%2011.11.21
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[leqno,intlimits]{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{wasysym}

\usepackage{times}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{hhline}
\usepackage{pstricks}

\usepackage[hmargin=2cm,vmargin=1.5cm]{geometry}

%\renewcommand\tabularxcolumn[1]{>{\raggedright\arraybackslash}m{#1}}
\renewcommand\tabularxcolumn[1]{>{\centering\arraybackslash}m{#1}}
\newcommand*{\ora}[1]{\nobreak\ {\scriptsize({#1})}}
\newcounter{sz}
\newcommand{\tsz}{\addtocounter{sz}{1}\thesz.}
\newcommand{\tsza}{\thesz/}
\newcommand*{\Pv}{{\bf P}}
\newcommand*{\Ev}{{\bf E}}
\newcommand*{\Dv}{{\bf D}}
\newcommand*{\Vv}{{\bf D}^2}
\newcommand*{\Cov}{{\text{\bf Cov}}}
\newcommand*{\Corr}{{\text{\bf Corr}}}
\newcommand*{\Rb}{\mathbb R}
\newcommand*{\Nb}{\mathbb N}
\newcommand*{\Nc}{\mathcal N}
\newcommand*{\Lc}{\mathcal L}
\newcommand*{\la}{\lambda}
\newcommand*{\si}{\sigma}
\newcommand*{\ve}{\varepsilon}
\newcommand*{\hop}{\bigskip\noindent}
\newcommand*{\1}{$^\bullet$}
\newcommand*{\2}{$^{\bullet\bullet}$}
\newcommand*{\3}{$^{\bullet\bullet\bullet}$}
\newcommand*{\e}[1]{\text{\rm e}^{#1}}
\newcommand*{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand*{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand*{\di}{\,\text{\rm d}}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arc\,tg}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}

\def \va {va\-ló\-szí\-nű\-ség}

\def\E{\mathbb{E}}
\def\P{\mathbb{P}}
\def\D{\mathbb{D}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\lora{\longrightarrow}

\begin{document}

\begin{itemize}

%**********************************************************************************************
 \item[{\bf 2.~HF:}]\
 \begin{enumerate}[label=2.\arabic{*},ref=2.\arabic{*}]
  \item Három kockát feldobunk. Feltéve, hogy a dobott számok között nincs két egyforma, mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább az egyiken hatos van?
  \item Egy piros, egy k\'ek, \'es egy s\'arga szab\'alyos kock\'aval dobunk. Legyen az \'altaluk mutatott h\'arom sz\'am rendre \(P\), \(K\), \(S\).
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy mindh\'arom dob\'as k\"ul\"onb\"oz\H o?
   \item Felt\'eve, hogy mindh\'arom dob\'as k\"ul\"onb\"oz\H o, mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy \(P<K<S\)?
   \item Mennyi \(\Pv\{P<K<S\}\)?
  \end{enumerate}
  \item\2 A barátommal snapszerozom. Ebben a játékban 20 kártyalap van, minden színből $5$. Kiosztunk $5-5$ lapot.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
  \item Még nem néztem meg a lapjaimat. Mi a valószínűsége, hogy a barátomnak van zöldje?
  \item Megnéztem a lapjaimat: két pirosat és három zöldet kaptam. Mi a valószínűsége, hogy a barátomnak van zöldje?
  \end{enumerate}
  \item Vigyázat! Ebben a feladatban attól függően, milyen kísérlettel modellezzük a
``véletlenszerű én'' és a ``véletlenszerű király'' kiválasztását,
különböző eredményeket kaphatunk. A megoldás része pontosan leírni azt is,
hogy milyen kísérletben gondolkodunk és milyen feltevésekkel élünk.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item \'En k\'etgyerekes csal\'adb\'ol sz\'armazom. Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy a testv\'erem l\'any?
   \item A kir\'aly k\'etgyerekes csal\'adb\'ol sz\'armazik. Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy a testv\'ere l\'any?
  \end{enumerate}
  \item K\'et goly\'o mindegyike egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 1/2-1/2 val\'osz\'\i n\H us\'eggel feket\'ere vagy aranysz\'\i n\H ure lett festve, majd egy urn\'aba helyezt\'ek \H oket.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Tegy\"uk fel, hogy tudom\'asunkra jut, hogy az aranysz\'\i n\H u fest\'eket haszn\'alt\'ak, azaz legal\'abb az egyik goly\'o aranysz\'\i n\H u lett. Ekkor mi a felt\'eteles val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy mindk\'et goly\'o aranysz\'\i n\H u?
   \item Most tegy\"uk fel, hogy az urna megbillent, az egyik goly\'o kigurult bel\H ole, \'es azt l\'atjuk, hogy ez a goly\'o aranysz\'\i n\H u. Ekkor mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy mindk\'et goly\'o aranysz\'\i n\H u?
  \end{enumerate}
  Magyar\'azzuk meg a v\'alaszunkat.
  \item\2 Egy internetes közösségi szájt felhasználói körébe meghívásos alapon lehet bejutni. Eredetileg két tagja van a közösségnek, Ádám és Éva. Néha a közösség valamelyik (egyenletesen választott) tagja meghív egy új embert. Ádám köréhez tartozik valaki, ha ő maga Ádám, vagy egy Ádám köréhez tartozó tag hívta meg.
       Mi a valószínűsége, hogy Ádám köre $1$, $2$ illetve $3$ főből áll akkor, amikor $4$ fős a közösség?
        \
  \item Egy tehetségkutató versenyen három fordulóban válogatnak. Az első fordulóból hazaküldik a jelentkezők $80\%$-át,  a többiek továbbjutnak a második fordulóba. A második forduló résztvevőinek $70 \%$-ától bucsúznak el, aki ezen a rostán is túljut, mehet a harmadik fordulóba, ahol a résztvevők negyedét válogatják be a televíziós felvételre.
        \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
        \item A jelentkezők hányad része jut el a televíziós felvételre?
        \item Valakiről csak annyit tudunk, hogy túljutott az első fordulón. Mi a valószínűsége, hogy látni fogjuk a TV-ben?
        \item  Tekintsük mindazokat a jelentkezőket, akik nem jutottak el a televíziós felvételig. Hányad részüket küldték haza rendre az első, a második és a harmadik fordulóban?
        \end{enumerate}
  \item\2 H\'arom szak\'acs, \(A\), \(B\) \'es \(C\), egy speci\'alis s\"utem\'enyt s\"utnek, melyek azonban sajnos rendre 0.02, 0.03, 0.05 val\'osz\'\i n\H us\'eggel nem kelnek meg rendesen a h\'arom szak\'acs keze alatt. Az \'etteremben ahol dolgoznak, \(A\) s\"uti a s\"utem\'enyek 50\%-\'at, \(B\) a 30\%-\'at, \(C\) pedig a 20\%-\'at. A rossz s\"utem\'enyek h\'any sz\'azal\'ek\'at s\"ut\"otte \(A\)?
  \item A piacon a $10$ tojást tartalmazó dobozok $60 \%$-ában minden tojás ép, $30 \%$-ában pontosan egy tojás törött, $10 \%$-ában pontosan két tojás törött. A törött tojások helye a dobozban véletlenszerű. Veszek egy doboz tojást a piacon és bosszankodva tapasztalom, hogy az első tojás, amit kiveszek a dobozból, törött. Mi a valószínűsége, hogy a dobozban ott lapul még egy törött tojás?

  \item Egy els\H o- \'es m\'asod\'evesek \'altal l\'atogatott t\'argyat 8 els\H o\'eves fi\'u, 6 els\H o\'eves l\'any, 4 m\'asod\'eves fi\'u vett fel. H\'any m\'asod\'eves l\'any vette fel a t\'argyat, ha tudjuk, hogy egy, a t\'argy hallgat\'oi k\"oz\"ul v\'eletlen\"ul v\'alasztott hallgat\'o neme \'es \'evfolyama f\"uggetlen egym\'ast\'ol?
  \item Egy genetikai rendellenesség a magzatok fél százalékát érinti. Egy ``megbízhatónak számító'' diagnosztikai eljárás a meglévő rendellenességet biztosan detektálja, míg rendellenesség hiányában 95\% valószínűséggel a helyes negatív választ adja, 5\% valószínűséggel pedig a hibás pozitív választ. Ha az eljárás erdeménye pozitív, mi a valószínűsége, hogy magzatunknak tényleg megvan a rendellenessége?
  \item Tegy\"uk fel, hogy szab\'alyos fej-\'\i r\'as dob\'ast szeretn\'enk gener\'alni, de csak egy cinkelt \'erme \'all rendelkez\'es\"unkre, amely \'altalunk ismeretlen \(p\) val\'osz\'\i n\H us\'eggel mutat fejet. Tekints\"uk a k\"ovetkez\H o elj\'ar\'ast.
  \begin{enumerate}
   \item Feldobjuk az \'erm\'et.
   \item Megint feldobjuk az \'erm\'et.
   \item Ha mindk\'et dob\'as eredm\'enye fej, vagy mindk\'et dob\'as eredm\'enye \'\i r\'as, akkor \'ujrakezdj\"uk az els\H o l\'ep\'essel.
   \item Ha viszont a k\'et dob\'as eredm\'enye k\"ul\"onb\"oz\H o, akkor az utols\'o eredm\'eny lesz az algoritmus kimenete.
  \end{enumerate}
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mutassuk meg, hogy az algoritmus egyforma val\'osz\'\i n\H us\'eggel szolg\'altat fejet vagy \'\i r\'ast.
   \item Lehetne-e \'ugy egyszer\H us\'\i teni az elj\'ar\'ast, hogy addig dobjuk az \'erm\'et, am\'\i g k\'et egym\'ast k\"ovet\H o dob\'as k\"ul\"onb\"oz\H o lesz, \'es az utols\'o dob\'ast tekintj\"uk?
  \end{enumerate}
  \item\2 Egy $n$ elem\H u halmazb\'ol az $A$ \'es $B$ v\'eletlen r\'eszhalmazokat egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul egyenletes eloszl\'assal v\'alasztjuk ki a $2^n$ lehets\'eges r\'eszhalmaz k\"oz\"ul.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mutassuk meg, hogy \(\Pv\{A\subseteq B\}=\Bigl(\frac34\Bigr)^n\). (\emph{Tipp: tekints\"uk az eredeti halmaz minden egyes elem\'et.})
   \item Mutassuk meg, hogy \(\Pv\{A\cap B=\emptyset\}=\Bigl(\frac34\Bigr)^n\).
  \end{enumerate}
  \item\2 Egy szab\'alyos \'erm\'et k\'etszer feldobunk. Legyen \(A\) az az esem\'eny, hogy az els\H o dob\'as eredm\'enye fej, \(B\) az az esem\'eny, hogy a m\'asodik dob\'as eredm\'enye fej, \'es \(C\) az az esem\'eny, hogy a k\'et dob\'as eredm\'enye egyezik. Mutassuk meg, hogy \(A\), \(B\) \'es \(C\) p\'aronk\'ent f\"uggetlenek, de nem f\"uggetlenek.
  \item Adott egy $n$ fős társaság. Jelölje $A_{i,j}; 1\le i<j\le n$ azt az eseményt, hogy a társaság $i$-dik és $j$-dik tagjának ugyanaz a születésnapja.
      \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
      \item Páronként független-e ez az $\binom{n}{2}$ esemény?
      \item Teljesen független-e ez az $\binom{n}{2}$ esemény?
      \end{enumerate}

  \item Az id\H oj\'ar\'as-el\H orejelz\'es egyszer\H u modelljek\'ent tegy\"uk fel, hogy az id\H o vagy es\H os, vagy napos, \'es \(p\) annak a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy holnap ugyanolyan lesz mint ma, a kor\'abbi napokt\'ol f\"uggetlen\"ul. Ha az id\H o napos janu\'ar elsej\'en, legyen \(P_n\) annak val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy \(n\) nap m\'ulva szint\'en napos. Mutassuk meg, hogy \(P_n\) kiel\'eg\'\i ti a
  \[
   P_n=(2p-1)P_{n-1}+(1-p),\qquad n\ge1;\qquad P_0=1
  \]
  rekurzi\'ot. Bizony\'\i tsuk be, hogy \(P_n=\frac12+\frac12(2p-1)^n\) minden \(n\ge0\) eset\'en.

  \item Móricka élete első valószínűségszámítás vizsgáján $\frac12$ eséllyel megy át. Ha ezen megbukik,  a következőre már kevesebbet tanul, ezen csak $\frac13$ a siker valószínűsége. Minél többször bukik meg, annál kevesebbet tanul, így $k-1$ sikertelen vizsga után már csak $\frac{1}{k+1}$ az esélye, hogy a $k$-dik vizsgán átmegy. Ám Móricka kitartó, és a szabályzat szerint akárhányszor vizsgázhat. Mennyi a valószínűsége, hogy előbb-utóbb átmegy?

  \item[Bónusz] Egy vad\'asz $30$ m\'eter t\'avols\'agban felfedez egy r\'ok\'at \'es r\'al\H o. Ha a r\'oka ezt t\'ul\'eli, akkor $10$ m/s sebess\'eggel pr\'ob\'al menek\"ulni. A vad\'asz $3$ m\'asodpercenk\'ent \'ujrat\"olt \'es  l\H o a r\'ok\'ara, mindaddig, am\'\i g meg nem \"oli, vagy (szerencs\'es esetben) a r\'oka el nem t\H unik a l\'at\'ohat\'aron. A vad\'asz tal\'alati val\'osz\'\i n\H us\'ege a t\'avols\'ag n\'egyzet\'evel ford\'\i tottan ar\'anyos, a k\"ovetkez\H o k\'eplet szerint:
  \[
   \Pv\{\text{a vad\'asz eltal\'alja az }x\text{ m\'eter t\'avols\'agban lev\H o r\'ok\'at}\}=675x^{-2}\qquad (x\ge30).
  \]
  Ha tal\'alat is \'eri a r\'ok\'at, nem biztos, hogy fat\'alis: az egyes tal\'alatokat (f\"uggetlen\"ul azok sz\'am\'at\'ol) a r\'oka $1/4$ val\'osz\'\i n\H us\'eggel t\'ul\'eli. Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege annak, hogy a r\'oka t\'ul\'eli ezt a kellemetlen kalandot?

  (\emph{Tipp: Analízisből tudjuk, hogy ha $0<\ve_n<1$ minden $n$-re, akkor $\prod_{n=1}^\infty (1-\ve_n)>0$ pontosan akkor, ha $\sum_{n=1}^\infty\ve_n<\infty$}.)
  %\hop

  {\sl Megjegyz\'es:} A feladatot nyilv\'an matematikusok tal\'alt\'ak ki matematikus di\'akoknak. Mi\'ert \underbar{rossz} \underbar{modell}je ez a r\'okavad\'aszatnak?
  \item Isz\'akos Iv\'an a nap \(2/3\) r\'esz\'et kocsm\'aban t\"olti. Mivel a faluban 5 kocsma van, \'es Iv\'an nem v\'alogat\'os, azonos es\'ellyel tart\'ozkodik b\'armelyikben. Egyszer elindulunk, hogy megkeress\"uk. N\'egy kocsm\'at m\'ar v\'egigj\'artunk, de nem tal\'altuk. Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege annak, hogy az \"ot\"odikben ott lesz? %\1-rolatirva!!
  % RB 3.4
  \item Móricka és Pistike pingpongoznak. Minden játszmát a többitől függetlenül Móricka $p$, Pistike pedig $q$ val\'osz\'\i n\H us\'eggel nyer meg, ahol $p>0$, $q>0$ és $p+q=1$. A játék akkor ér véget, ha valaki két egymás utáni játszmát megnyer.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy Móricka nyeri az utolsó játszmát?
   \item Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy ugyanaz nyeri az első játszmát, mint az utolsót?
   \item Ha tudjuk, hogy az utolsó játszmát Móricka nyerte, mennyi a
  val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy az elsőt is?
  \end{enumerate}
  % Kecske RB3.23
  \item Egy televíziós vetélkedőben a játékosnak három ajtó közül kell választania, és a mögötte elrejtett nyereményt kapja jutalmul. Az egyik ajtó mögött egy luxusautó található, a másik kettő mögött pedig egy-egy kecske. Mikor a játékos kiválasztott egyet a háromból, a játékvezető a másik két ajtó közül kinyit egyet, ami mögött kecske van, és felajánlja, hogy a játékos még megváltoztathatja a döntését. Érdemes-e áttérni a másik ki nem nyitott ajtóra? Mekkora val\'osz\'\i n\H us\'eggel nyerjük meg így az autót?
  % n^N, K golyo RB3.1
  \item $n$ dobozban elhelyezünk $N$ golyót úgy, hogy mind az $n^N$ elhelyezés egyenlően valószínű. Feltéve, hogy egy adott dobozba esik golyó, mennyi a val\'osz\'\i n\H us\'ege annak, hogy $K$ golyó esik bele?
  % Hazudosak RB3.27
  \item Aladár, Béla, Cili és Dömötör hazudósak: átlagosan az esetek 2/3-ában hazudnak mind a négyen, egymástól függetlenül, véletlenszerűen.\\
  \emph{Aladár azt állítja, hogy Béla tagadja, hogy Cili azt mondta, hogy Dömötör  hazudott.}\\
  Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege annak, hogy Dömötör igazat mondott? (Feltételezzük, hogy Aladár tudja, hogy mit mindott Béla, Béla tudja, hogy mit mindott Cili, Cili tudja, hogy mit mindott Dömötör. Továbbá, hogy Cili azt is el tudja dönteni, hogy Dömötör hazudott-e vagy sem.)
  % Urna ejfel RB3.18
  \item Adott egy (végtelen térfogatú) urnánk és végtelen sok, az $\Nb^+=\{1,\,2,\,3,\,\dots\}$ elemeivel számozott, golyónk. Az urna eredetileg üres. Éjfél előtt egy perccel fogjuk az $1,\,2,\,\dots,\,10$ számú golyókat, behelyezzük őket az ur\-ná\-ba, az urnát jól összerázzuk, majd véletlenszerűen kihúzunk az urnából egy golyót, amit elhajítunk. Éjfél előtt fél perccel fogjuk a $11,\,12,\,\dots,\,20$ számú golyókat, behelyezzük őket is az urnába, az urnát jól összerázzuk, majd véletlenszerűen kihúzunk az urnából egy golyót, amit elhajítunk. Éjfél előtt $2^{-n}$ perccel fogjuk az $10n+1,\,10n+2,\,\dots,\,10(n+1)$ számú golyókat, behelyezzük őket is az urnába, az urnát jól összerázzuk, majd véletlenszerűen kihúzunk az urnából egy golyót, amit elhajítunk. És ezt így folytatjuk éjfélig. Bizonyítandó, hogy éjfélkor az urna 1 val\'osz\'\i n\H us\'eggel üres lesz. \\
 \end{enumerate}
\end{itemize}


\end{document}
\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{rr@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r@{\ }r}
\multicolumn{11}{c}{A normális eloszlásfüggvény}\\
\ \\
$x$&0.00&0.01&0.02&0.03&0.04&0.05&0.06&0.07&0.08&0.09\\
\ \\
0.0&0.5000&0.5040&0.5080&0.5120&0.5160&0.5199&0.5239&0.5279&0.5319&0.5359\\
0.1&0.5398&0.5438&0.5478&0.5517&0.5557&0.5596&0.5636&0.5675&0.5714&0.5753\\
0.2&0.5793&0.5832&0.5871&0.5910&0.5948&0.5987&0.6026&0.6064&0.6103&0.6141\\
0.3&0.6179&0.6217&0.6255&0.6293&0.6331&0.6368&0.6406&0.6443&0.6480&0.6517\\
0.4&0.6554&0.6591&0.6628&0.6664&0.6700&0.6736&0.6772&0.6808&0.6844&0.6879\\
0.5&0.6915&0.6950&0.6985&0.7019&0.7054&0.7088&0.7123&0.7157&0.7190&0.7224\\
0.6&0.7257&0.7291&0.7324&0.7357&0.7389&0.7422&0.7454&0.7486&0.7517&0.7549\\
0.7&0.7580&0.7611&0.7642&0.7673&0.7703&0.7734&0.7764&0.7794&0.7823&0.7852\\
0.8&0.7881&0.7910&0.7939&0.7967&0.7995&0.8023&0.8051&0.8078&0.8106&0.8133\\
0.9&0.8159&0.8186&0.8212&0.8238&0.8264&0.8289&0.8315&0.8340&0.8365&0.8389\\
1.0&0.8413&0.8438&0.8461&0.8485&0.8508&0.8531&0.8554&0.8577&0.8599&0.8621\\
1.1&0.8643&0.8665&0.8686&0.8708&0.8729&0.8749&0.8770&0.8790&0.8810&0.8830\\
1.2&0.8849&0.8869&0.8888&0.8907&0.8925&0.8944&0.8962&0.8980&0.8997&0.9015\\
1.3&0.9032&0.9049&0.9066&0.9082&0.9099&0.9115&0.9131&0.9147&0.9162&0.9177\\
1.4&0.9192&0.9207&0.9222&0.9236&0.9251&0.9265&0.9279&0.9292&0.9306&0.9319\\
1.5&0.9332&0.9345&0.9357&0.9370&0.9382&0.9394&0.9406&0.9418&0.9429&0.9441\\
1.6&0.9452&0.9463&0.9474&0.9484&0.9495&0.9505&0.9515&0.9525&0.9535&0.9545\\
1.7&0.9554&0.9564&0.9573&0.9582&0.9591&0.9599&0.9608&0.9616&0.9625&0.9633\\
1.8&0.9641&0.9649&0.9656&0.9664&0.9671&0.9678&0.9686&0.9693&0.9699&0.9706\\
1.9&0.9713&0.9719&0.9726&0.9732&0.9738&0.9744&0.9750&0.9756&0.9761&0.9767\\
2.0&0.9772&0.9778&0.9783&0.9788&0.9793&0.9798&0.9803&0.9808&0.9812&0.9817\\
2.1&0.9821&0.9826&0.9830&0.9834&0.9838&0.9842&0.9846&0.9850&0.9854&0.9857\\
2.2&0.9861&0.9864&0.9868&0.9871&0.9875&0.9878&0.9881&0.9884&0.9887&0.9890\\
2.3&0.9893&0.9896&0.9898&0.9901&0.9904&0.9906&0.9909&0.9911&0.9913&0.9916\\
2.4&0.9918&0.9920&0.9922&0.9925&0.9927&0.9929&0.9931&0.9932&0.9934&0.9936\\
2.5&0.9938&0.9940&0.9941&0.9943&0.9945&0.9946&0.9948&0.9949&0.9951&0.9952\\
2.6&0.9953&0.9955&0.9956&0.9957&0.9959&0.9960&0.9961&0.9962&0.9963&0.9964\\
2.7&0.9965&0.9966&0.9967&0.9968&0.9969&0.9970&0.9971&0.9972&0.9973&0.9974\\
2.8&0.9974&0.9975&0.9976&0.9977&0.9977&0.9978&0.9979&0.9979&0.9980&0.9981\\
2.9&0.9981&0.9982&0.9982&0.9983&0.9984&0.9984&0.9985&0.9985&0.9986&0.9986\\
3.0&0.9987&0.9987&0.9987&0.9988&0.9988&0.9989&0.9989&0.9989&0.9990&0.9990\\
3.1&0.9990&0.9991&0.9991&0.9991&0.9992&0.9992&0.9992&0.9992&0.9993&0.9993\\
3.2&0.9993&0.9993&0.9994&0.9994&0.9994&0.9994&0.9994&0.9995&0.9995&0.9995\\
3.3&0.9995&0.9995&0.9995&0.9996&0.9996&0.9996&0.9996&0.9996&0.9996&0.9997\\
3.4&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9997&0.9998\\
3.5&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998&0.9998\\
3.6&0.9998&0.9998&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999\\
3.7&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999\\
3.8&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999&0.9999\\
3.9&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000&1.0000\\
\end{tabular}
\end{center}

\thispagestyle{empty}
%**********************************************************************************************
 \item[{\bf 9.~HF:}]\
 \begin{enumerate}[label=9.\arabic{*},ref=9.\arabic{*}]
%Balazs 7.17
  \item\1 Legyen $X$ egyenletes eloszl\'as\'u a $[-3,\,4]$ intervallumon, \'es legyen $\Psi(x)=|x-1|+|x+1|$. Hat\'arozzuk meg az $Y=\Psi(X)$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o $G(y)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Abszol\'ut folytonos eloszl\'as\'u-e $Y$? Adjuk meg a $G$ eloszl\'asf\"uggv\'eny Lebesgue-f\'ele felbont\'as\'at diszkr\'et, abszol\'ut folytonos \'es folytonos de szingul\'aris nem cs\"okken\H o f\"uggv\'enyek \"osszeg\'ere.
%Ross 5/pr 41
  \item Hat\'arozzuk meg \(R=A\sin(\Theta)\) eloszl\'as\'at, ahol \(A\) egy r\"ogz\'\i tett konstans, \'es \(\Theta\) egyenletes eloszl\'as\'u\linebreak[4]
  \((-\pi/2,\,\pi/2)\)-n. (\emph{Az ilyen val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok ballisztik\'an\'al j\"onnek el\H o: a \(v\) sebess\'eggel \(\alpha\) sz\"ogben kil\H ott l\"oved\'ek \(R=\frac{v^2}{g}\cdot\sin(2\alpha)\) t\'avols\'agban \'er f\"oldet.})
%Ross 5/th 14-29-Ross 5/ts 16
  \item\2
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Legyen $X$ $\la$ param\'eter\H u exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, \'es $c>0$. Mutassuk meg, hogy $cX$ szint\'en exponenci\'alis eloszl\'as\'u, $\la/c$ param\'eterrel.
   \item Most legyen $X$ s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye $f(x)$. Mi az $Y=aX+b$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye?
   \item $Z$ eloszlása megegyezik $2Z$-jével. Mi ez a $Z$?
%LESZ LEJJEBB!!!
%   \item[{\bf c)}] Most legyen $X$ standard Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o. Mutassuk meg, hogy $1/X$ is standard Cauchy eloszl\'as\'u! Egy standard Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye:
%   \[
%   f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}\qquad-\infty<x<\infty.
%   \]
  \end{enumerate}
%5/th30+(CY^\alpha; Tb 8.7/b)
  \item\2
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Legyen \(X\) norm\'alis eloszl\'as\'u \(\mu\) v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es \(\si\) sz\'or\'assal. Hat\'arozzuk meg \(Y=\e{X}\) s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'et. (\emph{\(Y\) eloszl\'as\'at lognorm\'alisnak nevezik.})
   \item Mutassuk meg, lehet\H oleg sz\'amol\'as n\'elk\"ul, hogy ekkor $CY^\alpha$ eloszl\'asa szint\'en lognorm\'alis $\mu'=\alpha\mu+\log C$ \'es $\sigma'^2=\alpha^2\sigma^2$ param\'eterekkel. (\emph{Tipp: tudjuk, hogy \(Y=\e{X}\), ahol \(X\) norm\'alis. \'Irjuk fel $CY^\alpha$-t \(\e{Z}\) alakban, tal\'aljuk meg a kapcsolatot \(X\) \'es \(Z\) k\"oz\"ott, \'es haszn\'aljuk tud\'asunkat a norm\'alis val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o line\'aris transzform\'altjair\'ol.})
   \item Valamely homokfajta r\'eszecsk\'ei g\"omb alak\'uak, melyeknek \'atm\'er\H oje (millim\'eterben m\'erve) log-norm\'alis eloszl\'as\'u, $\mu=-0.4$ \'es $\sigma:=0.3$ param\'eterekkel. Az eg\'esz homokmennyis\'eg h\'any {\sl s\'ulysz\'azal\'eka\/} \'all $0.5$ mm-n\'el kisebb \'atm\'er\H oj\H u szemcs\'ekb\H ol?
  \end{enumerate}
%jzet 5.31
  \item Legyen $X$ folytonos eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, $F$ eloszl\'asf\"uggv\'ennyel. Legyen $Y=F(X)$. Mutassuk meg, hogy $Y$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o egyenletes eloszl\'as\'u a $(0,\,1)$ intervallumon.
%proextra/3.7 = TB 8.6
  \item Legyen $X$ egy val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, amelyre $\Pv\{X=0\}=0$, \'es $Y:=X^{-1}$. Mi a felt\'etele annak, hogy $X$ \'es $Y$ azonos eloszl\'as\'uak legyenek?
%proextra/3.8 = TB 8.10
  \item Bizony\'\i tsuk be, hogy ha $\xi$ Cauchy eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, melynek s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac1\pi\frac1{1+x^2}$, \'es $X:=1/\xi$, $Y:=2\xi/(1-\xi^2)$, $Z:=(3\xi-\xi^3)/(1-3\xi^2)$, akkor $X$, $Y$ \'es $Z$ szint\'en Cauchy eloszl\'as\'u. (\emph{Tipp: Haszn\'aljuk a k\"ovetkez\H o trigonometriai azonoss\'agokat: ha $\xi=\tg(\alpha)$, akkor $1/\xi=\tg(\frac\pi2-\alpha)$, $2\xi/(1-\xi^2)=\tg(2\alpha)$ \'es $(3\xi-\xi^3)/(1-3\xi^2)=\tg(3\alpha)$.})
%7.9 (a resz (1,1)-tol; b: (1,1)-tol, de (0,2)-n egyenletes)
  \item Legyen \(\xi\) az \(X\) pont t\'avols\'aga a s\'\i k \((1,\,1)\) koordin\'at\'aj\'u pontj\'at\'ol, ha
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item \(X\)-et az \(x\)-tengely \([0,\,1]\) intervallum\'an v\'eletlenszer\H uen v\'alasztjuk;
   \item \(X\)-et az \(x\)-tengely \([0,\,2]\) intervallum\'an v\'eletlenszer\H uen v\'alasztjuk.
  \end{enumerate}
  A k\'et esetben hat\'arozzuk meg a $\xi$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'et.
%TB 7.7 egyenlo oldalu haromszoggel
  \item V\'alasszunk egy pontot egyenletes eloszl\'assal egy egyenl\H o oldal\'u h\'aromsz\"og belsej\'eben, mely h\'aromsz\"ognek minden oldala 1 hossz\'us\'ag\'u. Jel\"olje $\xi$ e pontnak a t\'avols\'ag\'at a h\'aromsz\"og legk\"ozelebbi oldal\'at\'ol. Hat\'arozzuk meg a $\xi$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as- \'es s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item\2 Egy $\ell$ hosszú ropit k\'et egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'assal kiv\'alasztott pontban elt\"or\"unk.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mi az \'\i gy  nyert h\'arom darab k\"oz\"ul a legr\"ovidebb hosszának a várható értéke?
   \item Mennyi a val\'osz\'\i n\H us\'ege annak, hogy a h\'arom darabb\'ol h\'aromsz\"oget alkothatunk?
  \end{enumerate}
%Ross 6/pr 1
  \item K\'et szab\'alyos kock\'aval dobunk. Hat\'arozzuk meg $X$ \'es $Y$ egy\"uttes s\'ulyf\"uggv\'eny\'et, ha
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item $X$ a dobott sz\'amok maximuma, $Y$ a k\'et dobott \'ert\'ek \"osszege;
   \item $X$ az els\H o kocka eredm\'enye, $Y$ a dobott sz\'amok maximuma;
   \item rendre $X$, $Y$ a dobott sz\'amok minimuma, ill. maximuma.
  \end{enumerate}
%Ross 6/th 14
  \item\1\label{it:ordstat} Legyenek $X$ \'es $Y$ f\"uggetlen, $p$ param\'eter\H u geometriai eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. (Azaz: \(\Pv\{X=i,\,Y=j\}=(1-p)^{i-1}\cdot p\cdot(1-p)^{j-1}\cdot p,\ i,\,j>0\).)
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Sejts\"uk meg $\Pv\{X=i\,|\,X+Y=n\}$ \'ert\'ek\'et. (\emph{Tipp: tegy\"uk fel, hogy egy cinkelt \'erm\'et dobunk fel, egym\'as ut\'an sokszor. Az \'erme $p$ val\'osz\'\i n\H us\'eggel ad fejet. Ha a m\'asodik fej az $n$-edik feldob\'asn\'al j\"on, mi az els\H o fej bek\"ovetkez\'ese idej\'enek eloszl\'asa?})
   \item Igazoljuk (a)-beli eredm\'eny\"unket sz\'amol\'assal. (\emph{Tipp: ugye m\'eg eml\'eksz\"unk mi f\"uggetlen geometriai v\'arakoz\'asi id\H ok \"osszeg\'enek az eloszl\'asa?})
  \end{enumerate}
%10.3
  \item\1 Egy\"uttes eloszl\'asf\"uggv\'eny-e a k\"ovetkez\H o k\'et f\"uggv\'eny (\(x,\,y\in\Rb\))?
  \[
  F(x,y)= \exp(-e^{-(x+y)}),\qquad G(x,y)= \exp(-e^{-x}-e^{-y}).
  \]
%TB 10.5 - 10.6
  \item\1 Legyen $(X,\,Y)$ az $\{(x,\,y)\,:\,x^2+y^2\le1\}$ egys\'egk\"orben v\'eletlenszer\H uen (egyenletes eloszl\'assal) v\'alasztott pont koordin\'ata-p\'arja. Hat\'arozzuk meg a peremeloszl\'asok s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'et.
  \item Legyen az $X$ \'es $Y$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'as\'anak s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye:
  \[
   h(x,y)=\left\{
    \begin{array}{cl}
     \frac45(x+xy+y)&\text{ ha }0<x<1,\ 0<y<1,
     \\[4pt]
     0&\text{ egy\'ebk\'ent.}
    \end{array}
   \right.
  \]
  Hat\'arozzuk meg a peremeloszl\'asokat.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 9. feladatsor vége
% 10.3\2 marad 10.5 helyett 10.8. 10.9 marad. 10.10 marad, csereljuk meg a 3<-->4et. 10.06 helyett 10.16. Bonusz --> rendezett mintak
 \item[{\bf 10.~HF:}]\
 \begin{enumerate}[label=10.\arabic{*},ref=10.\arabic{*}]
  %Ross 6/pr 12
  \item A patik\'aba egy \'ora alatt bet\'er\H o emberek sz\'ama Poisson eloszl\'as\'u \(\la=10\) param\'eterrel. Sz\'amoljuk ki annak felt\'eteles val\'osz\'\i n\H us\'eg\'et, hogy legfeljebb 3 f\'erfi t\'ert be, felt\'eve, hogy 10 n\H o t\'ert be a patik\'aba abban az \'or\'aban. Milyen feltev\'esekkel \'elt\"unk?
  %6/pr 13
  \item Egy f\'erfi \'es egy n\H o tal\'alkoz\'ot besz\'elt meg 12:30-ra. Ha a f\'erfi 12:15 \'es 12:45 k\"oz\"ott egyenletes eloszl\'as\'u id\H oben \'erkezik, \'es t\H ole f\"uggetlen\"ul a n\H o 12:00 \'es 13:00 k\"oz\"ott egyenletes eloszl\'as\'u id\H oben \'erkezik,
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item hat\'arozzuk meg annak val\'osz\'\i n\H us\'eg\'et, hogy aki el\H osz\"or \'erkezik, 5 percn\'el kevesebbet v\'ar.
   \item Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy a f\'erfi \'erkezik els\H onek?
  \end{enumerate}
  %6/pr 16
  \item\2 \(n\) pontot f\"uggetlen\"ul egyenletesen elosztunk egy k\"or ker\"ulet\'en, \'es szeretn\'enk meghat\'arozni annak val\'osz\'\i n\H us\'eg\'et, hogy mind egy f\'elk\"orbe esnek (vagyis annak val\'osz\'\i n\H us\'eg\'et, hogy van egy olyan, a k\"or k\"oz\'eppontj\'an \'atmen\H o egyenes, melynek az \"osszes pont az egyik oldal\'an van). Jel\"olje \(P_1,\,P_2,\,\dots,\,P_n\) a pontokat. Legyen \(A\) az az esem\'eny, hogy az \"osszes pont egy f\'elk\"orbe esik, \'es \(A_i\) az az esem\'eny, hogy az \"osszes pont abba a f\'elk\"orbe esik, amely \(P_i\)-t\H ol indul az \'oramutat\'o j\'ar\'as\'aval egyez\H o ir\'anyban, \(i=1,\,2,\,\dots,\,n\).
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Fejezz\"uk ki \(A\)-t az \(A_i\)-k seg\'\i ts\'eg\'evel.
   \item Igaz-e, hogy az \(A_i\)-k k\"olcs\"on\"osen kiz\'ar\'oak?
   \item Hat\'arozzuk meg \(\Pv\{A\}\)-t.
   \item Most v\'alaszoljuk meg a k\"ovetkez\H o k\'erd\'est: ha egy \emph{k\"orlapon} egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \(n\) pontot egyenletes eloszl\'assal elhelyez\"unk, mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy a k\"or k\"oz\'eppontja benne lesz a pontok konvex kombin\'aci\'oik\'ent el\H o\'all\'o halmazban?
  \end{enumerate}
  %6/pr 20
  \item\1 Az \(X\) \'es \(Y\) val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"os s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye
  \[
   f(x,\,y)=\left\{
    \ba
     &x\e{-(x+y)},&&\text{ha }x>0,\ y>0,\\
     &0,&&\text{egy\'ebk\'ent}.
    \ea
   \right.
  \]
  F\"uggetlen-e \(X\) \'es \(Y\)? \'Es ha a k\"oz\"os s\H ur\H us\'eg
  \[
   f(x,\,y)=\left\{
    \ba
     &2,&&\text{ha }0<y<1,\ 0<x<y,\\
     &0,&&\text{egy\'ebk\'ent}?
    \ea
   \right.
  \]
  %27-28-RB9.14
  \item
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Legyenek \(X\sim\text{E}(0,\,1)\), \'es \(Y\sim\text{Exp}(1)\) f\"uggetlenek. Hat\'arozzuk meg \(X+Y\) eloszl\'as\'at.
   \item Legyenek \(X\sim\text{E}(0,\,1)\), \'es \(Y\sim\text{Exp}(1)\) f\"uggetlenek. Hat\'arozzuk meg \(X/Y\) eloszl\'as\'at.
   \item Legyenek \(X\sim\text{Exp}(\la)\), \'es \(Y\sim\text{Exp}(\mu)\) f\"uggetlenek. Hat\'arozzuk meg \(X/Y\) eloszl\'as\'at, \'es a \(\Pv\{X<Y\}\) val\'osz\'\i n\H us\'eget.
   \item Legyen $X$ \'es $Y$ k\'et f\"uggetlen $\lambda$ param\'eter\H u exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o. Bizony\'\i tsuk be, hogy az $U:=X+Y$ \'es $V:=X/(X+Y)$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.
  \end{enumerate}
  %51-RB10.24
  \item
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Legyen \(X\) \'es \(Y\) a k\'et koordin\'at\'aja annak a pontnak, melyet az orig\'o k\"oz\'eppont\'u, 1 sugar\'u k\"orlapon egyenletesen v\'alasztottunk. (Azaz: a k\"oz\"os s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny \(f(x,\,y)=1/\pi\), ha \(x^2+y^2\le1\).) Hat\'arozzuk meg az \(R=\sqrt{X^2+Y^2}\) \'es a \(\Theta=\arctg Y/X\) val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"os s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'et.
   \item Legyen $U_1,U_2$ k\'et f\"uggetlen egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o a $[0,1]$-en. Bizony\'\i tsuk be, hogy ha $X=\sqrt{-2\ln U_1}\cos(2\pi U_2)$ \'es $Y=\sqrt{-2\ln U_1}\sin(2\pi U_2)$, akkor az $(X,Y)$ p\'ar k\'etdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u.
  \end{enumerate}
  %Ross 6/th 6
  \item Mutassuk meg \emph{sz\'amol\'assal}, hogy ha \(X_i\), \(i=1,\,\dots,\,n\) f\"uggetlen azonos eloszl\'as\'u geometriai val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok, akkor \(X_1+\dots+X_n\) negat\'\i v binomi\'alis eloszl\'as\'u. Haszn\'aljunk indukci\'ot. (A val\'osz\'\i n\H us\'egsz\'am\'\i t\'asi \'ervel\'est m\'ar l\'attuk el\H oad\'ason.)
  %TB 10.15
  \item\2 Legyen $\underline X=(X_1,\,X_2,\,X_3)$ h\'aromdimenzi\'os v\'eletlen vektor, amelynek komponensei f\"uggetlen $\mathcal N(0,1)$ eloszl\'as\'uak. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o v\'altoz\'okat:
  \[
   \varrho:\,=\sqrt{X_1^2+X_2^2+X_3^2},\qquad\xi_i:\,=X_i/\varrho,\qquad i=1,2,3.
  \]
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Hat\'arozzuk meg $\varrho$ s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'et.
   \item Bizony\'\i tsuk be, hogy $\varrho$ \'es a $\underline\xi=(\xi_1,\,\xi_2,\,\xi_3)$ vektorv\'altoz\'o egym\'ast\'ol f\"uggetlenek, tov\'abb\'a azt, hogy a $\underline\xi$ v\'eletlen vektor egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egg\"omb felsz\'\i n\'en.
  \end{enumerate}
  %TB 11.12
  \item\2 Legyenek $X$ \'es $Y$ f\"uggetlen $\mathcal N(0,1)$. illetve $\mathcal N(0,4)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok \'es $M$ egy v\'eletlenszer\H uen kiv\'alasztott pont az $\Rb^2$ s\'\i kon, melynek koordin\'at\'ai $(X;\,Y)$. Hat\'arozzuk meg a k\"ovetkez\H o esem\'enyek val\'osz\'\i n\H us\'eg\'et:
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item $M\in\{(x,\,y)\in\Rb^2\,:\,|x|\le 1,\ |y|\le2\}$,
   \item $M\in\{(x,\,y)\in\Rb^2\,:\,0\le x\le2,\ |y|\le 2\}$,
   \item $M\in\{(x,\,y)\in\Rb^2\,:\,0\le x\le2,\ 0\le y\le4\}$,
   \item $M\in\{(x,\,y)\in\Rb^2\,:\,x+y\le0,\ |x|\le1,\ y\ge-2\}$,
   \item $M\in\{(x,\,y)\in\Rb^2\,:\,x^2+(y^2/4)\le1\}$,
   \item $M\in\{(x,\,y)\in\Rb^2\,:\,x^2+(y^2/4)\le c^2\}$.
  \end{enumerate}
  %TB 11.20
  \item\2 Egy ember vonattal \'es t\'avols\'agi aut\'obusszal utazik a munkahely\'ere. {\it Menetrend szerint\/} a vonat 7:30-kor \'erkezik, a busz pedig 7:37-kor indul. Az \'atsz\'all\'as k\'et percet vesz ig\'enybe. \'Am a vonat val\'odi \'erkez\'esi ideje {\it norm\'alis eloszl\'as\'u\/} val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke 7:30-kor van \'es sz\'or\'asa 3 perc. Az aut\'obusz val\'odi indul\'asi ideje a vonat \'erkez\'es\'et\H ol f\"uggetlen, szint\'en norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke 7:37-kor van, sz\'or\'asa pedig 4 perc. Mennyi annak a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy ember\"unk a h\'et \"ot munkanapja k\"oz\"ul legfeljebb egy alkalommal k\'esse le a buszcsatlakoz\'ast?
  \item Legyenek $X$, $Y$ \'es $Z$ f\"uggetlen, azonos Geom(\(p\)) eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Sz\'am\'\i tsuk ki a k\"ovetkez\H o val\'osz\'\i n\H us\'egeket:
   \[
    \Pv\{X=Y\},\qquad\Pv\{X\ge2Y\},\qquad\Pv\{X+Y\le Z\}.
   \]
   \item Legyen $U:=\min\{X,Y\}$ \'es $V:=X-Y$. Bizony\'\i tsuk be, hogy $U$ \'es $V$ f\"uggetlenek.
  \end{enumerate}
  \item {\bf A függetlenség szimmetriája.} Legyenek $X_1,\,X_2,\,\dots$ független, azonos eloszlású valószínűségi változók az \(F\) folytonos eloszlásból. (Próbaként, lehet egyenletes.) Jelölje $A_n$ azt az eseményt, hogy az $X_n$ rekord, azaz nagyobb, mint az összes addigi. Mennyi $\Pv\{A_n\}$? Független-e $A_{n+1}$ $A_n$-től? Számítsuk ki a $\Pv\{A_n\,|\,A_{n+1}\}$ és $\Pv\{A_{n+1}\,|\,A_n\}$ felt\'eteles val\'osz\'\i n\H us\'egeket.
  \item Legyenek $X,\,Y$ független, $[0,\,1]$-en egyenletes val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. Mi a távolságuk s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye?
  \item[B\'onusz:] {\bf Rendezett minták.} Leszórunk a $[0,\,1]$-re egyenletesen $n$ pontot. Mi a $k.$ pont sűrűségfüggvénye? Rávezető kicsit egyszerűbb kérdések: Mi a maximum eloszlása? Mi a sűrűségfüggvény? És a 2.~legnagyobbé? (Hogyan kapjuk meg deriválás nélkül, közvetlenül?)
  \item {\bf Ez egy gonosz feladat...} A kóbor kutyák átlagos testsúlya 40 kg, a testsúlyuk szórása pedig 20 kg. A sintérek által a kutyák elfogására használt háló elszakad, ha a kutya 60 kilósnál nehezebb, es a 20 kilosnál kisebb kutyák pedig ki tudnak bújni belőle. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a kutya testsúlya az átlagtól nem tér el 20 kg-mal többel, és így biztonsággal el lehet kapni a hálóval, ha
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
  \item a testsúly \(\Nc(40,\,400)\) normális eloszlasú;
  \item a testsúly lognormális eloszlasú, melynek 40 kg a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es 20 kg a sz\'or\'asa.
  \end{enumerate}
  A két modell közül melyik valószerűbb?
  \item Legyenek $X\sim$ Poi(\(\la\)), $Y\sim$ Poi(\(\mu\)) eloszlású független valószínűségi változók. Mi lesz $X$ feltételes eloszlása $X+Y$ ismeretében? Számoljuk ki, majd ismerjük fel az eloszlást és vonjuk le a tapasztalatot a Poisson folyamatra gondolva.
  \item\1 Legyenek $X_1,\;X_2,\;X_3,\;X_4,\;X_5$ f\"uggetlen azonos eloszl\'as\'u, folytonos val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok, k\"oz\"os eloszl\'asf\"uggv\'eny\"uk legyen $F$, s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\"uk legyen $f$, tov\'abb\'a legyen
  \[
   I=\Pv\{X_1<X_2<X_3<X_4<X_5\}.
  \]
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mutassuk meg, hogy $I$ nem f\"ugg $F$-t\H ol. (\emph{Tipp: \'Irjuk \'at $I$-t \"ot\"os integr\'all\'a, \'es alkalmazzuk az $u_i=F(x_i),\;i=1,\dots,5$ v\'altoz\'ocser\'et.})
   \item Sz\'amoljuk ki \(I\) \'ert\'ek\'et!
   \item Adjunk szeml\'eletes magyar\'azatot az el\H oz\H o pontban kapott eredm\'enyre!
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 10. feladatsor vége
 \item[{\bf 11.~HF:}]\
 \begin{enumerate}[label=11.\arabic{*},ref=11.\arabic{*}]
  \item K\'et dob\'okock\'aval dobunk, legyen $X$ a nagyobb, $Y$ a kisebb \ dobott sz\'am. Sz\'amoljuk ki $Y$ felt\'eteles s\'ulyf\"uggv\'eny\'et, az $X=i,\;i=1,\,2,\,\dots,\,6$ felt\'etel mellett. F\"uggetlen egym\'ast\'ol $X$ \'es $Y$? Mi\'ert?
%
%R6/43-TB 10.9
  \item
  $X$ \'es $Y$ egy\"uttes s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye
  \[
   f(x,y)=c\left(x^2-y^2\right)\e{-x}\qquad0\le x<\infty,\ -x\le y\le x.
  \]
  Mi $Y$ felt\'eteles eloszl\'asa, $X=x$ felt\'etel mellett?
%
  \item \2 Legyenek $X$, $Y$ \'es $Z$ f\"uggetlen val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. Legyen $X$ ill.~$Y$ eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x)$, ill.~$G(x)$, \'es legyen $\Pv\{Z=1\}=p=1-\Pv\{Z=0\}$. Hat\'arozzuk meg a k\"ovetkez\H o val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asf\"uggv\'enyeit:
  \[
   T:\,=ZX+(1-Z)Y,\qquad U:\,=ZX+(1-Z)\max\{X,\,Y\},\qquad V:\,=ZX+(1-Z)\min\{X,\,Y\}.
  \]
%
  \item
  Egy kínai boltban háromféle kompakt fénycső kapható, a rendetlenség miatt jól összekeveredve.
  Mindegyikének élettartama exponenciális eloszlású, ám a várható élettartamok különbözőek: a kupac $15\%$-a "selejtes", be se kapcsol, a maradék $4000$, $8000$, $9000$ óráig bírják, ezek egyenlő arányban vannak jelen. Vaktában választok. Mi lesz így az általam hazavitt fénycső élettartamának sűrűségfüggvénye?
%
  \item \2 $X$ és $Y$ legyen független azonos eloszlású $\lambda$ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mi $X$ feltételes eloszlása az $X+Y=z$ feltétel mellett?
   \item Nézzünk vissza a \ref{it:ordstat}-es feladatra!
  \end{enumerate}
%
%Ross 7/pr 8
  \item Egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $N$ ember \'erkezik egy \"uzleti vacsor\'ara. Amikor meg\'erkezik, minden ember k\"or\"uln\'ez, hogy van-e a m\'ar megjelentek k\"oz\"ott bar\'atja, majd vagy oda\"ul az egyik bar\'atj\'anak az asztal\'ahoz, vagy egy \"ures asztalhoz \"ul, ha nem \'erkezett meg m\'eg egy bar\'atja sem. Ha b\'armely k\'et ember mindent\H ol f\"uggetlen\"ul $p$ val\'osz\'\i n\H us\'eggel bar\'atja egym\'asnak, sz\'amoljuk ki az elfoglalt asztalok v\'arhat\'o sz\'am\'at! (\emph{Tipp: legyen $X_i$ annak az indik\'atora, hogy az $i$-edik meg\'erkez\H o \"ures asztalhoz \"ul. (Azaz $X_i=1$, ha \"ures asztalhoz \"ul, \'es $X_i=0$, ha nem.)})
%
%Ross 7pr/12
  \item V\'eletlenszer\H uen sorban\'all $n$ f\'erfi \'es $n$ n\H o.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mennyi azon f\'erfiak v\'arhat\'o sz\'ama, akik mellett (azaz el\H ott vagy m\"og\"ott) n\H o \'all a sorban?
   \item Mennyi lenne a v\'alasz, ha nem sorban\'alln\'anak, hanem egy kerekasztal k\"or\'e \"uln\'enek le?
  \end{enumerate}
%
%Ross 7pr/21
  \item Adott egy 100 emberb\H ol \'all\'o csoport.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mennyi azon napok v\'arhat\'o sz\'ama, amikor legal\'abb 3 embernek van k\"oz\"ul\"uk sz\"ulet\'esnapja?
   \item V\'arhat\'oan h\'any olyan nap van egy \'evben, amikor k\"oz\"ul\"uk valakinek sz\"ulet\'esnapja van?
  \end{enumerate}
%
  \item \2 (hasonló, mint az előző, csak picit máshogy)  Egy urnában van $n$ golyónk, ebből húzunk $a_n$ darabot ismétléssel.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mi annak a valószínűsége, hogy az $i$.~golyót legalább kétszer húzom ki?
   \item Milyen $a_n$ értékre lesz a legalább kétszer húzott golyók számának várható értéke $C n^\alpha$, $\alpha\in \mathbb R$ nagyságrendű? Spec $\alpha=0$-ra mekkora az $a_n$?
   \item Mik a szóba jöhető $\alpha$ kitevők?
  %\item Hogyan módosulnak a kitevők, ha legalább $3$ kihúzást nézek? Hogyan kapcsolódik ez az előző feladathoz?
  \end{enumerate}
%Ross 7pr/25
  \item Legyen $X_1,\,X_2,\,\dots$ f\"uggetlen azonos eloszl\'as\'u folytonos val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok sorozata, legyen $N\ge2$ olyan, hogy
  \[
   X_1\ge X_2\ge\dots\ge X_{N-1}, \quad X_{N-1}<X_N.
  \]
  Azaz az $N$-edik az els\H o tagja a sorozatnak, ahol a sorozat n\"ovekv\H ov\'e v\'alik. Mutassuk meg, hogy $\Ev(N)=\e{}$! (\emph{Tipp: \'erdemes el\H osz\"or kisz\'amolni $\Pv\{N\geq n\}$-t.})
%
%26-TB 6.11 folytonosra!
  \item
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Legyenek $X$ \'es $Y$ f\"uggetlen, nemnegat\'\i v \'ert\'ek\H u folytonos val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok, melyekre $\Ev X<\infty$ \'es $\Ev Y<\infty$. Bizony\'\i tsuk be, hogy
   \[
    \Ev\min\{X,\,Y\}=\int_0^\infty\Pv\{X\ge t\}\cdot\Pv\{Y\ge t\}\,\di t.
   \]
   \item \'Altal\'anos\'\i tsuk az el\H obbi \"osszef\"ugg\'est tetsz\H oleges $k$ darab f\"uggetlen, nemnegat\'\i v \'ert\'ek\H u folytonos $X_1$, $X_2$, \dots $X_k$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ora, melyekr\H ol feltessz\"uk, hogy v\'eges a v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk:
   \[
    \Ev\min\{X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_k\}=\int_0^\infty\prod_{j=1}^k\Pv\{X_j\ge t\}\,\di t.
   \]
   \item Az a) k\'erd\'es felt\'etelei mellett bizony\'\i tsuk be, hogy
   \[
    \Ev\max\{X,\,Y\}=\int_0^\infty\left[1-\Pv\{X\le t\}\cdot\Pv\{Y\le t\}\right]\,\di t.
   \]
   \item Legyenek $X_1$, $X_2$, \dots $X_k$ f\"uggetlen, \((0,\,1)\)-en egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. Hat\'arozzuk meg az
   \[
    \Ev\min\{X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_k\},\qquad\Ev\max\{X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_k\}
   \]
   v\'arhat\'o \'ert\'ekeket.
  \end{enumerate}
%
%7/th 9
  \item $n$-szer feldobunk egy $p$ val\'osz\'\i n\H us\'eggel fejet ad\'o \'erm\'et. Sz\'amoljuk ki az $1,\,2,\,\dots,\,k$ hossz\'u csupa fej r\'eszsorozatok v\'arhat\'o sz\'am\'at! ($1\le k\le n$)
%
  \item\2 Tízszer feldobunk egy hamis érmét, amin a fej valószínűsége $p$.
  Jelölje $X$ a tiszta sorozatok számát (mint az \ref{it:ffii}-es feladatban).
  Mennyi $X$ várható értéke? (Vigyázat: az érme ezúttal hamis.)
  \item [Bónusz:] Tekintsük az $n$ hosszú $0-1$ kódokat, ahol minden koordináta független, $p$ valószínűséggel $0$, $1-p$ valószínűséggel $1$.  Gondoljunk ezekre úgy mint egy gráf csúcsaira!  Két csúcs közt menjen pontosan akkor él, ha csak a kódjuk legvégén lévő tiszta blokkban térnek el, vagyis valamely közös kezdeti rész után az egyik kód csupa $0$-val, a másik csupa $1$-gyel folytatódik. (Tehát pl. $1110011000$ szomszédjai:  $1110011001$, $1110011011$ és $1110011111$.) Lesorsolok egy $0$-val illetve egy $1$-gyel kezdődő kódot a fenti eloszlással, vagyis a többi koordinátát már függetlenül $p$ valószínűséggel $0$-nak, $1-p$-vel $1$-nek. Mennyi az így kapott két kód közt húzott legrövidebb út várható értéke? Mi a válasz, ha $p=1/2$? \emph{Segítség: írjunk fel két ilyen kódot és találjuk ki, hogyan jutunk el egyiktől a másikig a legrövidebb módon! Hogy kapcsolódik ez vajon a tiszta blokkok számához? És: vigyázzunk, hogy az egyik kód $0$-val kezdődik a másik pedig $1$-gyel!}
%
  \item Dobókockával addig dobálunk, amíg $1$-től $6$-ig minden szám legalább egyszer elő nem fordul. Mennyi a szükséges dobások számának várható értéke?
%
  \item \2  Legyenek \(X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_n\) f\"uggetlen \'es azonos eloszl\'as\'u folytonos val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. Azt mondjuk, hogy egy rekord \'ert\'ek t\H unik fel \(j\)-kor (\(j\le n\)), ha \(X_j\ge X_i\) minden \(1\le i\le j\) eset\'en. Mutassuk meg, hogy
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item \(\Ev[\text{rekord \'ert\'ekek sz\'ama}]=\sum\limits_{j=1}^n\frac1j\).
   \item \(\Dv^2[\text{rekord \'ert\'ekek sz\'ama}]=\sum\limits_{j=1}^n\frac{j-1}{j^2}\).
  \end{enumerate}
%
%RB 8.2
  \item Legyenek $X$ \'es $Y$ f\"uggetlen azonos eloszl\'as\'u nemnegat\'\i v val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. $\Ev\frac{X}{X+Y}=?$
  \item[B\'onusz:] H\'arom pr\'ob\'alkoz\'asi lehet\H os\'eg\"unk van, mindegyik pr\'ob\'alkoz\'as azonos val\'osz\'\i n\H us\'eggel sikeres. Jel\"olje $X$ a sikeres pr\'ob\'alkoz\'asok sz\'am\'at. Ha tudjuk, hogy $\Ev(X)=1.8$,
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item mennyi $\Pv\{X=3\}$ lehets\'eges legnagyobb \'ert\'eke?
   \item mennyi $\Pv\{X=3\}$ lehets\'eges legkisebb \'ert\'eke?
  \end{enumerate}
  Mindk\'et esetben tal\'aljunk ki egy val\'osz\'\i n\H us\'egi forgat\'ok\"onyvet, aminek eredm\'enye $\Pv\{X=3\}$, \'es ez az \'ert\'ek a lehet\H o legnagyobb/legkisebb. (\emph{Tipp: a b) r\'esz megold\'as\'at kezdhetj\"uk \'ugy is, hogy legyen $U$ a $(0,1)$-en egyenletes val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, majd defini\'aljuk a pr\'ob\'alkoz\'asokat $U$-val kifejezve.})
%
  \item Pistike egy nagy doboz rossz minőségű villanykörtét vásárolt, amiknek az élettartama független exponenciális eloszlású, mindössze 10 perc várható értékkel. Este 10-kor leül valószínűségszámítást tanulni, becsavarja az asztali lámpájába az első körtét, és felkapcsolja. Ezután, amikor egy körte kiég, rögtön kicseréli, és a következő mellett tanul tovább. Jelölje $\tau_1,\,\tau_2,\,\dots$ az egyes villanykörték élettartamát.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Jelölje $T_2$ azt az időpontot (este 10-től számítva, percben), amikor a második körte kiég, vagyis $T_2=\tau_1+\tau_2$. Mi $T_2$ sűrűségfüggvénye? Számoljuk ki közvetlenül.
   \item "Kitekintő": Mi annak a valószínűsége egy POI(1/10) folyamatban, hogy még nem érkezett meg $t$-kor a második pont? És hogy már megérkezett? Deriváljuk és hasonlítsuk össze az első pontbeli eredménnyel.
   \item Jelölje $T_n$ azt az időpontot (este 10-től számítva, percben), amikor az $n$-edik körte kiég, vagyis $T_n=\tau_1+\tau_2+\dots+\tau_n$. Mi $T_n$ sűrűségfüggvénye?
   \item Minden $n$-re írjuk fel annak valószínűségét, hogy $n$ darab körtével nem tudja kihúzni fél óráig -- vagyis hogy $T_n<30$. (A kapott közepesen csúnya integrál kiszámolása nélkül is továbbléphetünk.)
   \item Jelölje $X$ a Pistike által az első 30 perc alatt elhasznált körték számát. Mi $X$ eloszlása?
   \item Emlékezzünk a \ref{it:csillagh}-os feladatra!
  \end{enumerate}
%
  \item[Bónusz:] Lacika addig dobál egy dobókockát, amíg nem sikerül neki kétszer \emph{egymás után} hatost dobni. Mennyi a szükséges dobások számának várható értéke? (Segítség: nézzünk feltételes várható értékeket!)
%
 \end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 11. feladatsor vége
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
%%%%
% Igazabol a szulinap problema...?
% JULI: mail/vsz111f 2011.10.23
%
% van egy tök jó feladatom indikátorok várható értékének összegére:
% (kellett egy lemmámban)
%
% Van egy urnánk, benne 1-t?l n-ig számozva golyók. Húzok c*gyök(n)-szer
% bel?le, ismétléssel.
% A nem precíz kérdés valami olyasmi, hogy "hány golyót húzunk ki többször"?
% Precízen:
% meg lehet kérdezni, hogy mi a többször húzott golyók számának várható
% értéke, (c^2/ 2) vagy ha már tudnak Markov egyenl?tlenséget, akkor
% adjunk n-ben egyenletes becslést...
%
%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \item[{\bf 12.~HF:}]\
 \begin{enumerate}[label=HF 12.\arabic{*},ref=12.\arabic{*}]
%Ross 7/pr 30-33
  \item
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Ha \(\Ev(X)=1\) \'es \(\Dv^2(X)=5\), hat\'arozzuk meg \(\Ev[(2+X)^2]\) \'es \(\Dv^2(4+3X)\) \'ert\'ek\'et.
   \item Legyenek \(X\) \'es \(Y\) f\"uggetlen azonos eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok \(\mu\) v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es \(\si\) sz\'or\'assal. Sz\'amoljuk ki \(\Ev[(X-Y)^2]\) \'ert\'ek\'et.
  \end{enumerate}
% Vsz1jzet/7.42
  \item\1 Legyenek $X$ \'es $Y$ f\"uggetlen val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"os $\mu$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, de k\"ul\"onb\"oz\H o $\si_X$ \'es $\si_Y$ sz\'or\'asokkal. $\mu$ \'ert\'ek\'et nem tudjuk, \'es egy mintav\'etel alapj\'an az $X$ \'es $Y$ s\'ulyozott \'atlag\'aval szeretn\'enk becs\"ulni. Azaz: $\mu$ \'ert\'ek\'ere a $\la X+(1-\la)Y$ becsl\'est fogjuk adni, valamilyen $\la$ param\'eterrel. Hogyan v\'alasszuk $\la$-t, hogy a becsl\'es\"unk sz\'or\'asa minim\'alis legyen? Mi\'ert \'erdemes ezt a $\la$-t haszn\'alnunk?
% Vsz1jzet/7.50
  \item\1 Legyen az $(X,\,Y)$ pont egyenletes eloszl\'as\'u a $(-1,\,0)$, $(0,\,0)$, $(0,\,1)$ pontok \'altal meghat\'arozott h\'aromsz\"ogben.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mi lesz az $(X,\,Y)$ k\'etdimenzi\'os eloszl\'as kovarianciam\'atrixa?
   \item Legyen $Z=X+2Y$. Mi lesz az $(X,\,Z)$ k\'etdimenzi\'os eloszl\'as kovarianciam\'atrixa?
  \end{enumerate}

%Ross 7/pr 34
  \item 10 h\'azasp\'ar \"ul le v\'eletlen elhelyez\'essel egy kerekasztalhoz. Sz\'am\'\i tsuk ki
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item a v\'arhat\'o\'ert\'ek\'et,
   \item a sz\'or\'asn\'egyzet\'et
  \end{enumerate}
  annak, hogy h\'any f\'erj \"ult a feles\'ege mell\'e.
%36-37
  \item
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Legyen \(X\) az a sz\'am, ah\'anyszor 1-est l\'atunk, \(Y\) az a sz\'am, ah\'anyszor 2-est l\'atunk ha \(n\)-szer dobunk egy szab\'alyos kock\'aval. Sz\'amoljuk ki e k\'et val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o korrel\'aci\'os egy\"utthat\'oj\'at.
   \item Egy dob\'okock\'at k\'etszer feldobunk. Legyen \(X\) a dob\'asok \"osszege, \'es \(Y\) az els\H o dob\'as m\'\i nusz a m\'asodik dob\'as. Sz\'amoljuk ki \(\Cov(X,\,Y)\)-t. F\"uggetlenek-e \(X\) \'es \(Y\)?
  \end{enumerate}
%40-50
  \item \(X\) \'es \(Y\) egy\"uttes s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye
  \[
   f(x,\,y)=\left\{
    \ba
     &\frac1y\,\e{-(y+x/y)},&&\text{ha }x>0,\ y>0,\\
     &0,&&\text{egy\'ebk\'ent.}
    \ea
   \right.
  \]
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Hat\'arozzuk meg \(\Ev(X)\) \'es \(\Ev(Y)\) \'ert\'ek\'et, valamint mutassuk meg, hogy \(\Cov(X,\,Y)=1\).
   \item Sz\'amoljuk ki $\Ev(X^2|Y=y)$-t is.
  \end{enumerate}
%Ross 7.47
  \item\2 Egy \emph{gr\'af} \emph{cs\'ucsok}b\'ol, \'es a cs\'ucsokat \"osszek\"ot\H o \emph{\'elek}b\H ol \'all. Tekints\"unk egy gr\'afot, melynek \(n\) cs\'ucs\'at 1-t\H ol \(n\)-ig megsz\'amoztuk, \'es tegy\"uk fel, hogy mind az \(\binom{n}2\) cs\'ucsp\'ar k\"oz\"ott egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul van \'el \(p\) val\'osz\'\i n\H us\'eggel, \'es nincs \'el \(1-p\) val\'osz\'\i n\H us\'eggel. (Ezt h\'\i vj\'ak Erd\H os-R\'enyi v\'eletlen gr\'afnak.) Az \(i\) cs\'ucs \(D_i\) \emph{foksz\'ama} az \(i\) cs\'ucsb\'ol kiindul\'o \'elek sz\'ama.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mi a \(D_i\) v\'eletlen sz\'am eloszl\'asa?
   \item Hat\'arozzuk meg a \(D_i\) \'es \(D_j\) v\'altoz\'ok \(\varrho(D_i,\,D_j)\) korrel\'aci\'os egy\"utthat\'oj\'at. (\emph{Tipp: defini\'aljuk \(X_i\)-t mint az \(i\)-b\H ol indul\'o, de nem \(j\)-be \'erkez\H o \'elek sz\'am\'at, \'es \(I_{ij}\)-t mint az \(i\) \'es \(j\) k\"oz\"otti \'el megl\'et\'enek indik\'ator\'at. Fejezz\"uk ki \(D_i\)-t \'es \(D_j\)-t az \(X_i,\ X_j\), \'es \(I_{ij}\) v\'altoz\'okkal, ezut\'an sz\'amoljunk korrel\'aci\'ot.})
  \end{enumerate}
\item\1 Egy liftbe a f\"oldszinten bel\'ep\H o emberek sz\'ama egy ismeretlen eloszl\'as\'u $X$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, 1-nél nagyobb v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. $n$ emelet van \'es minden ember egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, azonos val\'osz\'\i n\H us\'eggel sz\'all ki az \(n\) emelet b\'armelyik\'en. Legyen $Y$ az a val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, hogy h\'anyszor \'all meg a lift, m\'\i g az utols\'o utast is kirakja. Bizonyítsuk be, hogy $\Ev(Y) < \Ev(X)$.
\item\2 Az előző feladatban tegyük föl, hogy $X$  eloszl\'asa Poisson, 10 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. Sz\'amoljuk ki $\Ev(Y)$-t.
%7.56
%  \item\2 Egy liftbe a f\"oldszinten bel\'ep\H o emberek sz\'ama Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, 10 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. $n$ emelet van \'es minden ember egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, azonos val\'osz\'\i n\H us\'eggel sz\'all ki az \(n\) emelet b\'armelyik\'en. Sz\'amoljuk ki, v\'arhat\'oan h\'anyszor \'all meg a lift, m\'\i g az utols\'o utast is kirakja.
 %68-69
  \item Egy ember aut\'obaleseteinek sz\'ama egy adott \'evben $\la$ param\'eter\H u Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o. Ez a $\la$ param\'eter minden embern\'el m\'as \'es m\'as, a n\'epess\'eg $60$ sz\'azal\'ek\'an\'al $2$, $40$ sz\'azal\'ek\'an\'al $3$. Ha v\'eletlen\"ul kiv\'alasztunk egy embert, mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege annak, hogy
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item nem t\"ort\'ent vele baleset,
   \item pontosan 3 balesetet szenvedett egy adott \'evben?
   \item Mi a felt\'eteles val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy pontosan 3 balesetet szenvedett egy adott \'evben, felt\'eve, hogy el\H oz\H o \'evben nem t\"ort\'ent vele baleset?
   \item Ism\'etelj\"uk meg az el\H oz\H oeket, ha az $x$-n\'el kisebb $\la$ param\'eterrel rendelkez\H o emberek ar\'anya a n\'epess\'egben $1-\e{-x}$.
  \end{enumerate}
%Ross 7/th29
  \item Legyenek \(X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_n\) f\"uggetlen \'es azonos eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. Hat\'arozzuk meg
  \[
   \Ev(X_1\,|\,X_1+X_2+\dots+X_n=x)
  \]
  \'ert\'ek\'et. (\emph{Tipp: \(\Ev(X_1+X_2+\dots+X_n\,|\,X_1+X_2+\dots+X_n=x)\).})
%Ross 7/th 41
  \item\1 Legyen \(X\) standard norm\'alis eloszl\'as\'u, \'es \(I\) \(X\)-t\H ol f\"uggetlen, \(\Pv\{I=1\}=\Pv\{I=0\}=1/2\) eloszl\'assal. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ot:
  \[
   Y:\,=\left\{
    \ba
     X,\qquad&\text{ha }I=1,\\
     -X,\qquad&\text{ha }I=0.\\
    \ea
   \right.
  \]
  Azaz: \(Y\) (\(X\)-t\H ol f\"uggetlen\"ul) egyenl\H o es\'ellyel lesz \(X\) vagy \(-X\).
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mutassuk meg, hogy \(Y\) standard norm\'alis eloszl\'as\'u.
   \item F\"uggetlen-e \(I\) \'es \(Y\)?
   \item F\"uggetlen-e \(X\) \'es \(Y\)?
   \item Mutassuk meg, hogy \(\Cov(X,\,Y)=0\).
  \end{enumerate}
%RB 10.27!
  \item Az $(X,\,Y) \in \Rb^2$ val\'osz\'\i n\H us\'egi vektorv\'altoz\'o legyen k\'etdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u $\underline m=(-1,1)$ v\'ar\-ha\-t\'o\-\'er\-t\'ek-vektorral \'es $\underline{\underline C}=\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}$ kovarianciam\'atrixszal. Sz\'am\'\i tsuk ki a $\Pv\{X\ge-1,\ Y\ge1\}$ val\'osz\'\i n\H us\'eget! (\emph{Tipp: $\underline{\underline C}=\underline{\underline B}^2$, ahol $\underline{\underline B}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$.})
  %TB6.12
  \item[B\'onusz:]
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item A felt\'eteles kovariancia a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'ugy van defini\'alva, mint a kovariancia a v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. Vezess\"uk le a \emph{felt\'eteles kovariancia formul\'at}:
   \[
    \Cov(X,\,Y)=\Ev\bigl(\Cov(X,\,Y\,|\,Z)\bigr)+\Cov\bigl(\Ev(X\,|\,Z),\,\Ev(Y\,|\,Z)\bigr).
   \]
   \item Hamis \'erm\'evel dobunk, melyn\'el a \emph{fej} val\'osz\'\i n\H us\'ege $p$, az \emph{\'\i r\'as\'e} pedig $q=1-p$. Jel\"olj\"uk $X$-szel \'es $Y$-nal az els\H o, illetve a m\'asodik tiszta (fej vagy \'\i r\'as) sorozat hossz\'at. (Pl.~ha dob\'assorozatunk $FFFIIF\dots$, akkor $X=3$, $Y=2$; ha pedig dob\'assorozatunk $IFFI\dots$, akkor $X=1$, $Y=2$ \dots) Hat\'arozzuk meg a k\"ovetkez\H o mennyis\'egeket: $\Ev X$, $\Ev Y$, $\Ev X^2$, $\Ev Y^2$, $\Dv^2X$, $\Dv^2Y$, $\Cov(X,\,Y)$.
  \end{enumerate}
  %RB4.16
  \item[B\'onusz:] Egy n\'egyzetr\'acsos pap\'\i rra egy tintapaca cs\"oppen. Mekkora a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy a paca nem metszi a vonalakat, ha azok f\'el centire vannak egym\'ast\'ol, a tintafolt sugara pedig  egyenletes eloszl\'as\'u a $[0\,\text{cm},\,1/3\,\text{cm}]$ intervallumon?
% Vsz1jzet/7.4, 7.5: Szindbad
  \item Szindb\'adnak egyszer megadatott, hogy $N$ h\'aremh\"olgy k\"oz\"ul kiv\'alassza a legszebbet a k\"ovetkez\H o j\'at\'ekszab\'aly szerint: az $N$ h\'aremh\"olgy egyenk\'ent vonult el el\H otte, azok valamelyik\'et kellett kiv\'alasztania. A m\'ar elvonultak nem h\'\i vhat\'ok vissza \'es azokr\'ol, akik  m\'eg nem vonultak el, semmit sem tudott. Felt\'etelezz\"uk, hogy a h\'aremh\"olgyeknek j\'ol defini\'alt sz\'eps\'egfokozatuk van: van egy legszebb, egy m\'asodik legszebb, egy harmadik legszebb, \'es v\'eg\"ul a legkev\'esb\'e sz\'ep k\"oz\"ott\"uk. Tov\'abb\'a azt is felt\'etelezz\"uk, hogy v\'eletlen sorrendben vonulnak el Szindb\'ad el\H ott: mind az $N!$ lehets\'eges sorrendj\"uk egyform\'an val\'osz\'\i n\H u.

  Szindb\'ad a k\"ovetkez\H o strat\'egi\'at v\'alasztotta: $k$ h\"olgyet hagyott elvonulni, majd ezut\'an kiv\'alasztotta azt, amelyik szebb volt az \"osszes el\H otte m\'ar elvonultn\'al (\'es ha ilyen h\"olgy nem akad, akkor Szindb\'ad mag\'anyosan t\'avozik). Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege annak, hogy ezzel a m\'odszerrel val\'oban a legszebb h\'aremh\"olgyet v\'alasztotta? Hat\'arozzuk meg azt a $k$-t, amely mellett a fenti strat\'egia optim\'alis $N\to\infty$ hat\'aresetben, \'es a strat\'egi\'ahoz tartoz\'o val\'osz\'\i n\H us\'eget is. (\emph{Tipp: haszn\'aljunk teljes val\'osz\'\i n\H us\'eg t\'etelt aszerint, hogy a legszebb h\"olgy hanyadikk\'ent j\"on(ne) el Szindb\'ad el\H ott.})
%RB5.22
  \item Az el\H oz\H o feladatban le\'\i rt felt\'etelek mellett jel\"olje $X_n$ azt, hogy a sorban $n$-edik h\"olgy h\'anyadik legszebb az els\H o $n$ h\"olgy k\"oz\"ul. P\'eld\'aul ha az egym\'as ut\'ani h\"olgyek egyre szebbek, akkor a sorozat $1,\,1,\,\dots,\,1$ lesz, ha egyre cs\'uny\'abbak, akkor $1,\,2,\,3,\,\dots,\,N$. Bizony\'\i tsuk be, hogy az $X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_N$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok teljesen f\"uggetlenek.
% Vsz1jzet/7.39
  \item\2 Legyen \(Y\sim\Nc(\mu,\,1)\), \'es \(X\,|\,Y\sim\Nc(Y,\,\si^2)\).
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mutassuk meg, hogy az \((X,\,Y)\) p\'ar egy\"uttes eloszl\'asa ugyanaz, mint az \((Y+Z,\,Y)\) p\'ar\'e, ahol \(Z\) egy \(Y\)-t\'ol f\"uggetlen standard norm\'alis val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o.
   \item Ennek seg\'\i ts\'eg\'evel mutassuk meg, hogy az \(X,\,Y\) p\'ar k\'etdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u.
   \item Sz\'am\'\i tsuk ki az \(\Ev X\), \(\Dv^2 X\), \(\Corr(X,\,Y)\) mennyis\'egeket.
   \item Hat\'arozzuk meg \(\Ev(Y\,|\,X=x)\) \'ert\'ek\'et.
   \item Mi \(Y\) felt\'eteles eloszl\'asa az \(X=x\) felt\'etel mellett?
  \end{enumerate}
% Vsz1jzet/7.46
  \item Egy hib\'atlan kock\'aval dobunk t\'\i zszer. Jel\"olje $X$ azt a sz\'amot, ah\'anyszor p\'aros dob\'ast p\'aratlan k\"ovet. Mennyi $X$ v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asa?
% Vsz1jzet/7.48
  \item Egy urn\'aban $a$ darab feh\'er \'es $b$ darab piros goly\'o van. Visszatev\'es n\'elk\"ul addig h\'uzunk, am\'\i g feh\'er goly\'ot nem tal\'alunk. Mennyi az addig kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete?
 \end{enumerate}
\end{itemize}
\end{document}
