%2011.11.21
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[leqno,intlimits]{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{wasysym}

\usepackage{times}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{hhline}
\usepackage{pstricks}

\usepackage[hmargin=.5cm,vmargin=1cm]{geometry}

%\renewcommand\tabularxcolumn[1]{>{\raggedright\arraybackslash}m{#1}}
\renewcommand\tabularxcolumn[1]{>{\centering\arraybackslash}m{#1}}
\newcommand*{\ora}[1]{\nobreak\ {\scriptsize({#1})}}
\newcounter{sz}
\newcommand{\tsz}{\addtocounter{sz}{1}\thesz.}
\newcommand{\tsza}{\thesz/}
\newcommand*{\Pv}{{\bf P}}
\newcommand*{\Ev}{{\bf E}}
\newcommand*{\Dv}{{\bf D}}
\newcommand*{\Vv}{{\bf D}^2}
\newcommand*{\Cov}{{\text{\bf Cov}}}
\newcommand*{\Corr}{{\text{\bf Corr}}}
\newcommand*{\Rb}{\mathbb R}
\newcommand*{\Nb}{\mathbb N}
\newcommand*{\Nc}{\mathcal N}
\newcommand*{\Lc}{\mathcal L}
\newcommand*{\la}{\lambda}
\newcommand*{\si}{\sigma}
\newcommand*{\ve}{\varepsilon}
\newcommand*{\hop}{\bigskip\noindent}
\newcommand*{\1}{$^\bullet$}
\newcommand*{\2}{$^{\bullet\bullet}$}
\newcommand*{\3}{$^{\bullet\bullet\bullet}$}
\newcommand*{\e}[1]{\text{\rm e}^{#1}}
\newcommand*{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand*{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand*{\di}{\,\text{\rm d}}
\DeclareMathOperator{\arctg}{arc\,tg}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}


\def \va {va\-ló\-szí\-nű\-ség}
\def \Va {Va\-ló\-szí\-nű\-ség}
\def \vava {{\va}i vál\-to\-zó}
\def \Vava {{\Va}i vál\-to\-zó}
\def \ef {el\-osz\-lás\-függ\-vény}
\def \Ef {El\-osz\-lás\-függ\-vény}
\def \sf {sű\-rű\-ség\-függ\-vény}
\def \Sf {Sű\-rű\-ség\-függ\-vény}

\begin{document}
\begin{enumerate}[label=10.\arabic{*},ref=10.\arabic{*}]

  \item Legyen $X_1,\,X_2,\,\dots$ f\"uggetlen azonos eloszl\'as\'u folytonos val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok sorozata, legyen $N\ge2$ olyan, hogy
  \[
   X_1\ge X_2\ge\dots\ge X_{N-1}, \quad X_{N-1}<X_N.
  \]
  Azaz az $N$-edik az els\H o tagja a sorozatnak, ahol a sorozat n\"ovekv\H ov\'e v\'alik. Mutassuk meg, hogy $\Ev(N)=\e{}$. (\emph{Tipp: \'erdemes el\H osz\"or kisz\'amolni $\Pv\{N\geq n\}$-t.})
%
%26-TB 6.11 folytonosra!
%  \item
%  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
%
%   \item Legyenek $X$ \'es $Y$ f\"uggetlen, nemnegat\'\i v \'ert\'ek\H u folytonos val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok, melyekre $\Ev X<\infty$ \'es $\Ev Y<\infty$. Bizony\'\i tsuk be, hogy
%   \[
%    \Ev\min\{X,\,Y\}=\int_0^\infty\Pv\{X\ge t\}\cdot\Pv\{Y\ge t\}\,\di t.
%   \]
%   \item \'Altal\'anos\'\i tsuk az el\H obbi \"osszef\"ugg\'est tetsz\H oleges $k$ darab f\"uggetlen, nemnegat\'\i v \'ert\'ek\H u folytonos $X_1$, $X_2$, \dots $X_k$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ora, melyekr\H ol feltessz\"uk, hogy v\'eges a v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk:
%   \[
%    \Ev\min\{X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_k\}=\int_0^\infty\prod_{j=1}^k\Pv\{X_j\ge t\}\,\di t.
%   \]
%   \item Az a) k\'erd\'es felt\'etelei mellett bizony\'\i tsuk be, hogy
%   \[
%    \Ev\max\{X,\,Y\}=\int_0^\infty\left[1-\Pv\{X\le t\}\cdot\Pv\{Y\le t\}\right]\,\di t.
%   \]
%   \item Legyenek $X_1$, $X_2$, \dots $X_k$ f\"uggetlen, \((0,\,1)\)-en egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. Hat\'arozzuk meg az
%   \[
%    \Ev\min\{X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_k\},\qquad\Ev\max\{X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_k\}
%   \]
%   v\'arhat\'o \'ert\'ekeket.
%  \end{enumerate}
%
%7/th 9

\setcounter{enumi}{2}

  \item $n$-szer feldobunk egy $p$ val\'osz\'\i n\H us\'eggel fejet ad\'o \'erm\'et. Sz\'amoljuk ki az $1,\,2,\,\dots,\,k$ hossz\'u csupa fej r\'eszsorozatok v\'arhat\'o sz\'am\'at! ($1\le k\le n$)
%
  \item Tízszer feldobunk egy hamis érmét, amin a fej valószínűsége $p$.
  Jelölje $X$ a tiszta sorozatok számát (mint a 4.4 feladatban).
  Mennyi $X$ várható értéke? (Vigyázat: az érme ezúttal hamis.)

  \item[Bónusz] Tekintsük az $n$ hosszú $0-1$ kódokat, ahol minden koordináta független, $p$ valószínűséggel $0$, $1-p$ valószínűséggel $1$.
  Gondoljunk ezekre úgy, mint egy gráf csúcsaira.
  Két csúcs közt menjen pontosan akkor él, ha csak a kódjuk legvégén lévő tiszta blokkban térnek el, vagyis valamely közös kezdeti rész után az egyik kód csupa $0$-val, a másik csupa $1$-gyel folytatódik.
  (Tehát pl. $1110011000$ szomszédjai:  $1110011001$, $1110011011$ és $1110011111$.)
  Sorsolok egy $0$-val illetve egy $1$-gyel kezdődő kódot a fenti eloszlással, vagyis a többi koordinátát már függetlenül $p$ valószínűséggel $0$-nak, $1-p$-vel $1$-nek.
  Mennyi az így kapott két kód közt húzott legrövidebb út várható értéke? Mi a válasz, ha $p=1/2$?
  \emph{Segítség: írjunk fel két ilyen kódot, és találjuk ki, hogyan jutunk el egyiktől a másikig a legrövidebb módon!
  Hogy kapcsolódik ez vajon a tiszta blokkok számához? És: vigyázzunk, hogy az egyik kód $0$-val kezdődik a másik pedig $1$-gyel!}
%

\item\2 Egy urnában van $M$ piros és $N$ kék golyó. A golyókat visszatevés nélkül kihúzzuk egymás után az urnából. Tiszta sorozat alatt azokat a maximális hosszú húzássorozatokat értjük, melyek során a kihúzott golyók azonos színűek. Jelölje $X$, hogy az $N+M$ hosszú húzássorozatunk hány tiszta sorozatból áll. $\mathbb{E}X=$?

\item Legyenek \(X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_n\) f\"uggetlen \'es azonos eloszl\'as\'u folytonos val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. Azt mondjuk, hogy egy rekord\'ert\'ek t\H unik fel \(j\)-kor (\(j\le n\)), ha \(X_j\ge X_i\) minden \(1\le i\le j\) eset\'en. Mutassuk meg, hogy
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item \(\Ev[\text{rekord\'ert\'ekek sz\'ama}]=\sum\limits_{j=1}^n\frac1j\).
   \item \(\Dv^2[\text{rekord\'ert\'ekek sz\'ama}]=\sum\limits_{j=1}^n\frac{j-1}{j^2}\).
  \end{enumerate}
%
%RB 8.2
  \item\1 Legyenek $X$ \'es $Y$ f\"uggetlen azonos eloszl\'as\'u nemnegat\'\i v val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. $\Ev\frac{X}{X+Y}=?$

  \item H\'arom pr\'ob\'alkoz\'asi lehet\H os\'eg\"unk van, mindegyik pr\'ob\'alkoz\'as azonos val\'osz\'\i n\H us\'eggel sikeres. Jel\"olje $X$ a sikeres pr\'ob\'alkoz\'asok sz\'am\'at. Ha tudjuk, hogy $\Ev(X)=1.8$,
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item mennyi $\Pv\{X=3\}$ lehets\'eges legnagyobb \'ert\'eke?
   \item mennyi $\Pv\{X=3\}$ lehets\'eges legkisebb \'ert\'eke?
  \end{enumerate}
  Mindk\'et esetben tal\'aljunk ki egy val\'osz\'\i n\H us\'egi forgat\'ok\"onyvet, aminek eredm\'enye $\Pv\{X=3\}$, \'es ez az \'ert\'ek a lehet\H o legnagyobb/legkisebb. (\emph{Tipp: a b) r\'esz megold\'as\'at kezdhetj\"uk \'ugy is, hogy legyen $U$ a $(0,1)$-en egyenletes val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, majd defini\'aljuk a pr\'ob\'alkoz\'asokat $U$-val kifejezve.})
%
\item Lacika addig dobál egy dobókockát, amíg nem sikerül neki kétszer \emph{egymás után} hatost dobni. Mennyi a szükséges dobások számának várható értéke? (Segítség: nézzünk feltételes várható értékeket!)

   \item
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Ha \(\Ev(X)=1\) \'es \(\Dv^2(X)=5\), hat\'arozzuk meg \(\Ev[(2+X)^2]\) \'es \(\Dv^2(4+3X)\) \'ert\'ek\'et.
   \item Legyenek \(X\) \'es \(Y\) f\"uggetlen azonos eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok \(\mu\) v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es \(\si\) sz\'or\'assal. Sz\'amoljuk ki \(\Ev[(X-Y)^2]\) \'ert\'ek\'et.
  \end{enumerate}
% Vsz1jzet/7.42
  \item Legyenek $X$ \'es $Y$ f\"uggetlen val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"os $\mu$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, de k\"ul\"onb\"oz\H o $\si_X$ \'es $\si_Y$ sz\'or\'asokkal. $\mu$ \'ert\'ek\'et nem tudjuk, \'es egy mintav\'etel alapj\'an az $X$ \'es $Y$ s\'ulyozott \'atlag\'aval szeretn\'enk becs\"ulni. Azaz: $\mu$ \'ert\'ek\'ere a $\la X+(1-\la)Y$ becsl\'est fogjuk adni, valamilyen $\la$ param\'eterrel. Hogyan v\'alasszuk $\la$-t, hogy a becsl\'es\"unk sz\'or\'asa minim\'alis legyen? Mi\'ert \'erdemes ezt a $\la$-t haszn\'alnunk?
% Vsz1jzet/7.50
  \item Legyen az $(X,\,Y)$ pont egyenletes eloszl\'as\'u a $(-1,\,0)$, $(0,\,0)$, $(0,\,2)$ pontok \'altal meghat\'arozott h\'aromsz\"ogben.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item\1 Mi lesz az $(X,\,Y)$ k\'etdimenzi\'os eloszl\'as kovarianciam\'atrixa?
   \item Legyen $Z=7X+2Y$. Mi lesz az $(X,\,Z)$ k\'etdimenzi\'os eloszl\'as kovarianciam\'atrixa?
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Legyen \(X\) az a sz\'am, ah\'anyszor 1-est l\'atunk, \(Y\) az a sz\'am, ah\'anyszor 2-est l\'atunk ha \(n\)-szer dobunk egy szab\'alyos kock\'aval. Sz\'amoljuk ki e k\'et val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o korrel\'aci\'os egy\"utthat\'oj\'at.
   \item Egy dob\'okock\'at k\'etszer feldobunk. Legyen \(X\) a dob\'asok \"osszege, \'es \(Y\) az els\H o dob\'as m\'\i nusz a m\'asodik dob\'as. Sz\'amoljuk ki \(\Cov(X,\,Y)\)-t. F\"uggetlenek-e \(X\) \'es \(Y\)?
  \end{enumerate}
%40-50
\item\2 A rulettkeréken 37 mező van, $0$-tól $36$-ig számozva. Xavér mindig arra fogad, hogy az eredmény $19$ vagy annál nagyobb szám,
Yvett mindig arra, hogy az eredmény $3$-mal való osztás szerinti maradéka $1$ (tehát az $\{1;4;7;...;34\}$ számok valamelyike).
Tekintsünk $20$ független pörgetést; jelölje $X$, illetve $Y$, hogy ennek során hányszor nyer Xavér, illetve Yvett. (Az is lehet, hogy egy pörgetésnél mindketten nyernek, és az is, hogy egyikük sem.) Számoljuk ki $X$ és $Y$ korrelációs együtthatóját.

  \item\2 \(X\) \'es \(Y\) egy\"uttes s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye
  \[
   f(x,\,y)=\left\{
    \ba
     &\frac1y\,\e{-(y+x/y)},&&\text{ha }x>0,\ y>0,\\
     &0,&&\text{egy\'ebk\'ent.}
    \ea
   \right.
  \]
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Hat\'arozzuk meg \(\Ev(X)\) \'es \(\Ev(Y)\) \'ert\'ek\'et, valamint mutassuk meg, hogy \(\Cov(X,\,Y)=1\).
   \item Sz\'amoljuk ki $\Ev(X^2|Y=y)$-t is.
  \end{enumerate}

\item Az $X$ és $Y$ \vava k együttesen abszolút folytonos eloszlásúak, $X$ peremsűrűség-függvénye $f_X(x)=\lambda^2 xe^{-\lambda x}$ ha $x\ge 0$, és $0$ ha $x<0$ (legyen $\lambda=1/2$); $Y$ feltételes eloszlása $X$ rögzítése mellett pedig egyenletes a $[0,X]$ intervallumon. Határozzuk meg
     \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
     \item az együttes sűrűségfüggvényt (ügyeljünk a tartományokra),
     \item $Y$ peremsűrűség-függvényét és $\mathbb{E}(Y)$-t,
     \item $\mathbb{E}(Y|X=x)$-t és $\mathbb{E}(X|Y=y)$-t,
     \item $\mathbb{E}(X)$-t (itt egyszerűbb, ha használjuk az előző részfeladatot), illetve
     \item \(\Cov(X,\,Y)\)-t.
     \item Emlékezzünk vissza a 9.14 feladatra.
     \end{enumerate}

\item\2 A $3$ egység hosszúságú $PQ$ szakaszt kettétörjük az egyenletes eloszlással választott $R$ pontban. Jelölje a $PR$ szakasz hosszát $X$. Ezek után a megmaradó, $3-X$ egység hosszú $RQ$ szakasz mentén választunk egyenletes eloszlással egy $S$ töréspontot. Jelölje az $RS$ szakasz hosszát $Y$.
 \begin{enumerate}
 \item Írjuk fel az $(X,Y)$ pár közös sűrűségfüggvényét. Figyeljünk a tartományokra.
 \item $\mathbb{E}(Y|X=x)=$? $\mathbb{E}(Y)=$?
 %\item Szerkesszünk egy téglalapot, melynek  két oldalhossza $X$, illetve $Y$. Számoljuk ki a téglalap területének várható értékét! (4 pont)
\item Számoljuk ki $\mathop{Cov}(X,Y)$-t.
\end{enumerate}

%Ross 7.47
  \item Egy \emph{gr\'af} \emph{cs\'ucsok}b\'ol, \'es a cs\'ucsokat \"osszek\"ot\H o \emph{\'elek}b\H ol \'all. Tekints\"unk egy gr\'afot, melynek \(n\) cs\'ucs\'at 1-t\H ol \(n\)-ig megsz\'amoztuk, \'es tegy\"uk fel, hogy mind az \(\binom{n}2\) cs\'ucsp\'ar k\"oz\"ott egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul van \'el \(p\) val\'osz\'\i n\H us\'eggel, \'es nincs \'el \(1-p\) val\'osz\'\i n\H us\'eggel. (Ezt h\'\i vj\'ak Erd\H os-R\'enyi v\'eletlen gr\'afnak.) Az \(i\) cs\'ucs \(D_i\) \emph{foksz\'ama} az \(i\) cs\'ucsb\'ol kiindul\'o \'elek sz\'ama.
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item Mi a \(D_i\) v\'eletlen sz\'am eloszl\'asa?
   \item Hat\'arozzuk meg a \(D_i\) \'es \(D_j\) v\'altoz\'ok \(\varrho(D_i,\,D_j)\) korrel\'aci\'os egy\"utthat\'oj\'at. (\emph{Tipp: defini\'aljuk \(X_i\)-t mint az \(i\)-b\H ol indul\'o, de nem \(j\)-be \'erkez\H o \'elek sz\'am\'at, \'es \(I_{ij}\)-t mint az \(i\) \'es \(j\) k\"oz\"otti \'el megl\'et\'enek indik\'ator\'at. Fejezz\"uk ki \(D_i\)-t \'es \(D_j\)-t az \(X_i,\ X_j\), \'es \(I_{ij}\) v\'altoz\'okkal, ezut\'an sz\'amoljunk korrel\'aci\'ot.})
  \end{enumerate}

\item Egy liftbe a f\"oldszinten bel\'ep\H o emberek sz\'ama egy ismeretlen eloszl\'as\'u $X$ val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, 1-nél nagyobb v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. $n$ emelet van \'es minden ember egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, azonos val\'osz\'\i n\H us\'eggel sz\'all ki az \(n\) emelet b\'armelyik\'en. Legyen $Y$ az a val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, hogy h\'anyszor \'all meg a lift, m\'\i g az utols\'o utast is kirakja. Bizonyítsuk be, hogy $\Ev(Y) < \Ev(X)$.

\item Az előző feladatban tegyük föl, hogy $X$  eloszl\'asa Poisson, 10 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. Sz\'amoljuk ki $\Ev(Y)$-t.
%7.56
%  \item\2 Egy liftbe a f\"oldszinten bel\'ep\H o emberek sz\'ama Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, 10 v\'arhat\'o \'ert\'ekkel. $n$ emelet van \'es minden ember egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, azonos val\'osz\'\i n\H us\'eggel sz\'all ki az \(n\) emelet b\'armelyik\'en. Sz\'amoljuk ki, v\'arhat\'oan h\'anyszor \'all meg a lift, m\'\i g az utols\'o utast is kirakja.
 %68-69
  \item Egy ember aut\'obaleseteinek sz\'ama egy adott \'evben $\la$ param\'eter\H u Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o. Ez a $\la$ param\'eter minden embern\'el m\'as \'es m\'as, a n\'epess\'eg $60$ sz\'azal\'ek\'an\'al $2$, $40$ sz\'azal\'ek\'an\'al $3$. Ha v\'eletlen\"ul kiv\'alasztunk egy embert, mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege annak, hogy
  \begin{enumerate}[label=\bf \alph{*})]
   \item nem t\"ort\'ent vele baleset,
   \item pontosan 3 balesetet szenvedett egy adott \'evben?
   \item Mi a felt\'eteles val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy pontosan 3 balesetet szenvedett egy adott \'evben, felt\'eve, hogy el\H oz\H o \'evben nem t\"ort\'ent vele baleset?
   \item Ism\'etelj\"uk meg az el\H oz\H oeket, ha az $x$-n\'el kisebb $\la$ param\'eterrel rendelkez\H o emberek ar\'anya a n\'epess\'egben $1-\e{-x}$.
  \end{enumerate}
%Ross 7/th29
  \item Legyenek \(X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_n\) f\"uggetlen \'es azonos eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'ok. Hat\'arozzuk meg
  \[
   \Ev(X_1\,|\,X_1+X_2+\dots+X_n=x)
  \]
  \'ert\'ek\'et. (\emph{Tipp: \(\Ev(X_1+X_2+\dots+X_n\,|\,X_1+X_2+\dots+X_n=x)\).})

 \item Hamis érmével dobunk, de nem tudjuk, hogy mennyire torzít az érme. Előzetesen annyit elárult nekünk a torz-érme gyár, hogy egyenletesen torzítják az érméket, vagyis mindenféle $p\in[0,\,1]$ egyenletesen fordul elő. Az első írást \(n\).-szerre dobtuk (addig csupa fejet). Mit tippelünk, mekkora a $p$? (Mi a legvalószínűbb \(p\)?) Alulról illetve felülről (0-tól \(c\)-ig illetve \(c\)-től 1-ig) mekkora intervallumnak van már elég nagy (mondjuk 0.95-ös) valószínűsége, hogy oda esik a $p$?

\end{enumerate}

\end{document}

