Tematika: http://www.math.bme.hu/~sereny

Lineáris tér
Axiómák, példák. Aritmetika: zéruselem, additív inverz egyértelmű (B). Altér, példák.
Lineáris kombináció, generált altér, tulajdonságai. Izomorfizmus.

Lineáris függés, függetlenség, bázis, dimenzió.
Definició, tulajdonságok. Generátorrendszer, tulajdonságai. Bázis és dimenzió, bázis tulajdonságai. Véges dimenziós lineáris terek izomorfiája. (B)

Lineáris függetlenség, függőség, egyenletrendszerek.
Vektor oszlopvektora, elemi vektorrendszer, sortranszformáció. Bázisba való bevonás technikája. Ax=b megoldhatósága, a megoldás egyértelműsége (B). Lineáris egyenletrendszer partikuláris megoldásának előállítása. Mátrix definíciója, rangja. Lin. egyenletr. és a kibővített mátrix.

Mátrixalgebra
Jelölések, elnevezések, speciális mátrixok. Műveletek mátrixok között, tulajdonságaik. Rang és determináns, szemléletes jelentés, tulajdonságok. Determináns kifejtése, szorzástétel. Invertálhatóság.

Lineáris operátorok
Definíció, aritmetika, példák. Képtér, magtér, tulajdonságaik. Dimenziótétel (B). Műveletek lineáris operátorokon.

Operátorok és mátrixok
Operátor mátrixa, elemi geometriai transzformációk mátrixa. Operátorok és mátrixok egységelemes gyűrűjének ill. lineáris terének izomorfiája, és következményei. Bázistranszformáció, áttérés mátrixa, operátor mátrixának transzformációja.

Sajátérték, sajátvektor
Definíció, invariáns altér. Operátor és mátrix sajátértéke és sajátvektora. Ezek tulajdonságaik és meghatározásuk (B). Spektrálfelbontás.

Numerikus sorok
Definíció, konvergencia, divergencia, maradéktag, abszolút- és feltételes konvergencia. Konvergens sorok lin. tere, konvergenciakritériumok (B).

Numerikus sorok
Geometriai, harmónikus, alternáló-harmónikus sorok.
Zárójelezés, zárójelfelbontás hatása a konvergens ill. divergens sorokra. Abszolút konvergens sorok átrendezhetősége, Riemann tétel. Hibabecslés: majoráns illetve integrál kritérium, Leibnitz típusú sorok.

Függvénysorozatok, sorok
Definíció, pontonkénti konvergencia, konvergenciatartomány, egyenletes konvergencia. Egyenletes konvergencia esetén függvényhatárérték, folytonosság, deriválhatóság és integrálhatóság invarianciája a határértékképzésre és a sorösszegre. Kritériumok az egyenletes konvergenciára, illetve kritériumok nem egyenletes konvergenciára.

Hatványsorok, Taylor sor
Hatványsor definíciója, konvergenciaintervallum, egyenletes konvergencia.
Sorfejtés fogalma, formális Taylor sor. Taylor sor egyértelműsége. Taylor polinom, Lagrange maradéktag. Taylor sor konvergenciája, függvény előállítása a Taylor sorával. Elemi függvények Taylor sora.

Fourier sorok
Trigonometrikus és Fourier sor fogalma. Feltétel arra, hogy a Fourier sor előállítsa a függvényt. Sorfejtés, elemi függvények Fourier sora.

Rⁿ definíciója
Rⁿ definíciója, szerkezete: távolság, szög, nagyság. Környezet, torlódási-, izolált-, belső pont, zárt-, nyílt-, korlátos halmaz. Rⁿ -beli sorozat definíciója, konvergencia alapfogalmai. Bolzano-Weierstrass tétel (B), koordinátánkénti konvergencia. Vektorfüggvények, alapfogalmak, példák. Szintvonalak, szintfelületek.

Vektorfüggvények határértéke, folytonossága
Definíció, egyenletes folytonosság, korlátosság. Alapvető tulajdonságok, kompakt halmazon folytonos függvények. Vektorfüggvény folytonos, ha koordinátánként az. Példák.

Differenciálszámítás
Definíció, speciális esetek: gradiens, deriváltvektor. A Jacobi mátrix. Gradiens és parciális deriváltak összefüggése (B), szintfelületek. Folytonos deriválhatóság. Láncszabály, középértéktétel, Young tétel.

Derivált alkalmazásai
Iránymenti derivált, lokális és tartományi szélsőértékek, nyeregpont.
Inverzfüggvénytétel. Implicitfüggvény probléma, implicitfüggvény tétel (B 2dim. esetre). Példák.

Integrálszámítás
Jordan mérhetőseg, terület. Mérhetőség kritériumai. Területi integrál, definíció, tulajdonságai, integrálhatóság feltételei. Példa mérhető halmazon nem integrálható függvényre. Integráltranszformációk.Térfogati integrál, definíció, tulajdonságai.