebb út várható értéke? Mi a válasz, ha $p=1/2$? \emph{Segítség: írjunk fel két ilyen kódot és találjuk ki, hogyan jutunk el egyiktől a másikig a legrövidebb módon! Hogy kapcsolódik ez vajon a tiszta blokkok számához? És: vigyázzunk, hogy az egyik kód $0$-val kezdődik a másik pedig $1$-gyel!}
%
  \item Dobókockával addig dobálunk, amíg $1$-től $6$-ig minden szám legalább egyszer elő nem fordul. Mennyi a szükséges dobások számának várható értéke?
%
  \item \2  Legyenek \(X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_n\) f\"uggetlen \'es azonos eloszl\'as\'u folytonos val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. Azt mondjuk, hogy egy rekord \'ert\'ek t\H unik fel \(j\)-kor (\(j\le n\)), ha \(X_j\ge X_i\) minden \(1\le i\le j\) eset\'en. Mutassuk meg, hogy
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item \(\Ev[\text{rekord \'ert\'ekek sz\'ama}]=\sum\limits_{j=1}^n\frac1j\).
   \item \(\Dv^2[\text{rekord \'ert\'ekek sz\'ama}]=\sum\limits_{j=1}^n\frac{j-1}{j^2}\).
  \end{enumerate}
%
%RB 8.2
  \item Legyenek $X$ \'es $Y$ f\"uggetlen azonos eloszl\'as\'u nemnegat\'\i v val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. $\Ev\frac{X}{X+Y}=?$
  \item[B\'onusz:] H\'arom pr\'ob\'alkoz\'asi lehet\H os\'eg\"unk van, mindegyik pr\'ob\'alkoz\'as azonos val\'osz\'\i n\H us\'eggel sikeres. Jel\"olje $X$ a sikeres pr\'ob\'alkoz\'asok sz\'am\'at. Ha tudjuk, hogy $\Ev(X)=1.8$,
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item mennyi $\Pv\{X=3\}$ lehets\'eges legnagyobb \'ert\'eke?
   \item mennyi $\Pv\{X=3\}$ lehets\'eges legkisebb \'ert\'eke?
  \end{enumerate}
  Mindk\'et esetben tal\'aljunk ki egy val\'osz\'\i n\H us\'egi forgat\'ok\"onyvet, aminek eredm\'enye $\Pv\{X=3\}$, \'es ez az \'ert\'ek a lehet\H o legnagyobb/legkisebb. (\emph{Tipp: a b) r\'esz megold\'as\'at kezdhetj\"uk \'ugy is, hogy legyen $U$ a $(0,1)$-en egyenletes val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, majd defini\'aljuk a pr\'ob\'alkoz\'asokat $U$-val kifejezve.})
%
  \item Pistike egy nagy doboz rossz minőségű villanykörtét vásárolt, amiknek az élettartama független exponenciális eloszlású, mindössze 10 perc várható értékkel. Este 10-kor leül valószínűségszámítást tanulni, becsavarja az asztali lámpájába az első körtét, és felkapcsolja. Ezután, amikor egy körte kiég, rögtön kicseréli, és a következő mellett tanul tovább. Jelölje $\tau_1,\,\tau_2,\,\dots$ az egyes villanykörték élettartamát.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Jelölje $T_2$ azt az időpontot (este 10-től számítva, percben), amikor a második körte kiég, vagyis $T_2=\tau_1+\tau_2$. Mi $T_2$ sűrűségfüggvénye? Számoljuk ki közvetlenül.
   \item "Kitekintő": Mi annak a valószínűsége egy POI(1/10) folyamatban, hogy még nem érkezett meg $t$-kor a második pont? És hogy már megérkezett? Deriváljuk és hasonlítsuk össze az első pontbeli eredménnyel.
   \item Jelölje $T_n$ azt az időpontot (este 10-től számítva, percben), amikor az $n$-edik körte kiég, vagyis $T_n=\tau_1+\tau_2+\dots+\tau_n$. Mi $T_n$ sűrűségfüggvénye?
   \item Minden $n$-re írjuk fel annak valószínűségét, hogy $n$ darab körtével nem tudja kihúzni fél óráig -- vagyis hogy $T_n<30$. (A kapott közepesen csúnya integrál kiszámolása nélkül is továbbléphetünk.)
   \item Jelölje $X$ a Pistike által az első 30 perc alatt elhasznált körték számát. Mi $X$ eloszlása?
   \item Emlékezzünk a \ref{it:csillagh}-os feladatra!
  \end{enumerate}
%
  \item[Bónusz:] Lacika addig dobál egy dobókockát, amíg nem sikerül neki kétszer \emph{egymás után} hatost dobni. Mennyi a szükséges dobások számának várható értéke? (Segítség: nézzünk feltételes várható értékeket!)
%
 \end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 11. feladatsor vége
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
%%%%
% Igazabol a szulinap problema...?
% JULI: mail/vsz111f 2011.10.23
%
% van egy tök jó feladatom indikátorok várható értékének összegére:
% (kellett egy lemmámban)
%
% Van egy urnánk, benne 1-t?l n-ig számozva golyók. Húzok c*gyök(n)-szer
% bel?le, ismétléssel.
% A nem precíz kérdés valami olyasmi, hogy "hány golyót húzunk ki többször"?
% Precízen:
% meg lehet kérdezni, hogy mi a többször húzott golyók számának várható
% értéke, (c^2/ 2) vagy ha már tudnak Markov egyenl?tlenséget, akkor
% adjunk n-ben egyenletes becslést...
%
%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \item[{\bf 12.~HF:}]\
 \begin{enumerate}[label=HF 12.\arabic{*},ref=12.\arabic{*}]
%Ross 7/pr 30-33
  \item
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Ha \(\Ev(X)=1\) \'es \(\Dv^2(X)=5\), hat\'arozzuk meg \(\Ev[(2+X)^2]\) \'es \(\Dv^2(4+3X)\) \'ert\'ek\'et.
   \item Legyenek \(X\) \'es \(Y\) f\"uggetlen azonos eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok \(\mu\) v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es \(\si\) sz\'or\'assal. Sz\'amoljuk ki \(\Ev[(X-Y)^2]\) \'ert\'ek\'et.
  \end{enumerate}
% Vsz1jzet/7.42
  \item\1 Legyenek $X$ \'es $Y$ f\"uggetlen val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"os $\mu$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, de k\"ul\"onb\"oz\H o $\si_X$ \'es $\si_Y$ sz\'or\'asokkal. $\mu$ \'ert\'ek\'et nem tudjuk, \'es egy mintav\'etel alapj\'an az $X$ \'es $Y$ s\'ulyozott \'atlag\'aval szeretn\'enk becs\"ulni. Azaz: $\mu$ \'ert\'ek\'ere a $\la X+(1-\la)Y$ becsl\'est fogjuk adni, valamilyen $\la$ param\'eterrel. Hogyan v\'alasszuk $\la$-t, hogy a becsl\'es\"unk sz\'or\'asa minim\'alis legyen? Mi\'ert \'erdemes ezt a $\la$-t haszn\'alnunk?
% Vsz1jzet/7.50
  \item\1 Legyen az $(X,\,Y)$ pont egyenletes eloszl\'as\'u a $(-1,\,0)$, $(0,\,0)$, $(0,\,1)$ pontok \'altal meghat\'arozott h\'aromsz\"ogben.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mi lesz az $(X,\,Y)$ k\'etdimenzi\'os eloszl\'as kovarianciam\'atrixa?
   \item Legyen $Z=X+2Y$. Mi lesz az $(X,\,Z)$ k\'etdimenzi\'os eloszl\'as kovarianciam\'atrixa?
  \end{enumerate}

%Ross 7/pr 34
  \item 10 h\'azasp\'ar \"ul le v\'eletlen elhelyez\'essel egy kerekasztalhoz. Sz\'am\'\i tsuk ki
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item a v\'arhat\'o\'ert\'ek\'et,
   \item a sz\'or\'asn\'egyzet\'et
  \end{enumerate}
  annak, hogy h\'any f\'erj \"ult a feles\'ege mell\'e.
%36-37
  \item
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Legyen \(X\) az a sz\'am, ah\'anyszor 1-est l\'atunk, \(Y\) az a sz\'am, ah\'anyszor 2-est l\'atunk ha \(n\)-szer dobunk egy szab\'alyos kock\'aval. Sz\'amoljuk ki e k\'et val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o korrel\'aci\'os egy\"utthat\'oj\'at.
   \item Egy dob\'okock\'at k\'etszer feldobunk. Legyen \(X\) a dob\'asok \"osszege, \'es \(Y\) az els\H o dob\'as m\'\i nusz a m\'asodik dob\'as. Sz\'amoljuk ki \(\Cov(X,\,Y)\)-t. F\"uggetlenek-e \(X\) \'es \(Y\)?
  \end{enumerate}
%40-50
  \item \(X\) \'es \(Y\) egy\"uttes s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye
  \[
   f(x,\,y)=\left\{
    \ba
     &\frac1y\,\e{-(y+x/y)},&&\text{ha }x>0,\ y>0,\\
     &0,&&\text{egy\'ebk\'ent.}
    \ea
   \right.
  \]
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Hat\'arozzuk meg \(\Ev(X)\) \'es \(\Ev(Y)\) \'ert\'ek\'et, valamint mutassuk meg, hogy \(\Cov(X,\,Y)=1\).
   \item Sz\'amoljuk ki $\Ev(X^2|Y=y)$-t is.
  \end{enumerate}
%Ross 7.47
  \item\2 Egy \emph{gr\'af} \emph{cs\'ucsok}b\'ol, \'es a cs\'ucsokat \"osszek\"ot\H o \emph{\'elek}b\H ol \'all. Tekints\"unk egy gr\'afot, melynek \(n\) cs\'ucs\'at 1-t\H ol \(n\)-ig megsz\'amoztuk, \'es tegy\"uk fel, hogy mind az \(\binom{n}2\) cs\'ucsp\'ar k\"oz\"ott egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul van \'el \(p\) val\'osz\'\i n\H us\'eggel, \'es nincs \'el \(1-p\) val\'osz\'\i n\H us\'eggel. (Ezt h\'\i vj\'ak Erd\H os-R\'enyi v\'eletlen gr\'afnak.) Az \(i\) cs\'ucs \(D_i\) \emph{foksz\'ama} az \(i\) cs\'ucsb\'ol kiindul\'o \'elek sz\'ama.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mi a \(D_i\) v\'eletlen sz\'am eloszl\'asa?
   \item Hat\'arozzuk meg a \(D_i\) \'es \(D_j\) v\'altoz\'ok \(\varrho(D_i,\,D_j)\) korrel\'aci\'os egy\"utthat\'oj\'at. (\emph{Tipp: defini\'aljuk \(X_i\)-t mint az \(i\)-b\H ol indul\'o, de nem \(j\)-be \'erkez\H o \'elek sz\'am\'at, \'es \(I_{ij}\)-t mint az \(i\) \'es \(j\) k\"oz\"otti \'el megl\'et\'enek indik\'ator\'at. Fejezz\"uk ki \(D_i\)-t \'es \(D_j\)-t az \(X_i,\ X_j\), \'es \(I_{ij}\) v\'altoz\'okkal, ezut\'an sz\'amoljunk korrel\'aci\'ot.})
  \end{enumerate}
\item\1 Egy liftbe a f\"oldszinten bel\'ep\H o emberek sz\'ama egy ismeretlen eloszl\'as\'u $X$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, 1-nél nagyobb v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. $n$ emelet van \'es minden ember egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, azonos val\'osz\'\i n\H us\'eggel sz\'all ki az \(n\) emelet b\'armelyik\'en. Legyen $Y$ az a val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, hogy h\'anyszor \'all meg a lift, m\'\i g az utols\'o utast is kirakja. Bizonyítsuk be, hogy $\Ev(Y) < \Ev(X)$.
\item\2 Az előző feladatban tegyük föl, hogy $X$  eloszl\'asa Poisson, 10 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. Sz\'amoljuk ki $\Ev(Y)$-t.
%7.56
%  \item\2 Egy liftbe a f\"oldszinten bel\'ep\H o emberek sz\'ama Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, 10 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. $n$ emelet van \'es minden ember egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, azonos val\'osz\'\i n\H us\'eggel sz\'all ki az \(n\) emelet b\'armelyik\'en. Sz\'amoljuk ki, v\'arhat\'oan h\'anyszor \'all meg a lift, m\'\i g az utols\'o utast is kirakja.
 %68-69
  \item Egy ember aut\'obaleseteinek sz\'ama egy adott \'evben $\la$ param\'eter\H u Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o. Ez a $\la$ param\'eter minden embern\'el m\'as \'es m\'as, a n\'epess\'eg $60$ sz\'azal\'ek\'an\'al $2$, $40$ sz\'azal\'ek\'an\'al $3$. Ha v\'eletlen\"ul kiv\'alasztunk egy embert, mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege annak, hogy
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item nem t\"ort\'ent vele baleset,
   \item pontosan 3 balesetet szenvedett egy adott \'evben?
   \item Mi a felt\'eteles val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy pontosan 3 balesetet szenvedett egy adott \'evben, felt\'eve, hogy el\H oz\H o \'evben nem t\"ort\'ent vele baleset?
   \item Ism\'etelj\"uk meg az el\H oz\H oeket, ha az $x$-n\'el kisebb $\la$ param\'eterrel rendelkez\H o emberek ar\'anya a n\'epess\'egben $1-\e{-x}$.
  \end{enumerate}
%Ross 7/th29
  \item Legyenek \(X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_n\) f\"uggetlen \'es azonos eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. Hat\'arozzuk meg
  \[
   \Ev(X_1\,|\,X_1+X_2+\dots+X_n=x)
  \]
  \'ert\'ek\'et. (\emph{Tipp: \(\Ev(X_1+X_2+\dots+X_n\,|\,X_1+X_2+\dots+X_n=x)\).})
%Ross 7/th 41
  \item\1 Legyen \(X\) standard norm\'alis eloszl\'as\'u, \'es \(I\) \(X\)-t\H ol f\"uggetlen, \(\Pv\{I=1\}=\Pv\{I=0\}=1/2\) eloszl\'assal. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ot:
  \[
   Y:\,=\left\{
    \ba
     X,\qquad&\text{ha }I=1,\\
     -X,\qquad&\text{ha }I=0.\\
    \ea
   \right.
  \]
  Azaz: \(Y\) (\(X\)-t\H ol f\"uggetlen\"ul) egyenl\H o es\'ellyel lesz \(X\) vagy \(-X\).
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mutassuk meg, hogy \(Y\) standard norm\'alis eloszl\'as\'u.
   \item F\"uggetlen-e \(I\) \'es \(Y\)?
   \item F\"uggetlen-e \(X\) \'es \(Y\)?
   \item Mutassuk meg, hogy \(\Cov(X,\,Y)=0\).
  \end{enumerate}
%RB 10.27!
  \item Az $(X,\,Y) \in \Rb^2$ val\'osz\'\i n\H us\'egi vektorv\'altoz\'o legyen k\'etdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u $\underline m=(-1,1)$ v\'ar\-ha\-t\'o\-\'er\-t\'ek-vektorral \'es $\underline{\underline C}=\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}$ kovarianciam\'atrixszal. Sz\'am\'\i tsuk ki a $\Pv\{X\ge-1,\ Y\ge1\}$ val\'osz\'\i n\H us\'eget! (\emph{Tipp: $\underline{\underline C}=\underline{\underline B}^2$, ahol $\underline{\underline B}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$.})
  %TB6.12
  \item[B\'onusz:]
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item A felt\'eteles kovariancia a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'ugy van defini\'alva, mint a kovariancia a v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. Vezess\"uk le a \emph{felt\'eteles kovariancia formul\'at}:
   \[
    \Cov(X,\,Y)=\Ev\bigl(\Cov(X,\,Y\,|\,Z)\bigr)+\Cov\bigl(\Ev(X\,|\,Z),\,\Ev(Y\,|\,Z)\bigr).
   \]
   \item Hamis \'erm\'evel dobunk, melyn\'el a \emph{fej} val\'osz\'\i n\H us\'ege $p$, az \emph{\'\i r\'as\'e} pedig $q=1-p$. Jel\"olj\"uk $X$-szel \'es $Y$-nal az els\H o, illetve a m\'asodik tiszta (fej vagy \'\i r\'as) sorozat hossz\'at. (Pl.~ha dob\'assorozatunk $FFFIIF\dots$, akkor $X=3$, $Y=2$; ha pedig dob\'assorozatunk $IFFI\dots$, akkor $X=1$, $Y=2$ \dots) Hat\'arozzuk meg a k\"ovetkez\H o mennyis\'egeket: $\Ev X$, $\Ev Y$, $\Ev X^2$, $\Ev Y^2$, $\Dv^2X$, $\Dv^2Y$, $\Cov(X,\,Y)$.
  \end{enumerate}
  %RB4.16
  \item[B\'onusz:] Egy n\'egyzetr\'acsos pap\'\i rra egy tintapaca cs\"oppen. Mekkora a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy a paca nem metszi a vonalakat, ha azok f\'el centire vannak egym\'ast\'ol, a tintafolt sugara pedig  egyenletes eloszl\'as\'u a $[0\,\text{cm},\,1/3\,\text{cm}]$ intervallumon?
% Vsz1jzet/7.4, 7.5: Szindbad
  \item Szindb\'adnak egyszer megadatott, hogy $N$ h\'aremh\"olgy k\"oz\"ul kiv\'alassza a legszebbet a k\"ovetkez\H o j\'at\'ekszab\'aly szerint: az $N$ h\'aremh\"olgy egyenk\'ent vonult el el\H otte, azok valamelyik\'et kellett kiv\'alasztania. A m\'ar elvonultak nem h\'\i vhat\'ok vissza \'es azokr\'ol, akik  m\'eg nem vonultak el, semmit sem tudott. Felt\'etelezz\"uk, hogy a h\'aremh\"olgyeknek j\'ol defini\'alt sz\'eps\'egfokozatuk van: van egy legszebb, egy m\'asodik legszebb, egy harmadik legszebb, \'es v\'eg\"ul a legkev\'esb\'e sz\'ep k\"oz\"ott\"uk. Tov\'abb\'a azt is felt\'etelezz\"uk, hogy v\'eletlen sorrendben vonulnak el Szindb\'ad el\H ott: mind az $N!$ lehets\'eges sorrendj\"uk egyform\'an val\'osz\'\i n\H u.

  Szindb\'ad a k\"ovetkez\H o strat\'egi\'at v\'alasztotta: $k$ h\"olgyet hagyott elvonulni, majd ezut\'an kiv\'alasztotta azt, amelyik szebb volt az \"osszes el\H otte m\'ar elvonultn\'al (\'es ha ilyen h\"olgy nem akad, akkor Szindb\'ad mag\'anyosan t\'avozik). Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege annak, hogy ezzel a m\'odszerrel val\'oban a legszebb h\'aremh\"olgyet v\'alasztotta? Hat\'arozzuk meg azt a $k$-t, amely mellett a fenti strat\'egia optim\'alis $N\to\infty$ hat\'aresetben, \'es a strat\'egi\'ahoz tartoz\'o val\'osz\'\i n\H us\'eget is. (\emph{Tipp: haszn\'aljunk teljes val\'osz\'\i n\H us\'eg t\'etelt aszerint, hogy a legszebb h\"olgy hanyadikk\'ent j\"on(ne) el Szindb\'ad el\H ott.})
%RB5.22
  \item Az el\H oz\H o feladatban le\'\i rt felt\'etelek mellett jel\"olje $X_n$ azt, hogy a sorban $n$-edik h\"olgy h\'anyadik legszebb az els\H o $n$ h\"olgy k\"oz\"ul. P\'eld\'aul ha az egym\'as ut\'ani h\"olgyek egyre szebbek, akkor a sorozat $1,\,1,\,\dots,\,1$ lesz, ha egyre cs\'uny\'abbak, akkor $1,\,2,\,3,\,\dots,\,N$. Bizony\'\i tsuk be, hogy az $X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_N$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok teljesen f\"uggetlenek.
% Vsz1jzet/7.39
  \item\2 Legyen \(Y\sim\Nc(\mu,\,1)\), \'es \(X\,|\,Y\sim\Nc(Y,\,\si^2)\).
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mutassuk meg, hogy az \((X,\,Y)\) p\'ar egy\"uttes eloszl\'asa ugyanaz, mint az \((Y+Z,\,Y)\) p\'ar\'e, ahol \(Z\) egy \(Y\)-t\'ol f\"uggetlen standard norm\'alis val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o.
   \item Ennek seg\'\i ts\'eg\'evel mutassuk meg, hogy az \(X,\,Y\) p\'ar k\'etdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u.
   \item Sz\'am\'\i tsuk ki az \(\Ev X\), \(\Dv^2 X\), \(\Corr(X,\,Y)\) mennyis\'egeket.
   \item Hat\'arozzuk meg \(\Ev(Y\,|\,X=x)\) \'ert\'ek\'et.
   \item Mi \(Y\) felt\'eteles eloszl\'asa az \(X=x\) felt\'etel mellett?
  \end{enumerate}
% Vsz1jzet/7.46
  \item Egy hib\'atlan kock\'aval dobunk t\'\i zszer. Jel\"olje $X$ azt a sz\'amot, ah\'anyszor p\'aros dob\'ast p\'aratlan k\"ovet. Mennyi $X$ v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asa?
% Vsz1jzet/7.48
  \item Egy urn\'aban $a$ darab feh\'er \'es $b$ darab piros goly\'o van. Visszatev\'es n\'elk\"ul addig h\'uzunk, am\'\i g feh\'er goly\'ot nem tal\'alunk. Mennyi az addig kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete?
 \end{enumerate}
\end{itemize}
\end{document}
