A1 tematika

hét	tanult anyag	tipikus kérdés / feladat
1.	matematikai alapfogalmak: jelölések (pl. a ∀ és ∃ univerzális kvantoroké), logikai műveletek, az alapvető matematikai bizonyítási formák (direkt, indirekt és indukciós) átismétlése, halmaz és halmazművelet, kitekintés / mese: axiomatikus fölépítés vs. intuitív matematika (pl. Russel paradox), Descartes szorzat, hatványhalmaz, relációk (ekvivalencia reláció, függvényszerű reláció), függvény, injektivitás, szürjektivitás, bijektivitás	Írjuk le a tanult matematikai jelek segítségével az n természetes szám osztóinak halmazát. Matematikai "jelolvasási gyakorlat": igaz -e, hogy tetszőleges n, m természetes számra ∃ k ∈ ℕ: n m = 5k ⇒ ∃ k ∈ ℕ: (n - 5k) (m - 5k) = 0. Az (5,3,3) rendezett hármas eleme a ℕ × ℕ × ℕ halmaznak. Ennek mintájára, a természetes számok halmazából kiindulva, a tanult matematikai jelölések segítségével adjunk meg olyan halmazt mely tartalmaz ilyen elemet: i) {5,3,3} ii) {5,(3,3)}. (Különböznek -e a következők: {5,3,3}, illetve {3,5} ?)
2.	halmazok számossága, megszámlálhó és kontinuum végtelen halmazok, kitekintés / mese: kontinuum-hipotézis és gödeli kérdés, ℕ, ℤ, ℚ, ℝ a rajta értelmezett alapműveletekkel, rendezés, abszolútérték, a min, max, inf és sup definíciója, a komplex számok bevezetésének motívációja	Annak mintájára, ahogy megmutattuk, hogy a kontinuum végtelen ≠ a megszámlálható végtelennel, mutassuk meg, hogy bármely X halmaz esetén \|℘(X)\| ≠ \|X\|. A sík egy végtelen H halmaza olyan, hogy bármely két pontja közti távolság racionális. Mit tudunk mondani H számosságáról? Mely állítások igazak illetve melyek hamisak a következőek közül: ha ∅ ≠ A ⊂ (0,5) ⋂ ℚ, akkor i) ∄ min(A), ii) ∃ inf(A) ∈ ℚ iii) ∃ inf(A) ∈ ℝ iv) ∃ min(A) ⇒ inf(A)² ≠ 2.
3.	polinomok és a polinomok algebrája (polinomok maradékos osztása, gyökök kiemelése, gyöktényezős alak), ℂ a rajta értelmezett műveletekkel, komplex konjugálás és abszolútérték, komplex számok trigonometrikus alakja, kitekintés / mese: az n-ed fokú egyenlet megoldóképlete; harmadfok és komplex számok, Cardano, Tartaglia, Abel és Galois szerepe	A p harmadfokú polinomrol azt tudjuk, hogy p(0) = p(1) = p(2) = p(3) - 5 = 0. Mennyi lehet p(4) értéke? Legyen p(x) = x⁴ - 23 x² + 18 x + 40. Mennyi p értéke az x = 1,2,3,4 pontokban? A behelyettesítés során szerzett megfigyeléseink segítségével határozzuk meg p összes gyökét. Az x számról tudjuk: 2 - 3 x² = 1/x. Meg lehet -e határozni ezek alapján a 6 x⁷ + 5 x⁵ + 2 x⁴ - 3 x³ + 3 x² - 2 x kifejezés értékét, és ha igen, mennyi az? Határozzuk meg az (1+i)⁸, (1-3i)⁷(1+3i)⁶ és ⁽²⁺³ⁱ⁾/_(3+4i)² komplex számok valós részét, képzetes részét, valamint abszolút értékét. Adjuk meg az összes olyan z komplex számot, melyre z³ = -8. Legyen r = ^π/₁₀₀. Komplex számokra vonatkozó ismereteink segítségével számoljuk ki a 1 + 2¹ cos(r) + 2² cos(2r) + 2³ cos(3r)+ . . . . . + 2⁹⁹ cos(99r) összeg értékét! (Segítség: elöször próbáljuk meg az összeget Re(1 + q + q²+... + q⁹⁹) alakra hozni.)
4.	polinomok legnagyobb közös osztója az Euklídeszi algoritmus segítségével, az algebra (komplex számokkal kapcsolatos) alaptétele	Lehet -e 3 közös gyöke a p₁ (x) = x⁹-x⁷+x⁶, p₂ (x) = x⁶-x⁵+x⁴+ x³-x²+x+1 képlettel definiált p₁ és p₂ polinomoknak? Tekintsük a i) ⁽¹⁺ⁱ⁾/_(z+i)³ = (z̅-i)³ és ii) (z̅+1)⁷ = ¹/_z̅⁷ - i egyenleteket. Van -e olyan z ∈ ℂ, amely kielégíti az i), illetve van -e olyan, ami kielégíti a ii) egyenletet? Konkrét megoldásokra most nem vagyunk kiváncsiak, de az egyszerű "igen/nem" -en túl mindkét esetben érveljünk is a válaszunk mellett.
5.	vektorterek, lineáris függetlenség, bázis, vektor koordinátái egy bázisban, dimenzió, altér, egyenes, sík fogalma és megadása	Adjunk példát egy olyan 5 polinomból álló gyűjteményre, melyek közül bármely négy lineárisan független, de az egész rendszer mégsem lineárisan független! Igazoljuk, hogy az (x-1)^k polinomok (k=0,1,2,3) bázist alkotnak a legföljebb 3-ad fokú polinomok terében, és számoljuk ki az x³ polinom ebben a bázisban vett koordinátáit. Legyenek v₁, . . v_n valamint u és w egy vektortér vektorai. Igazak -e a következő állítások: ha mind {v₁, . . v_n, u}, mind pedig {v₁, . . v_n, w} lineárisan független halmazok voltak, akkor {v₁, . . v_n, u+w} is lineárisan független rendszer, ha se {v₁, . . v_n, u}, se pedig {v₁, . . v_n, w} nem voltak lineárisan függetlenek, akkor {v₁, . . v_n, u+w} sem egy lineárisan független halmaz. Határozzuk meg a (2,3) és (3,7) pontokon átmenő egyenes, valamint az azzal párhuzamos és az (1,1) ponton átmenő egyenes egyenletét. Van egy sík és egy egyenes és azt tudjuk, hogy a sík tartalmazza az origót és az (1,2,1), (2,3,4) pontokat, míg az egyenes tartalmazza a (1,2,3) és (2,2,4) pontokat. Határozzuk meg a sík és az egyenes metszéspontjának helyzetét. Mennyi lehet a t valós paraméter értéke, ha tudjuk, hogy a (t,-1,3), (-3,-3,0), (-1,t,0) és (t,2,9) pontok egyetlen síkba esnek?
6.	skaláris szorzat, skalárszorzatos tér, Cauchy-Schwartz egyenlőtlenség, norma és távolság, a szög fogalma, ortogonalitás, ortonormált rendszer, ortonormált bázis	Legyen n > 1 pozitív egész és v₁, . . v_n egységvektorok egy skalárszorzatos térben. Mutassuk meg, ha ∀ j ≠ k: \|v_j ^. v_k\| < 1 / (n-1), akkor a v₁, . . v_n vektorok egy lineárisan független rendszert alkotnak. Állhat -e 4 (nemnulla) vektor úgy, hogy bármely kettő közötti szög nagyobb vagy egyenlő 120° -nál? Van 4 háromszögünk: az első élei 3,4,5, a másodiké 4,6,7, a harmadiké 3,6,8, és végül a negyediké 5,7,8 egység hosszúak. A háromszögeket a megfelelő élek mentén összeragasztva egy tetraédert kapunk. Számoljuk ki a 3 és 7 hosszú élek által bezárt szöget!
7.	ℝ³ geometriája: vektoriális szorzat, síkok, egyenesek, pontok távolsága, bezárt szögek, a vektoriális és skaláris szorzat területtel és térfogattal való kapcsolata, vegyes szorzat és annak tulajdonságai	Határozzuk meg az (1,1,1), (2,3,4) és (1,5,6) pontok által megadott háromszög területét. Számoljuk ki az (1,1,1) és (4,5,13) pontokon átmenő egyenes és a (3,3,2) pont távolságát. Határozzuk meg az (2,2,1), (3,4,4), (2,6,6) és (1,1,0) pontok által megadott tetraéder térfogatát. Határozzuk meg az (1,1,1), (2,3,4), (1,5,6) pontokat tartalmazó sík és az (1,0,0) vektor által bezárt szöget.
8.	sorozatok határértéke, a határérték alapvető tulajdonságai, műveletek a határértékkel, nagyságrendek összehasonlítása, határérték és korlátosság, rendőr elv	Döntsük el, hogy léteznek -e, és ha igen, határozzuk meg az $\begin{matrix} a_n = \frac{2^{n^2}}{(n!)^2}, & b_n=\frac{2^n n^2}{\sqrt{n!}}, & c_n = \sqrt[n]{n!} \end{matrix}$ képlettel megadott a,b és c sorozatok határértékét! Tekintsük az b_n = (n+10) (8/9)ⁿ, c_n = (√ (n2+2n) - n) ( 1 + 3ⁿ/_n!) képlettel definiált sorozatokat. Igaz -e, hogy véges sok n,m pártól eltekintve b_n < c _m ? létezik olyan n, hogy b_n < c_m minden m értékre? A választ mindkét kérdésre precíz érveléssel indokoljuk.
9.	határérték és monotonitás, az n \|-> (1+x/n)ⁿ sorozat és az Euler-féle szám, függvények határértéke, a függvény-határérték elemi tulajdonságai, átviteli-elv folytonosság, néhány "elemi" függvény (például a trigonometriai függvények) folytonossága	Döntsük el, hogy léteznek -e, és ha igen, határozzuk meg az $\begin{matrix} a_n = \left(\frac{3n-5}{3n+5}\right)^\frac{2n^2+1}{n+3}, & b_n = \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n \end{matrix}$ képlettel megadott a,b sorozatok határértékét! A logaritmus függvény folytonosságát kihasználva határozzuk meg a b_n = (n+3) [ ln(n+5) - ln(n+1) ] képlettel megadott b sorozat határértékét!
10.	néhány érdekesebb függvényhatárérték (például: a sin(x)/x határértéke a nullában), rekurzív képlettel megadott sorozatok határértéke, Bolzano és Weierstrass tételei I, az x^y kifejezés precíz értelme (irracionális kitevőre is) és x,y -tól való folytonos függése	Határozzuk meg az $f(x)=\sin(\frac{\pi}{2}x)\, \frac{x^3-3x^2+x-3}{x^2-x-6}$ képlettel megadott f függvény határértékét minden x₀ valós pontban! Tekintsük a b₁ = 1 induló értékkel és b_n+1 = (4/3)^b_n rekurziós relációval definiált b sorozatot. Mutassuk meg, hogy b -nek van határértéke (mégpedig egy 1 és 2 közti szám) a következő lépéseket követve: igazoljuk, hogy ∃ x ∈ (1,2) melyre x = (4/3)^x, valamint, hogy az előbbi egyenlet x > 1 megoldásai közül (ha esetleg több is lenne) létezik egy legkisebb, az előbbi legkisebb, 1-nél nagyobb megoldást c -vel jelölve, igazoljuk, hogy c a b sorozat fölső korlátja és, hogy b monoton nő.
11.	Bolzano és Weierstrass tételei II, a derivált mint függvény-határérték és mint érintő meredeksége, derivált és folytonosság, a deriválás elemi tulajdonságai, néhány "elemi" függvény deriváltja, folytonos differenciálhatóság, derivált és monotonitás	Az f folytonos függvény értelmezési tartománya a [0,1] és [2,3] zárt intervallumok uniója. Az alábbiak közül mely halmazok biztosan nem lehetnek az f értékkészlete? Válaszunkat precíz érveléssel indokoljuk. a teljes valós számegyenes az [1,3) intervallum az [1,3) és a (3,7] intervallumok uniója az [1,3] intervallum az [1,3], [4,5] és [6,7] intervallumok uniója Határozzuk meg a következő kifejezések x szerinti deriváltját: $\frac{\sin(2x+3)}{x^2+1},\;\;\;\;\;\; \frac{1}{1+\sqrt{\cos(x)+2}},\;\;\;\;\;\; (\textrm{arctan}(x)+\pi)^{x^2}.$ Adjunk példát olyan f : ℝ -> ℝ függvényre, mely mindenhol deriválható, de deriváltja nem mindenhol folytonos. Az (1,0) koordinátájú pontból érintőt húzunk a y = x³ képlettel megadott görbe x>1 térrészbe eső szakaszához. Határozzuk meg az érintési pont koordinátáit! Számológép segítsége nélkül döntsük el, mi a nagyobb: e^-(3/4)sin(3/4) vagy e^-(5/7)sin(5/7)?
12.	inverzfüggvény deriváltja; az inverzfüggvény-tétel (és ennek segítségével olyan további "elemi" függvények deriváltjai mint például a logaritmus), derivált és lokális illetve globális szélsőérték, a derivált alkalmazása szélsőérték-keresésre, derivált és szöveges optimalizációs feladatok	Határozzuk meg az f(x) = e^-x (x² - 3) képlettel definiált f függvény minimumát és maximumát a [-2,4] intervallumon! Mekkora lehet maximum a 4y² + x² = 1 képlettel megadott görbe egy pontjának távolsága a (0,1) koordinátájú ponttól? Határozzuk meg a b_n = n² / (n³+100) képlettel megadott b sorozat legnagyobb elemét. Négyzet alapterületű ládikót készítünk papirból. A ládikó fölül nyitott lesz (tehát csak 5 oldalfalat kell készíteni). Ha 1 négyzetméter papír áll a rendelkezésünkre, legföljebb mekkora lehet a ládikó térfogata?
13.	középértéktétel, L'Hopital-szabály, második derivált és szélsőérték típusa, második derivált és konvexitás, a deriválás alkalmazása függvényvizsgálatra, impliciten megadott függvény deriválása és implicitfüggvény-tétel, a határozatlan integrál fogalma és elemi tulajdonságai, parciális integrálás	A L'Hopital-szabály segítségével határozzuk meg a következő határértékeket: $i)\;\; \lim_{x\to 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{{\rm{ln}}(x)}\right), \;\;\;\;\; ii)\;\;\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)-x}{x(\cos(x)-1))}\right).$ Legyen 0 < x₁ < x₂. Eldönthető -e ennyi információból, hogy mi a nagyobb (és ha igen, mi a válasz): x₁ és x₂ átlagának logaritmusa, vagy logaritmusaik átlaga? A tanult eszközökkel vizsgáljuk meg az $i)\;\; f(x) = x^3 e^{-x}, \;\;\;\;\; ii)\;\; g(x) = x^3 + 48 x^2,$ képletekkel megadott f és g függvényeket, valamint vázlatosan rajzoljuk föl grafikonjukat! Az y³ - x³ + 3y - x = 1 görbéhez érintőt húzunk a (0,0) pontból. Mutassuk meg: az érintési pont rajta lesz az 6y - 2x = 3 egyenesen. Milyen c valós paraméter esetén lesz az x ln(y) + c y ln(x) = 1 görbének lokális szélsőértéke x = 1 -nél, és mi ekkor a szélsőérték típusa? Legyen 0 < x₁ < x₂. Eldönthető -e ennyi információból, hogy mi a nagyobb (és ha igen, mi a válasz): x₁ és x₂ átlagának logaritmusa, vagy logaritmusaik átlaga? Az f : ℝ⁺ -> ℝ függvény kielégíti az $f(x)e^{f(x)} = {\rm{ln}}(x)+\sqrt{x}$ egyenletet. Legyen 1 < x₁ < x₂. Eldönthető-e ezek alapján mi a nagyobb (és ha igen, mi a válasz): f(x₁) és f(x₂) átlaga, vagy f értéke az x₁ és x₂ közötti felezőpontnál?
14.	további határozatlan integrálási trükkök, helyettesítéses integrálás, racionális törtek integrálása, határozott integrál: a Riemann-integrál mint (előjeles) terület-érték, az integrálfüggvény és tulajdonságai, a határozott és határozatlan integrál kapcsolata: a Newton-Leibniz szabály, kitekintés: az integrálás és határérték, valamint az integrálás és (egy másik változó szerinti) deriválás fölcserélhetősége	Határozzuk meg a következő integrálokat: $\begin{matrix} i)\;\; \int \cos^8(9x) \rm{d}x, & ii)\;\; \int \frac{{\rm{ln}}(x+1)}{(x+2)^2} \rm{d}x, & iii)\;\; \int \frac{1}{x\rm{ln}(x)} \rm{d}x, \\ & & \\ iv)\;\; \int \tan(x) \rm{d}x, & v)\;\; \int \frac{1}{x^3+4x} \rm{d}x, & vi)\;\; \int \frac{x^3}{x^2-10x+21} \rm{d}x, \\ & & \\ vii)\;\; \int {\rm{ln}}(1+\sqrt{x+3}) \rm{d}x, & viii)\;\; \int \frac{x+2}{1+\sqrt{x+3}} \rm{d}x, & ix)\;\; \int \frac{\sqrt[3]{x^2}+1}{\sqrt[3]{x^2}+x} \rm{d}x. \end{matrix}$ Az utolsó feladatban a t = x^1/3, az az előtti kettőben pedig az u = √ x+3 helyettesítéssel dolgozzunk. Deriváljuk az integrált! $\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\int_{x}^{x+x^2} e^{-t^2}\,{\rm d}t\; = \; ?$ Legyen P és Q egy parabola két pontja. Mekkora a PQ húr, a parabolát a P-ben illetve Q-ban érintő egyenesek által határolt háromszög, illetve a PQ húr és a parabola által határolt síkidom területének aránya? Vázlatosan rajzoljuk le majd számoljuk ki a területét az x⁴ - x² ≤ y x² ≤ 1, y ≤ x egyenlőtlenségek által meghatározott síkidomnak! Számoljuk ki cos(tx) kifejezés t-szerinti integrálját a [0,1] intervallumra, majd a kapott összefüggést használva mutassuk meg, hogy $\left\| \left(\frac{\rm d}{{\rm d}x}\right)^n \, \left(\frac{\sin(x)}{x}\right) \right\| \leq \frac{1}{n+1}.$

hét

tanult anyag

tipikus kérdés / feladat

matematikai alapfogalmak: jelölések (pl. a ∀ és ∃ univerzális kvantoroké), logikai műveletek, az alapvető matematikai bizonyítási formák (direkt, indirekt és indukciós) átismétlése, halmaz és halmazművelet, kitekintés / mese: axiomatikus fölépítés vs. intuitív matematika (pl. Russel paradox), Descartes szorzat, hatványhalmaz, relációk (ekvivalencia reláció, függvényszerű reláció), függvény, injektivitás, szürjektivitás, bijektivitás

Írjuk le a tanult matematikai jelek segítségével az n természetes szám osztóinak halmazát.

Matematikai "jelolvasási gyakorlat": igaz -e, hogy tetszőleges n, m természetes számra

∃ k ∈ ℕ: n m = 5k ⇒ ∃ k ∈ ℕ: (n - 5k) (m - 5k) = 0.

Az (5,3,3) rendezett hármas eleme a ℕ × ℕ × ℕ halmaznak. Ennek mintájára, a természetes számok halmazából kiindulva, a tanult matematikai jelölések segítségével adjunk meg olyan halmazt mely tartalmaz ilyen elemet: i) {5,3,3} ii) {5,(3,3)}.
(Különböznek -e a következők: {5,3,3}, illetve {3,5} ?)

halmazok számossága, megszámlálhó és kontinuum végtelen halmazok, kitekintés / mese: kontinuum-hipotézis és gödeli kérdés, ℕ, ℤ, ℚ, ℝ a rajta értelmezett alapműveletekkel, rendezés, abszolútérték, a min, max, inf és sup definíciója, a komplex számok bevezetésének motívációja

Annak mintájára, ahogy megmutattuk, hogy a kontinuum végtelen ≠ a megszámlálható végtelennel, mutassuk meg, hogy bármely X halmaz esetén |℘(X)| ≠ |X|.

A sík egy végtelen H halmaza olyan, hogy bármely két pontja közti távolság racionális. Mit tudunk mondani H számosságáról?

Mely állítások igazak illetve melyek hamisak a következőek közül: ha ∅ ≠ A ⊂ (0,5) ⋂ ℚ, akkor
i) ∄ min(A), ii) ∃ inf(A) ∈ ℚ iii) ∃ inf(A) ∈ ℝ iv) ∃ min(A) ⇒ inf(A)² ≠ 2.

polinomok és a polinomok algebrája (polinomok maradékos osztása, gyökök kiemelése, gyöktényezős alak), ℂ a rajta értelmezett műveletekkel, komplex konjugálás és abszolútérték, komplex számok trigonometrikus alakja, kitekintés / mese: az n-ed fokú egyenlet megoldóképlete; harmadfok és komplex számok, Cardano, Tartaglia, Abel és Galois szerepe

A p harmadfokú polinomrol azt tudjuk, hogy p(0) = p(1) = p(2) = p(3) - 5 = 0. Mennyi lehet p(4) értéke?

Legyen p(x) = x⁴ - 23 x² + 18 x + 40. Mennyi p értéke az x = 1,2,3,4 pontokban? A behelyettesítés során szerzett megfigyeléseink segítségével határozzuk meg p összes gyökét.

Az x számról tudjuk: 2 - 3 x² = 1/x. Meg lehet -e határozni ezek alapján a

6 x⁷ + 5 x⁵ + 2 x⁴ - 3 x³ + 3 x² - 2 x

kifejezés értékét, és ha igen, mennyi az?

Határozzuk meg az (1+i)⁸, (1-3i)⁷(1+3i)⁶ és ⁽²⁺³ⁱ⁾/_(3+4i)² komplex számok valós részét, képzetes részét, valamint abszolút értékét.

Adjuk meg az összes olyan z komplex számot, melyre z³ = -8.

Legyen r = ^π/₁₀₀. Komplex számokra vonatkozó ismereteink segítségével számoljuk ki a

1 + 2¹ cos(r) + 2² cos(2r) + 2³ cos(3r)+ . . . . . + 2⁹⁹ cos(99r)

összeg értékét! (Segítség: elöször próbáljuk meg az összeget Re(1 + q + q²+... + q⁹⁹) alakra hozni.)

polinomok legnagyobb közös osztója az Euklídeszi algoritmus segítségével, az algebra (komplex számokkal kapcsolatos) alaptétele

Lehet -e 3 közös gyöke a

p₁ (x) = x⁹-x⁷+x⁶,
p₂ (x) = x⁶-x⁵+x⁴+ x³-x²+x+1

képlettel definiált p₁ és p₂ polinomoknak?

Tekintsük a

i) ⁽¹⁺ⁱ⁾/_(z+i)³ = (z̅-i)³ és ii) (z̅+1)⁷ = ¹/_z̅⁷ - i

egyenleteket. Van -e olyan z ∈ ℂ, amely kielégíti az i), illetve van -e olyan, ami kielégíti a ii) egyenletet? Konkrét megoldásokra most nem vagyunk kiváncsiak, de az egyszerű "igen/nem" -en túl mindkét esetben érveljünk is a válaszunk mellett.

vektorterek, lineáris függetlenség, bázis, vektor koordinátái egy bázisban, dimenzió, altér, egyenes, sík fogalma és megadása

Adjunk példát egy olyan 5 polinomból álló gyűjteményre, melyek közül bármely négy lineárisan független, de az egész rendszer mégsem lineárisan független!

Igazoljuk, hogy az (x-1)^k polinomok (k=0,1,2,3) bázist alkotnak a legföljebb 3-ad fokú polinomok terében, és számoljuk ki az x³ polinom ebben a bázisban vett koordinátáit.

Legyenek v₁, . . v_n valamint u és w egy vektortér vektorai. Igazak -e a következő állítások:
1. ha mind {v₁, . . v_n, u}, mind pedig {v₁, . . v_n, w} lineárisan független halmazok voltak, akkor {v₁, . . v_n, u+w} is lineárisan független rendszer,
2. ha se {v₁, . . v_n, u}, se pedig {v₁, . . v_n, w} nem voltak lineárisan függetlenek, akkor {v₁, . . v_n, u+w} sem egy lineárisan független halmaz.

Határozzuk meg a (2,3) és (3,7) pontokon átmenő egyenes, valamint az azzal párhuzamos és az (1,1) ponton átmenő egyenes egyenletét.

Van egy sík és egy egyenes és azt tudjuk, hogy a sík tartalmazza az origót és az (1,2,1), (2,3,4) pontokat, míg az egyenes tartalmazza a (1,2,3) és (2,2,4) pontokat. Határozzuk meg a sík és az egyenes metszéspontjának helyzetét.

Mennyi lehet a t valós paraméter értéke, ha tudjuk, hogy a (t,-1,3), (-3,-3,0), (-1,t,0) és (t,2,9) pontok egyetlen síkba esnek?

skaláris szorzat, skalárszorzatos tér, Cauchy-Schwartz egyenlőtlenség, norma és távolság, a szög fogalma, ortogonalitás, ortonormált rendszer, ortonormált bázis

Legyen n > 1 pozitív egész és v₁, . . v_n egységvektorok egy skalárszorzatos térben. Mutassuk meg, ha

∀ j ≠ k: |v_j ^. v_k| < 1 / (n-1),

akkor a v₁, . . v_n vektorok egy lineárisan független rendszert alkotnak.

Állhat -e 4 (nemnulla) vektor úgy, hogy bármely kettő közötti szög nagyobb vagy egyenlő 120° -nál?

Van 4 háromszögünk: az első élei 3,4,5, a másodiké 4,6,7, a harmadiké 3,6,8, és végül a negyediké 5,7,8 egység hosszúak. A háromszögeket a megfelelő élek mentén összeragasztva egy tetraédert kapunk. Számoljuk ki a 3 és 7 hosszú élek által bezárt szöget!

ℝ³ geometriája: vektoriális szorzat, síkok, egyenesek, pontok távolsága, bezárt szögek, a vektoriális és skaláris szorzat területtel és térfogattal való kapcsolata, vegyes szorzat és annak tulajdonságai

Határozzuk meg az (1,1,1), (2,3,4) és (1,5,6) pontok által megadott háromszög területét.

Számoljuk ki az (1,1,1) és (4,5,13) pontokon átmenő egyenes és a (3,3,2) pont távolságát.

Határozzuk meg az (2,2,1), (3,4,4), (2,6,6) és (1,1,0) pontok által megadott tetraéder térfogatát.

Határozzuk meg az (1,1,1), (2,3,4), (1,5,6) pontokat tartalmazó sík és az (1,0,0) vektor által bezárt szöget.

sorozatok határértéke, a határérték alapvető tulajdonságai, műveletek a határértékkel, nagyságrendek összehasonlítása, határérték és korlátosság, rendőr elv

Döntsük el, hogy léteznek -e, és ha igen, határozzuk meg az

$\begin{matrix} a_n = \frac{2^{n^2}}{(n!)^2}, & b_n=\frac{2^n n^2}{\sqrt{n!}}, & c_n = \sqrt[n]{n!} \end{matrix}$

képlettel megadott a,b és c sorozatok határértékét!

Tekintsük az

b_n = (n+10) (8/9)ⁿ, c_n = (√ (n2+2n) - n) ( 1 + 3ⁿ/_n!)

képlettel definiált sorozatokat. Igaz -e, hogy
1. véges sok n,m pártól eltekintve b_n < c _m ?
2. létezik olyan n, hogy b_n < c_m minden m értékre?
A választ mindkét kérdésre precíz érveléssel indokoljuk.

határérték és monotonitás, az n |-> (1+x/n)ⁿ sorozat és az Euler-féle szám, függvények határértéke, a függvény-határérték elemi tulajdonságai, átviteli-elv folytonosság, néhány "elemi" függvény (például a trigonometriai függvények) folytonossága

Döntsük el, hogy léteznek -e, és ha igen, határozzuk meg az

$\begin{matrix} a_n = \left(\frac{3n-5}{3n+5}\right)^\frac{2n^2+1}{n+3}, & b_n = \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n \end{matrix}$

képlettel megadott a,b sorozatok határértékét!

A logaritmus függvény folytonosságát kihasználva határozzuk meg a b_n = (n+3) [ ln(n+5) - ln(n+1) ] képlettel megadott b sorozat határértékét!

10.

néhány érdekesebb függvényhatárérték (például: a sin(x)/x határértéke a nullában), rekurzív képlettel megadott sorozatok határértéke, Bolzano és Weierstrass tételei I, az x^y kifejezés precíz értelme (irracionális kitevőre is) és x,y -tól való folytonos függése

Határozzuk meg az

$f(x)=\sin(\frac{\pi}{2}x)\, \frac{x^3-3x^2+x-3}{x^2-x-6}$

képlettel megadott f függvény határértékét minden x₀ valós pontban!

Tekintsük a b₁ = 1 induló értékkel és b_n+1 = (4/3)^b_n rekurziós relációval definiált b sorozatot. Mutassuk meg, hogy b -nek van határértéke (mégpedig egy 1 és 2 közti szám) a következő lépéseket követve:
- igazoljuk, hogy ∃ x ∈ (1,2) melyre x = (4/3)^x, valamint, hogy az előbbi egyenlet x > 1 megoldásai közül (ha esetleg több is lenne) létezik egy legkisebb,
- az előbbi legkisebb, 1-nél nagyobb megoldást c -vel jelölve, igazoljuk, hogy c a b sorozat fölső korlátja és, hogy b monoton nő.

11.

Bolzano és Weierstrass tételei II, a derivált mint függvény-határérték és mint érintő meredeksége, derivált és folytonosság, a deriválás elemi tulajdonságai, néhány "elemi" függvény deriváltja, folytonos differenciálhatóság, derivált és monotonitás

Az f folytonos függvény értelmezési tartománya a [0,1] és [2,3] zárt intervallumok uniója. Az alábbiak közül mely halmazok biztosan nem lehetnek az f értékkészlete? Válaszunkat precíz érveléssel indokoljuk.
1. a teljes valós számegyenes
2. az [1,3) intervallum
3. az [1,3) és a (3,7] intervallumok uniója
4. az [1,3] intervallum
5. az [1,3], [4,5] és [6,7] intervallumok uniója

Határozzuk meg a következő kifejezések x szerinti deriváltját:

$\frac{\sin(2x+3)}{x^2+1},\;\;\;\;\;\; \frac{1}{1+\sqrt{\cos(x)+2}},\;\;\;\;\;\; (\textrm{arctan}(x)+\pi)^{x^2}.$

Adjunk példát olyan f : ℝ -> ℝ függvényre, mely mindenhol deriválható, de deriváltja nem mindenhol folytonos.

Az (1,0) koordinátájú pontból érintőt húzunk a y = x³ képlettel megadott görbe x>1 térrészbe eső szakaszához. Határozzuk meg az érintési pont koordinátáit!

Számológép segítsége nélkül döntsük el, mi a nagyobb: e^-(3/4)sin(3/4) vagy e^-(5/7)sin(5/7)?

12.

inverzfüggvény deriváltja; az inverzfüggvény-tétel (és ennek segítségével olyan további "elemi" függvények deriváltjai mint például a logaritmus), derivált és lokális illetve globális szélsőérték, a derivált alkalmazása szélsőérték-keresésre, derivált és szöveges optimalizációs feladatok

Határozzuk meg az f(x) = e^-x (x² - 3) képlettel definiált f függvény minimumát és maximumát a [-2,4] intervallumon!

Mekkora lehet maximum a 4y² + x² = 1 képlettel megadott görbe egy pontjának távolsága a (0,1) koordinátájú ponttól?

Határozzuk meg a b_n = n² / (n³+100) képlettel megadott b sorozat legnagyobb elemét.

Négyzet alapterületű ládikót készítünk papirból. A ládikó fölül nyitott lesz (tehát csak 5 oldalfalat kell készíteni). Ha 1 négyzetméter papír áll a rendelkezésünkre, legföljebb mekkora lehet a ládikó térfogata?

13.

középértéktétel, L'Hopital-szabály, második derivált és szélsőérték típusa, második derivált és konvexitás, a deriválás alkalmazása függvényvizsgálatra, impliciten megadott függvény deriválása és implicitfüggvény-tétel, a határozatlan integrál fogalma és elemi tulajdonságai, parciális integrálás

A L'Hopital-szabály segítségével határozzuk meg a következő határértékeket:
$i)\;\; \lim_{x\to 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{{\rm{ln}}(x)}\right), \;\;\;\;\; ii)\;\;\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)-x}{x(\cos(x)-1))}\right).$

Legyen 0 < x₁ < x₂. Eldönthető -e ennyi információból, hogy mi a nagyobb (és ha igen, mi a válasz): x₁ és x₂ átlagának logaritmusa, vagy logaritmusaik átlaga?

A tanult eszközökkel vizsgáljuk meg az

$i)\;\; f(x) = x^3 e^{-x}, \;\;\;\;\; ii)\;\; g(x) = x^3 + 48 x^2,$

képletekkel megadott f és g függvényeket, valamint vázlatosan rajzoljuk föl grafikonjukat!

Az y³ - x³ + 3y - x = 1 görbéhez érintőt húzunk a (0,0) pontból. Mutassuk meg: az érintési pont rajta lesz az 6y - 2x = 3 egyenesen.

Milyen c valós paraméter esetén lesz az x ln(y) + c y ln(x) = 1 görbének lokális szélsőértéke x = 1 -nél, és mi ekkor a szélsőérték típusa?

Legyen 0 < x₁ < x₂. Eldönthető -e ennyi információból, hogy mi a nagyobb (és ha igen, mi a válasz): x₁ és x₂ átlagának logaritmusa, vagy logaritmusaik átlaga?

Az f : ℝ⁺ -> ℝ függvény kielégíti az

$f(x)e^{f(x)} = {\rm{ln}}(x)+\sqrt{x}$

egyenletet. Legyen 1 < x₁ < x₂. Eldönthető-e ezek alapján mi a nagyobb (és ha igen, mi a válasz): f(x₁) és f(x₂) átlaga, vagy f értéke az x₁ és x₂ közötti felezőpontnál?

14.

további határozatlan integrálási trükkök, helyettesítéses integrálás, racionális törtek integrálása, határozott integrál: a Riemann-integrál mint (előjeles) terület-érték, az integrálfüggvény és tulajdonságai, a határozott és határozatlan integrál kapcsolata: a Newton-Leibniz szabály, kitekintés: az integrálás és határérték, valamint az integrálás és (egy másik változó szerinti) deriválás fölcserélhetősége

Határozzuk meg a következő integrálokat:

$\begin{matrix} i)\;\; \int \cos^8(9x) \rm{d}x, & ii)\;\; \int \frac{{\rm{ln}}(x+1)}{(x+2)^2} \rm{d}x, & iii)\;\; \int \frac{1}{x\rm{ln}(x)} \rm{d}x, \\ & & \\ iv)\;\; \int \tan(x) \rm{d}x, & v)\;\; \int \frac{1}{x^3+4x} \rm{d}x, & vi)\;\; \int \frac{x^3}{x^2-10x+21} \rm{d}x, \\ & & \\ vii)\;\; \int {\rm{ln}}(1+\sqrt{x+3}) \rm{d}x, & viii)\;\; \int \frac{x+2}{1+\sqrt{x+3}} \rm{d}x, & ix)\;\; \int \frac{\sqrt[3]{x^2}+1}{\sqrt[3]{x^2}+x} \rm{d}x. \end{matrix}$

Az utolsó feladatban a t = x^1/3, az az előtti kettőben pedig az u = √ x+3 helyettesítéssel dolgozzunk.

Deriváljuk az integrált!

$\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\int_{x}^{x+x^2} e^{-t^2}\,{\rm d}t\; = \; ?$

Legyen P és Q egy parabola két pontja. Mekkora a PQ húr, a parabolát a P-ben illetve Q-ban érintő egyenesek által határolt háromszög, illetve a PQ húr és a parabola által határolt síkidom területének aránya?

Vázlatosan rajzoljuk le majd számoljuk ki a területét az

x⁴ - x² ≤ y x² ≤ 1, y ≤ x

egyenlőtlenségek által meghatározott síkidomnak!

Számoljuk ki cos(tx) kifejezés t-szerinti integrálját a [0,1] intervallumra, majd a kapott összefüggést használva mutassuk meg, hogy

$\left| \left(\frac{\rm d}{{\rm d}x}\right)^n \, \left(\frac{\sin(x)}{x}\right) \right| \leq \frac{1}{n+1}.$