Lie-algebrák és differenciálegyenletek

Rácz Miklós Zoltán és Mészáros Tamás

2006. december 5.

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés

Dolgozatunk témája a Lie-csoportok, illetve Lie-algebrák, ezekbe szeretnénk mélyebb betekintést nyerni. Ezek segítségével pedig differenciálegyenleteket tudunk megoldani, erre nézünk néhány példát dolgozatunk végén.
	A 2. fejezetben bevezetjük a Lie-csoport fogalmát, majd megismerkedünk az ún. klasszikus csoportokkal (általános és speciális lineáris csoportok, ortogonális csoportok, unitér csoportok, stb.). Ezekben az a közös, hogy mindegyikük megtart egy bizonyos metrikát. Ezt ellenőrizzük is a Mathematica segítségével. Megvizsgálunk továbbá további fontos Lie-csoportokat (transzlációs csoport, affin csoport, Galilei-csoport). A fejezet végén szót ejtünk még a csoportreprezentációkról.
	A 3. fejezetben bevezetjük az infinitezimális transzformációkat az egy- valamint a több-paraméteres Lie-csoportokban, s egy példával szemléltetjük ezeket a jobb megértés céljából.
	Az 4. fejezetben röviden bevezetjük az infinitezimális generátorokat, amikre szükségünk lesz később.
	A 5. fejezetben a Lie-algebra fogalmát vezetjük be általánosan, valamint példákon szemléltetjük. Az 5.2. szakaszban pedig rátérünk a Lie-algebrák és a Lie-csoportok kapcsolatára.
	A 6. fejezetben fizikai példáknál hasznosítjuk az eddig tárgyalt fogalmakat. Az első példánál az egydimenziós hullámegyenletet vizsgájuk meg bővebben. Megkeressük azokat a transzformációkat, amelyek az egyenletünket invariánsan hagyják, s ezek után ezek segítségével gyorsan megtaláljuk a differenciálegyenlethez tartozó Lie-algebrát. Ez sokat segít a differenciálegyenlet megoldásában, többek közt megmutathatjuk, hogy tényleg megoldható az egyenletünk. Továbbá két, immáron rövidebb fizikai példán szemléltetjük a parciális differenciálegyenletek és a Lie-algebrák kapcsolatát.
	Dolgozatunk végén rövid összefoglalást bibliográfia követ.

2. Lie-csoportok

2.1. Általános definíció

Def: A G  csoportot r-paraméteres Lie-csoportnak nevezzük, ha ellátható egy r dimenziós differenciálható tér struktúrájával úgy, hogy 
                                                         c: G × G → G  		 c((Subscript[g, 1]), (Subscript[g, 2])) =(Subscript[g, 1])· (Subscript[g, 2])  		(Subscript[g, 1]), (Subscript[g, 2]) ∈ G     
         a csoportművelet és 
                                                                                                     i: G → G   
          az inverz művelet mindegyike folytonosan differencálható függvény.
Példa: ℝ additív csoportja Lie-csoportot alkot                              

Def:  A G csoport az M sokaság Lie-transzformáció csoportja, ha ∃ φ: G × M → M,  φ (g , x) = g x  differenciálható függvény melyre
           1.  ((Subscript[g, 1])· (Subscript[g, 2]))x  =  (Subscript[g, 1])· ( (Subscript[g, 2])x )      		 x ∈ M 	  (Subscript[g, 1]), (Subscript[g, 2]) ∈ G
           2. ex = x 	ha e a csoport egységeleme és  x ∈ M    
Ezt felfoghatjuk úgy is, mint a G csoport hatását M-en. Minden g ∈ G elemhez tartozik egy transzformáció, mely az x ∈ M  elemet a gx ∈ M elembe viszi.

2.2. "Classical groups", avagy klasszikus csoportok

A K test feletti n×n-es invertálható mátrixok a hagyományos mátrixszorzással, mint művelettel csoportot alkotnak. Ennek neve, ha K=ℝ, akkor GL ( n , ℝ ), mint general linear group, és  
GL ( n , ℂ ), ha K=ℂ. Ezeket a csoportokat és részcsoportjaikat nevezzük klasszikus csoportoknak. Könnyen látható, hogy ezek rendre Lie-csoportok. Ebben a fejezetben megnézzük ezeket a csoportokat, a csoporthatásukat (ℝ^n)-en és (ℂ^n)-en, és néhány tulajdonságukat. 
Mint tudjuk,  (ℝ^n)-en és (ℂ^n)-en az invertálható lineáris transzformációk invertálható mátrixokkal vett balszorzásoknak felelnek meg, így kézenfekvő, hogy ezeket tekintsük a csoportelemekhez tartozó transzformációknak.

Általános és speciális lineáris csoportok (general and special linear groups)

Az előbbiekben már bevezettük a GL  fogalmát. A valósak fölött nyilván (n^2) valós paraméter van, így dim{GL (n , ℝ)}=(n^2). Komplexek fölött (n^2) komplex paraméter van, így 2(n^2)valós, így dim{GL ( n , ℂ )}=2(n^2). Eddig ugye csak az volt a követelmény, hogy det(A)≠ 0. Ha a feltételt det(A)= 1-re változtatjuk, akkor a speciális lineáris csoporthoz jutunk.
SL ( n , ℝ )={A∈GL ( n , ℝ ):  det(A)=1}
Komplexek fölött a definíció hasonlóan néz ki. Könnyen látható, hogy a determinánsra vonatkozó megszorítás miatt az utolsó paramáter nem szabadon választható, így 
 dim{SL ( n , ℝ )}=(n^2)-1 és dim{SL ( n , ℂ )}=2((n^2)-1).
 
 A továbbiakban a transzformációk egy érdekes halmazával fogunk foglalkozni, amelyek bizonyos metrikákat megtartanak. A metrika egy vektortéren értelmezett kétváltozós bilineáris skalárfüggvény.

Ortogonális csoportok

Ezen csoportok definiálásához be kell vezetnünk az euklidészi metrikát. Ez a szokásos skalárszorzás (ℝ^n)-en. Most írjuk meg ezt a függvényt.

\(eukl[u_, v_] := 
      Module[
{}, 
If[
          ListQ[u] && ListQ[v] && Length[u] == Length[v], 
          u . v, "Nem vektorok, vagy nem azonos a dimenziójuk"]
]\)

eukl[{1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}]

Ezek után lehet definiálni az ortogonális csoportokat.
Ortogonális csoport:
O(n):={A∈GL ( n , ℝ ):  A megtartja az euklidészi metrikát}
Ez a feltétel ekvivalens azzal, hogy A legyen egy ortogonális mátrix (innen a név), vagyis (A^T)A=I. Ennek a Lie-csoportnak a dimenziója n(n-1)/2.
Speciális ortogonális csoport
SO(n)={A∈O (n):  det(A)=1 }
Ennek a csoportnak a dimenziója is n(n-1)/2.
Most nézzünk egy példát:

A := {{Cos[α], 
          Sin[α]}, {Sin[α], -Cos[α]}}
u := {a, b}
v := {c, d}

MatrixForm[A]

Simplify[Transpose[A] . A]

Simplify[eukl[u, v] - eukl[A . u, A . v]]

Láthattuk, hogy (A^T)A=I , és a hozzá tartozó transzformáció valóban őrzi a metrikát, tehát ∀ α∈ℝ : A(α)∈O(2)

Simplify[Det[A]]

Mivel det(A)≠1, ezért A∉SO(2)

Unitér csoportok

Ezen csoportok definiálásához be kell vezetnünk az Hermite-metrikát. Ezt (ℂ^n)-en értelmezett konjugált skalárszorzás generálja, vagyis (x ,y):=\(TraditionalForm\`\(x\&_\^T\) I\ y\), ahol x,y∈(ℂ^n). Most írjuk meg ezt a függvényt.

\(hermite[u_, v_] := 
      Module[
{}, 
If[
          ListQ[u] && ListQ[v] && Length[u] == Length[v], 
          Conjugate[u] . 
            v, "Nem vektorok, vagy nem azonos a dimenziójuk"]
]\)

hermite[{1 + 2 I, 2 + 3 I, 
        3 + 4 I}, {1 + 2 I, 2 + 3 I, 
        3 + 4 I}]

Ezek után lehet definiálni az unitér csoportokat.
Unitér csoport:
U(n)={A∈GL ( n , ℂ ):  A megtartja a Hermite-metrikát}
Ez a feltétel ekvivalens azzal, hogy A unitér mátrix (innen a név), vagyis \(TraditionalForm\`A\&_\^T\)A=I. Ennek a Lie-csoportnak a dimenziója (n^2).
Speciális unitér csoport
SU(n)={A∈U(n):  det(A)=1 }
Ennek a csoportnak a dimenziója (n^2)-1.
Most nézzünk egy példát:

B := {{(Cos[α] + I Sin[α]) 
            Cos[δ], (Cos[γ] + I Sin[γ]) 
            Sin[δ]}, {-(Cos[β - γ] + I Sin[β - γ]) 
            Sin[δ], (Cos[β - α] + I Sin[β - α]) Cos[δ]}}
u := {a, b}
v := {c, d}

MatrixForm[B]

Simplify[Conjugate[Transpose[B]] . B, 
      Assumptions -> {{α, β, γ, δ} ∈ 
            Reals}]

Simplify[hermite[u, v] - hermite[B . u, B . v], 
      Assumptions -> {α ∈ Reals, β ∈ 
            Reals, γ ∈ Reals, δ ∈ 
            Reals}]

Láthattuk, hogy \(TraditionalForm\`B\&_\^T\)B=I , és a hozzá tartozó transzformáció valóban őrzi a metrikát, tehát ∀ α,β,γ,δ∈ℝ : B(α,β,γ,δ)∈U(2)

Simplify[Det[B], 
      Assumptions -> {α ∈ Reals, β ∈ 
            Reals, γ ∈ Reals, δ ∈ 
            Reals}]

Mivel det(A) nem feltétlenül 1, ezért A∉SU(2), csak néhány β-ra.

Pszeudo-ortogonális csoportok

Ezen csoportok definiálásához be kell vezetnünk a Lorentz-skalárszorzatot. Ha x,y∈v (ℝ^n), akkor (x , y)=(x^T) L y, ahol L a Lorentz-mátrix.
 L=(({{-(Subscript[I, P]), 0}, {0, (Subscript[I, m - P])}})). Most írjuk meg ezt a függvényt.

\(lorentz[u_, v_, P_] := 
      Module[
{a, b, c, d}, 
If[
          ListQ[u] && ListQ[v] && Length[u] == Length[v] && 
            P ∈ Integers && P >= 0 && 
            Length[u] ≥ P, 
a := 
            Table[\(-u[\([i]\)]\), {i, P}]; 
b := 
            Table[v[\([i]\)], {i, P}]; 
c := 
            Table[u[\([i]\)], {i, P + 1, Length[u]}]; 
d := 
            Table[v[\([i]\)], {i, P + 1, Length[u]}]; 
a . 
              b + c . d, 
"Nem vektorok, vagy nem azonos a dimenziójuk, vagy P nem megfelelő"]
]\)

lorentz[{1, 2, 3}, {1, 2, 3}, 2]

Ezek után lehet definiálni a pseudo-ortogonális csoportokat.
 Pszeudo-ortogonális csoport:
O(P,n-P)={A∈GL ( n , ℝ ):  A megtartja a Lorentz-metrikát}
Ez a feltétel ekvivalens azzal, hogy  (A^T) LA=L. Ennek a Lie-csoportnak a dimenziója n(n - 1)/2.
 Speciális-pszeudo ortogonális csoport
SO(P,n-P)={A∈O(P,n-P):  det(A)=1 }
Ennek a csoportnak a dimenziója is n(n - 1)/2.
Most nézzünk egy példát:

F := {{Cosh[α], -Sinh[α]}, {-Sinh[α], 
          Cosh[α]}}
L := {{-1, 0}, {0, 1}}
u := {a, b}
v := {c, d}

MatrixForm[F]

Simplify[Transpose[F] . L . F]

Simplify[lorentz[u, v, 1] - lorentz[F . u, F . v, 1]]

Láthattuk, hogy (F^T)L F=L , és a hozzá tartozó transzformáció valóban őrzi a metrikát, tehát F∈O(1,1) ∀ α∈ℝ

Simplify[Det[F]]

Mivel det(A)=1, ezért F∈SO(1,1) is igaz.

Pseudo-unitér csoportok

Ezen csoportok definiálásához be kell vezetnünk a Hermite-Lorentz-metrikát. Ha x,y∈v (ℂ^n),és L az előbb definiált Lorentz-mátrix, akkor (x , y)=\(TraditionalForm\`x\&_\^T\ L\ y\). Most írjuk meg ezt a függvényt.

hermitelorentz[u_, v_, P_] := 
      Module[
{a, b, c, d}, 
If[
          ListQ[u] && ListQ[v] && Length[u] == Length[v] && 
            P ∈ Integers && P >= 0 && 
            Length[u] ≥ P, 
a := 
            Table[-u[[i]], {i, P}]; 
b := 
            Table[v[[i]], {i, P}]; 
c := 
            Table[u[[i]], {i, P + 1, Length[u]}]; 
d := 
            Table[v[[i]], {i, P + 1, 
                Length[u]}]; 
Conjugate[a] . b + 
            Conjugate[c] . 
              d, 
"Nem vektorok, vagy nem azonos a \
dimenziójuk, vagy P nem \
megfelelő"]
]

hermitelorentz[{1 + 2 I, 2 + 3 I, 
        3 + 4 I}, {1 + 2 I, 2 + 3 I, 
        3 + 4 I}, 2]

Ezek után lehet definiálni a pseudo-unitér csoportokat.
 Pseudo-unitér csoport:
U(P,n-P)={A∈GL ( n , ℂ ):  A megtartja a Hermite-Lorentz-metrikát}
Ez a feltétel ekvivalens azzal, hogy  \(TraditionalForm\`\(A\&_\^T\) L\)A=L. Ennek a Lie-csoportnak a dimenziója (n^2).
 Pseudo-speciális -unitér csoport
SU(P,n-P)={A∈U(P,n-P):  det(A)=1 }
Ennek a csoportnak a dimenziója is (n^2) - 1.
Nyilván a pseudo-ortogonális csoport részcsoportja a pseudo-unitér csoportnak. Most nézzük meg ezt egy konkrét példán:

G := F
L := {{-1, 0}, {0, 1}}
u := {a, b}
v := {c, d}

MatrixForm[G]

Simplify[Conjugate[Transpose[G]] . L . G, 
      Assumptions -> {α ∈ Reals}]

Simplify[hermitelorentz[u, v, 1] - hermitelorentz[G . u, G . v, 1], 
      Assumptions -> {α ∈ Reals}]

Láthattuk, hogy \(TraditionalForm\`G\&_\^T\)L G=L , és a hozzá tartozó transzformáció valóban őrzi a metrikát, tehát G∈U(1,1) ∀ α∈ℝ

Simplify[Det[G]]

Mivel det(A)=1, ezért G∈SU(1,1) is igaz.

Szimplektikus csoportok

Ezen csoportok definiálásához be kell vezetnünk a szimplektikus metrikát. Ha x,y∈v (ℝ^(2  n)) vagy (ℂ^(2  n)) akkor (x , y)=\(TraditionalForm\`x\&_\^T\ J\ y\), ahol J a következő mátrix:
 L=(({{0, (Subscript[I, n])}, {-(Subscript[I, n]), 0}})). Most írjuk meg ezt a függvényt.

szimp[u_, v_] := 
      Module[
{n, a, b, c, d}, 
If[
          ListQ[u] && ListQ[v] && Length[u] == Length[v] && 
            EvenQ[Length[v]], 
n := 
            Length[u]/2; 
a := 
            Table[u[[i]], {i, n}]; 
b := 
            Table[v[[i]], {i, n}]; 
c := 
            Table[u[[i]], {i, n + 1, 2 n}]; 
d := 
            Table[v[[i]], {i, n + 1, 2 n}]; 
Conjugate[
                a] . d - 
            Conjugate[b] . 
              c, 
"Nem vektorok, vagy nem azonos a \
dimenziójuk, vagy nem páros szám a \
dimenziójuk"]
]

szimp[{1 + 2 I, 2 + 3 I, 
        3 + 4 I, 4 + 5 I}, {3 + 4 I, 
        4 + 5 I, 1 + 2 I, 
        2 + 3 I}]

Ezek után lehet definiálni a szimplektikus csoportokat.
Szimplektikus csoport:
Sp(2n)={A∈GL ( n ):  A megtartja a szimplektikus metrikát}
Ez a feltétel ekvivalens azzal, hogy  \(TraditionalForm\`\(A\&_\^T\) J\)A=J. Ennek a Lie-csoportnak a dimenziója ℝ felett n(2  n + 1), ℂ felett pedig 2n(2n + 1).
Speciális szimplektikus csoport
SSp(2n)={A∈Sp(2n):  det(A)=1 }
Ennek a csoportnak a dimenziója  ℝ felett n(2  n + 1), ℂ felett pedig 2n(2n + 1)-1.
Most nézzünk egy példát. H legyen egy olyan 2×2-es mátrix, aminek a determinánsa 1.

H := {{x, y}, {q, z}}
J := {{0, 1}, {-1, 0}}
u := {a, b}
v := {c, d}

MatrixForm[H]

Simplify[Conjugate[Transpose[F]] . J . F,  
      Assumptions -> {x ∈ Reals, y ∈ Reals, 
          z ∈ Reals, q ∈ Reals}]

Ha det(H)=1, akkor ez éppen J.

Simplify[szimp[u, v] - szimp[H . u, H . v],  
      Assumptions -> {x ∈ Reals, y ∈ Reals, 
          z ∈ Reals, q ∈ Reals, a ∈ Reals, 
          b ∈ Reals, c ∈ Reals, 
          d ∈ Reals}]

Ha det(H)=1, akkor ez éppen 0, tehát láthattuk, hogy \(TraditionalForm\`H\&_\^T\)J H=J , és a hozzá tartozó transzformáció valóban őrzi a metrikát, tehát H∈Sp(2). Mivel a determinánsa 1, ezért H∈SSp(2).
Nyilván SSp(2)⊂SL(2), most beláttuk, hogy a tartalmazás fordítva is igaz, vagyis ezzel a következő kis tételt is beláttuk: SSp(2)=SL(2). A tétel általánosítása is igaz: SSp(2n)=SL(2n).

Klasszikus Lie-csoportok a fizikában

Ezek a csoportok azért nagyon fontosak, mert a fizikában számos helyen előkerülnek:
({{SO (2), -, \(tengely\ körüli\ forgatások\)}, {SO (3), -, teljes forgatások}, {SO (4), -, Kepler - probléma,  
            kvantum gravitáció}, {U (1), -, Gauge - 
              csoport az elektromágnesességben}, {SU (2), -, Gauge - csoport a Young - Mills elméletben}, {SU (3), -, \(Gauge - \(\(csoport\)\(\ \)\(a\)\(\ \)\(kvantum\)\(\ \)\(elektrodinamikában\)\(\ \)\)\)}, {U (3), -, harmonikus oszcillátor}, {O (1, 3), -, \(Lorentz - 
              csoport\ a\ speciális\ relativitáselméletben\)}, {Sp (2  n), -, Hamilton - 
              féle kanonikus transzformáció}})

Hasznos programok

A későbbiekben látni fogjuk, hogy ezekre a klasszikus Lie-csoportoktra azért lesz szükségünk, hogy speciális problémákat modellezzünk. Tehát, ha van egy problémánk, amelyet k db paraméter ír le, akkor meg kell találni hozzá azt a G csoportot, amit szintén k db paraméter ír le, vagyis dimG=k. Most erre nézzük meg a következő programot.

\(reprkeres[k_] := 
      Module[
{l, sol, x, 
          i}, 
l := {}; 
sol := 
          x /. Solve[x^2 == k, x]; 
a := 
          Select[Select[sol, IntegerQ], Positive]; 
If[
          Length[a] > 0, 
          l = Append[l, 
              Table[GL[a[\([i]\)], ℝ\ ], {i, 
                  Length[a]}]]; 
l = 
            Append[l, 
              Table[U[a[\([i]\)]], {i, Length[a]}]]; 
l = 
            Append[l, 
              Table[U[P, a[\([i]\)] - P], {i, 
                  Length[a]}]]]; 
sol := 
          x /. Solve[2\ x^2 == k, x]; 
a := 
          Select[Select[sol, IntegerQ], Positive]; 
If[
          Length[a] > 0, 
          l = Append[l, 
              Table[GL[a[\([i]\)], ℂ], {i, 
                  Length[a]}]]]; 
sol := 
          x /. Solve[x^2 - 1 == k, x]; 
a := 
          Select[Select[sol, IntegerQ], Positive]; 
If[
          Length[a] > 0, 
          l = Append[l, 
              Table[SL[a[\([i]\)], ℝ], {i, 
                  Length[a]}]]; 
l = 
            Append[l, 
              Table[SU[a[\([i]\)]], {i, Length[a]}]]; 
l = 
            Append[l, 
              Table[SU[P, a[\([i]\)] - P], {i, 
                  Length[a]}]]]; 
sol := 
          x /. Solve[2 \((x^2 - 1)\) == k, x]; 
a := 
          Select[Select[sol, IntegerQ], Positive]; 
If[
          Length[a] > 0, 
          l = Append[l, 
              Table[SL[a[\([i]\)], ℂ], {i, 
                  Length[a]}]]]; 
sol := 
          x /. Solve[x\ \((x - 1)\)/2 == k, x]; 
a := 
          Select[Select[sol, IntegerQ], Positive]; 
If[
          Length[a] > 0, 
          l = Append[l, 
              Table["O"[a[\([i]\)]], {i, 
                  Length[a]}]]; 
l = 
            Append[l, 
              Table[SO[a[\([i]\)]], {i, Length[a]}]]; 
l = 
            Append[l, 
              Table["O"[P, a[\([i]\)] - P], {i, 
                  Length[a]}]]; 
l = 
            Append[l, 
              Table[SO[P, a[\([i]\)] - P], {i, 
                  Length[a]}]]]; 
sol := 
          x /. Solve[2  x \((2  x + 1)\) == k, 
              x]; 
a := 
          Select[Select[sol, IntegerQ], Positive]; 
If[
          Length[a] > 0, 
          l = Append[l, 
              Table[Sp[2\ a[\([i]\)], ℂ], {i, 
                  Length[a]}]]]; 
sol := 
          x /. Solve[x \((2  x + 1)\) == k, x]; 
a := 
          Select[Select[sol, IntegerQ], Positive]; 
If[
          Length[a] > 0, 
          l = Append[l, 
              Table[Sp[2\ a[\([i]\)], ℝ], {i, 
                  Length[a]}]]; 
l = 
            Append[l, 
              Table[SSp[2\ a[\([i]\)], ℝ], {i, 
                  Length[a]}]]]; 
sol := 
          x /. Solve[2  x \((2  x + 1)\) - 1 == k, 
              x]; 
a := 
          Select[Select[sol, IntegerQ], Positive]; 
If[
          Length[a] > 0, 
          l = Append[l, 
              Table[SSp[2\ a[\([i]\)], ℂ], {i, 
                  Length[a]}]]]; 
If[Length[l] > 0, 
          Flatten[l, 
            1], "Nincs klasszikus reprezentáció"]
]\)

reprkeres[1]

reprkeres[15]

reprkeres[217]

2.3. További nevezetes Lie-csoportok

Transzlációs csoport

Az ℝ\(TraditionalForm\`\^n\)-en ható transzlációs csoportot jelölje T(n).
    										T(n)={r(a): a∈ ℝ\(TraditionalForm\`\^n\)}
ahol
										r(a): x ⟶x'=x + a 
Könnyen ellenőrizhető, hogy T(n) egy Abel-csoport, a neutrális egységelem r(0), az inverz r(a)\(TraditionalForm\`\^\(-1\)\)=r(-a). Ennek dimenziója nyilván n.

Affin csoport

Ez a transzlációs és a (pseudo-) ortogonális csoport kombinációja ℝ\(TraditionalForm\`\^n\) felett az Euklideszi vagy a Lorentz-metrikával. Így egy általános eleme:
								g(A,a): x⟶x'=Ax + a
ahol A∈O(P,n-p) vagy O(n) és a∈ ℝ\(TraditionalForm\`\^n\).  A szorzás:  g(A,a) . g(A',a')=g(A'A,A'a+a').
Könnyen belátható, hogy ekkor ez a csoport épp O(P,n-P)∧T(m), ahol ∧ a szemi-direkt szorzatot jelenti. Ez alapján az affin csoport dimenziója a két dimenzió összege.
Az n dimenziós euklideszi téren az Euklideszi metrikával vett affin csoport az Euklideszi csoport, és jele E(n). Ekkor ugye E(n)=O(n)∧T(n), és dimE(n)=n(n+1)/2. E(n)-et szokták még az n dimenziós euklideszi tér szimmetriacsoportjának is nevezni, mert a szemidirektszorzatból fakadóan minden irány és minden pont egyenrangú, hisz O(n) < E(n) és T(n) < E(n).
Hasonlóan definiálható a Poincaré-csoport, mely M\(TraditionalForm\`\^n\) szimmetriacsoportja az általánosított Euklideszi metrikával. Ezt P(n)-nel jelöljük. P(n)=O(P,n-P)∧T(n). dimP(n)=n(n+1)/2.

Galilei csoport

Ezt csak érdekességként, a relativitáselmélet Galilei-elvéhez. Elemei:
							t⟶t'=t + r      ez a része az időt transzformálja
				g(A , a , r , u):
							x⟶x'=Ax + ut + a
ahol A∈O(n),   u , a∈(ℝ^n) és r∈ℝ.

2.4. Csoporthatások és reprezentációk

A csoporthatásokat ugyanúgy értelmezzük, mint algebrában. A G csoport hat M-en, ha G minden g eleméhez hozzárendelhető egy φ: M⟶M-be menő függvény. Ezen függvények ugyanúgy csoportot alkotnak, mint G. Ezen hatás tulajdonságait ugyanúgy definiálhatjuk, mint algebrában:
fix pont- x fix pont, ha ∀ g∈G-re (Subscript[φ, g])(x)=x
effektív- ha csak (Subscript[φ, e]) hagy  ∀ elemet fixen, ahol e a G-geli egység
szabad- ha ∀ φ ∀ elemet fixen hagy
tranzitív-ha ∀ elemből ∀ elem elérhető

Egy G csoport reprezentációja G hatása egy V vektortéren lineáris transzformációkkal. Ezek után, ha nézzük az A: G⟶GL homomorfizmust, akkor a hatást mint mátrixokkal való szorzást kaptuk (mint ahogy a klasszikus csoportok hatnak az adott vektortéren). A(g) ekkor g mátrixreprezentációja, és D={A(g) : g∈G} pedig G mátrixreprezentációja. A reprezentáció unitér, ha egyértelmű. A reprezentáció dimenziója vagy foka V dimenziója. Két reprezentáció, D és D' ekvivalensek, ha ∃ P lineáris transzformácó, melyre A'(g)=(P^(-1))A(g) P ∀ g∈G.
Ha (Subscript[V, 1])altere V-nek, akkor (Subscript[V, 1]) invariáns G-re, ha A(g)x∈(Subscript[V, 1]) ∀ x∈(Subscript[V, 1])és ∀ g∈G.

3. Infinitezimális transzformációk

3.1. Egyparaméteres Lie-csoportokban

Nézzük egy egy-paraméteres Lie-csoport olyan transzformációkból álló reprezentációját, mely D⊂(ℝ^n)-en hat, és elemei az x'=φ(x , ε) transzformációk, ahol az ε paraméter egy 0-t tartalmazó nyílt intervallumban van. A csoportművelet a kompozíció, mely a ϕ(ε,η) függvénnyel van megadva, vagyis φ(φ(x,ε),η)=φ(x,ϕ(ε,η)).
Van egy igen erős tétel,amely azt mondja ki, hogy minden csoport átparaméterezhető úgy, hogy ϕ(ε,η) =ε + η legyen.
Most fejtsünk Taylor-sorba egy ilyen transzformációt.

Series[φ[x, ε], {ε, 0, 
        2}]

ξ(x):=Derivative[0, 1][φ][x, 0] vagyis ∂(φ/∂)ε(x,ε) (Subscript[| , ε = 
            0])
Ezek után már lehet definiálni az infinitezimális transzformációt: x'=x + εξ(x), ξ komponensei pedig az infinitezimálisok.
Tétel	Lie első alaptétele
A fent említett transzformációcsoportnak van olyan τ(ε) paraméterezése, hogy a csoport ekvivalens a következő elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerre vonatkozó kezdetiérték probléma megoldásaival :
										\(TraditionalForm\`dx'\/dτ\)=ξ(x')
ahol x'=x, ha τ=0.
Pontosabban ha
										τ(ε) =(∫_0^ε)Γ(ε')dε' 
ahol
						Γ(ε')=\(\(∂\(ϕ(a, 
                    b)\)\/∂b\)\( | \_\(\((a, 
                    b)\) = \((ε\^\(-1\), ε)\)\)\)\)							
és Γ(0)=1. (ε^(-1))most az inverz paramétert jelöli. Ekkor a csoport elemei a kezdeti érték probléma megoldásai:
										\(TraditionalForm\`dx'\/dE\)=Γ(ε)ξ(x')
										
Most nézzünk egy példát, hogy megértsük a tétel állítását:

Példa

φ[{x_, 
          y_}, ε_] := {(1 + ε) x, (1 + ε)^2 y}

h = Expand[φ[{x, y}, a]]

Factor[Expand[φ[h, b]]]

Expand[(1 + a) (1 + b) - 1]

Tehát a csoportművelet: ϕ(a,b)=a + b + ab.

ϕ[a_, b_] := a + b + a b

Solve[a + b + a b == 0, b]

Tehát az inverz -(a/(1 + a)).

inv[a_] := -a/(1 + a)

Γ[ε_] = 
      Simplify[D[ϕ[a, b], b] /. {a -> inv[ε], 
            b -> ε}]

ξ[{x_, y_}] = 
      D[φ[{x, 
              y}, ε], ε] /. ε -> 0

Ez alapján akkor az ehhez tartozó diffegyenletrendszer:  \(TraditionalForm\`dx'\/dE\)=Γ(ε)ξ(x'), ezt x-re és y-ra külön nézve: \(TraditionalForm\`dx'\/dE\)=(1/(1 + ε)) x  és \(TraditionalForm\`dy'\/dE\)=(1/(1 + ε))2 y  
A tétel szerint ennek a megoldásai pont csoport elemei lesznek egy másik perametrizációban.

τ[ε_] = 
      Integrate[Γ[ε'], {ε', 
          0, ε}, 
        Assumptions -> {ε ∈ 
              Reals, ε > -1}]

Tehát ε=e\(TraditionalForm\`\^τ\)-1, vagyis x'=e\(TraditionalForm\`\^τ\)x és y'=e\(TraditionalForm\`\^\(2  τ\)\)y. És így a csoportművelet valóban ϕ(a,b)=a + b lett.

3.2. r-paraméteres Lie-csoportokban

Ugyanezen dolgok definiálhatóak r-paraméteres Lie-csoportokra is. Ezek elemei:
 x'=φ(x , ε) , ahol most ε=((Subscript[ε, 1]),...,(Subscript[ε, r]))
 A csoportművelet pedig ekkor: ϕ(ε,δ)= ((Subscript[ϕ, 1])(ε,δ),..,(Subscript[ϕ, r])(ε,δ)), ahol δ szintén egy r hosszú vektor.
 r paraméter esetén már nem infinitezimális transzformációról, hanem infinitezimális mátrixról beszélünk, melyet Ξ jeöl, és ez egy r×n-es mátrix:
							 (Subscript[ξ, α j])(x):=\(TraditionalForm\`∂\(\(φ\_j\)(x, ε)\)\/∂ε\_α\) (Subscript[| , ε = 
            0])
Ekkor az előbbi esethez hasonlóan kimondható egy tétel:
Tétel
Lie első alaptétele r-paraméteres csoportra
Θ(ε) legyen a következő r×r-es mátrix:   (Subscript[Θ, α])β:=\(TraditionalForm\`∂\(\(ϕ\_β\)(ε, δ)\)\/∂δ\_α\) (Subscript[| , δ = 0])
ψ pedig legyen ennek az inverz mátrixa. Ekkor az r-paraméteres Lie-csoport a következő elsőrendű differenciálegyenletrendszer kezdeti érték problémájának megoldásaival egyezik meg:
						(({{∂((Subscript[(x'), 1])/δ)(Subscript[ε, 1]), \(∂\(x'\)\_2\/δε\_1\), ⋯, \(∂\(x'\)\_n\/δε\_1\)}, {∂((Subscript[(x'), 1])/δ)(Subscript[ε, 2]), \(∂\(x'\)\_2\/δε\_2\), ⋯, \(∂\(x'\)\_n\/δε\_2\)}, {⋮, ⋮, ⋯, ⋮}, {∂((Subscript[(x'), 1])/δ)(Subscript[ε, r]), \(∂\(x'\)\_2\/δε\_r\), ⋯, \(∂\(x'\)\_n\/δε\_r\)}}))=ψ (ε)Ξ(x')	
ahol x'=x ha ε=0.

4. Infinitezimális generátorok

4.1. Egyparaméteres Lie-csoportokban

Az egyparaméteres Lie-csoport transzformációreprezentációjának az infinitezimális generátora a következő operátor:
									Z≡Z(x):=ξ(x)·∇ 
ahol ∇ a gradiens operátor, vagyis ∇=((∂/∂)(Subscript[x, 1]),(∂/∂)(Subscript[x, 2]),...,(∂/∂)(Subscript[x, n])). Nyilván Z argumentuma minden esetben egy (ℝ^n)-en értelmezett függvény.
Tétel
Az egyparaméteres Lie transzformációcsoport elemei a következő alakba írhatóak:
							x'(x,ε)=(e^ε)Zx=(∑_0^∞)((ε^k)/(k!))(Z^k)x=x + εZx + ((ε^2)/(2!))Zx + O((ε^2))x
ahol (Z^k)a Z operátor k-szori kompozícióját jelöli. Ezt nevezik x' Lie-sorának. 
Tétel
Ha f végtelenszer differenciálható függvény, akkor f(x')=(e^ε)Zf(x)
							 		            
Tehát kétféleképp lehet a megfelelő parametrizációt megkeresni:
1. ahogy előbb csináltuk, a differenciálegyenletrendszeren keresztül,
2. az infinitezimális generátorok segítségével előállítani az elemek Lie-sorát.
Ez a két módszer ugyanarra vezet, tehát a másodikban kapott Lie-sorok az elsőben felállított diffegyenletrendszer megoldásait szolgáltatják.

4.2. r-paraméteres Lie-csoportokban

Itt minden paraméterhez tartozik egy infinitezimális generátor:
									(Subscript[Z, α]) := (∑_1^n)(Subscript[ξ, α])j(x)(∂/∂)(Subscript[x, j])
Tehát r számú generátor van, Z=((Subscript[Z, 1]),...,(Subscript[Z, r])).
És hasonlóan az előbbiekhez x'-nek ∃ Lie-sora: 
										x'=(∏_1^r)(e^((Subscript[ε, j]) (Subscript[Z, j])))x

5. Lie-algebrák

5.1. Általános definíció és példák

Def: A Lie-algebra egy F test feletti L vektorter, amelyen adott a [ , ] művelet, a Lie-zárójel akövetkező tulajdonságokkal:
	1. L zárt erre a műveletre nézve,
	2. bilineáris,
	3. antiszimmetrikus,
	4. fennáll a deriválási tulajdonság vagy Jacobi azonosság:	[ X , [ Y , Z ]] + [ Y , [ Z , X ]] + [ Z , [ X , Y ]]=0
L valós Lie-algebra, ha F=ℝ, és koplex, ha F=ℂ.
Most nézzünk néhány példát:

L=(ℝ^3), a Lie-zárójel pedig a vektoriális szorzás

A vektoriális szorzás ugye vektort ad eredményül, bilineáris és antiszimmetrikus. Az utolsó tulajdonság pedig :

Clear[a, b, c, d, e, f, g, h, i]

x = {a, b, c}; y = {d, e, f}; z = {g, h, i}; 
    Cross[x, Cross[y, z]] + Cross[y, Cross[z, x]] + 
      Cross[z, Cross[x, y]]

Tehát L valóban egy Lie-algebra. Ha a standard {(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3])} bázist nézzük, akkor ezekre:
 							 [(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2])]=(Subscript[e, 3]) 		[(Subscript[e, 3]),(Subscript[e, 1])]=(Subscript[e, 2])		[(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3])]=(Subscript[e, 1])

További Lie-algebrák

1. Az n×n-es mátrixok, ahol a Lie-zárójel: [A,B]:=AB - BA.
2. Ugyanezen Lie-zárójellel azok az n×n-es mátrixok, melyeknek a nyoma 0, hiszen: tr([A,B])=tr(AB - BA)=0.
3. Az n×n-es diagonális mátrixok is Lie-algebrát alkotnak erre a műveletre.
4. Egy a fizikában gyakran előforduló Lie-algebra: a 2n változós (C^∞) függvények, melyek változói ((Subscript[q, 1]),...,(Subscript[q, n]),(Subscript[p, 1]),...,(Subscript[p, n])), ahol a (Subscript[q, i])-k a helyet jelölik, (Subscript[p, i])-k pedig az általánosított  momentumokat. Itt a Lie-zárójel a Poisson- zárójel, vagyis [f,g]:=(∑_1^n)(∂(f/∂)(Subscript[q, i])∂(g/∂)(Subscript[p, i])-∂(f/∂)(Subscript[p, i])∂(g/∂)(Subscript[q, i]))

5.2. Lie-algebrák, mint  Lie-csoportok lokális reprezentációi

G legyen r dimenziós mátrix Lie-csoport, ahol A(ε) az identitás elemen áthaladó görbe. Nyilván ε=((Subscript[ε, 1]),...,(Subscript[ε, r])). Most ezt fejtsük sorba I=A(0) körül:

Series[A[ε], {ε, 0, 1}]

Ekkor	  X:=A'[0] =d(A/d)ε (Subscript[| , ε = 
            0]),  az A(ε) görbéhez húzott érintő vektor a 0 pontban. Ez a Lie-csoport infinitezimális generátora, csakúgy, mint előbb a Lie-transzformáció csoportoknál. 
Az összes ilyen X vektor vektorteret alkot. Ez az identitásban vett érintő vektortér egy r dimenziós Lie-algebra. Ezt nevezzük G lokális reprezentációjának. 
						L:={X=d(A/d)ε (Subscript[| , ε = 
            0]) : A(ε) egy görbe az identitás elemen keresztül}

Példák

Nézzük SO(3)-at.

Clear[x, y]

(Subscript[A, 1]) = {{1, 0, 0}, {0, 
          Cos[(Subscript[ε, 1])], -Sin[(Subscript[ε, 1])]}, {0, 
          Sin[(Subscript[ε, 1])], Cos[(Subscript[ε, 1])]}}; 
    A1[x_] = {{1, 0, 0}, {0, Cos[x], -Sin[x]}, {0, Sin[x], 
          Cos[x]}};
(Subscript[A, 2]) = {{Cos[(Subscript[ε, 2])], 0, Sin[(Subscript[ε, 2])]}, {0, 1, 
          0}, {-Sin[(Subscript[ε, 2])], 0, Cos[(Subscript[ε, 2])]}}; 
    A2[x_] = {{Cos[x], 0, Sin[x]}, {0, 1, 0}, {-Sin[x], 0, 
          Cos[x]}};
(Subscript[A, 3]) = {{Cos[(Subscript[ε, 3])], -Sin[(Subscript[ε, 3])], 
          0}, {Sin[(Subscript[ε, 3])], Cos[(Subscript[ε, 3])], 0}, {0, 0, 
          1}}; A3[x_] = {{Cos[x], -Sin[x], 0}, {Sin[x], Cos[x], 0}, {0, 
          0, 1}};
MatrixForm[(Subscript[A, 1])]
MatrixForm[(Subscript[A, 2])]
MatrixForm[(Subscript[A, 3])]

A1[0]
A2[0]
A3[0]

Tehát mindegyik átmegy az identitáson. Most nézzük meg az érintő vektoraikat:

X1 = D[A1[x], x] /. x -> 0
X2 = D[A2[x], x] /. x -> 0
X3 = D[A3[x], x] /. x -> 0

Írjuk meg erre a Lie-zárójelet:

liebracketSO3[x_, y_] := x . y - y . x

liebracketSO3[X1, X2]
liebracketSO3[X2, X3]
liebracketSO3[X3, X1]

Tehét láthatjuk, hogy [X1,X2]=X3, [X2,X3]=X1, [X3,X1]=X2, vagyis ugyanúgy, mint előbb. Tehát ezek már az SO(3)-hoz tartozó so(3) Lie-algebra bázisát alkotják.
Egyébként, ha megvannak a Lie-algebra generátorai, akkor a hozzá tartozó csoport elemeit, jelenleg SO(3) elemeit is visszakaphatjuk:
											(Subscript[A, j])=(e^((Subscript[ε, j]) (Subscript[X, j])))

További Lie-algebra reprezentációk

Ha veszünk egy általános r paraméteres Lie-csoportot, és annak r számú infinitezimális generátorát, akkor ezek a generátorok a következő Lie-zárójellel Lie-algebrát alkotnak:
			[(Subscript[Z, α]),(Subscript[Z, β])]f:=(Subscript[Z, α])((Subscript[Z, β])f) - (Subscript[Z, β])((Subscript[Z, α])f)		, ahol f egy (C^∞) függvény
A zártság, bilinearitás, antiszimmetria és a Jacobi-azonosság könnyen ellenőrizhető.

A továbbiakban legyen adva egy L Lie-algebra a következő generátorokkal:  {  (Subscript[Z, α]) :  α=1...r  }. Ekkor mivel L vektortér, ezért minden eleme kifejezhető egyértelműen a báziselemekkel, vagyis a következő elemek is:
									[(Subscript[Z, α]),(Subscript[Z, β])]=(∑_(γ = 1)^r)\(TraditionalForm\`C\_αβ\%γ\)(Subscript[Z, γ])
Ezeket az együtthatókat nevezzük a szerkezeti konstansoknak. 
Tétel 		Lie harmadik alaptétele
A szerkezeti konstansokra a következők igazak: 1. 	\(TraditionalForm\`C\_αβ\%γ\)= -\(TraditionalForm\`C\_βα\%γ\)				
						      2.         (∑_(ϱ = 1)^r)(\(TraditionalForm\`C\_αβ\%ϱ\)\(TraditionalForm\`C\_ϱγ\%δ\) + \(TraditionalForm\`C\_βγ\%ϱ\)\(TraditionalForm\`C\_ϱα\%δ\) + \(TraditionalForm\`C\_γα\%ϱ\)\(TraditionalForm\`C\_ϱβ\%δ\))=0	
Az első állítás triviálisan következik a Lie-zárójel antiszimmetriájából, a második állítás pedig a Jacobi azonosság egyenes következménye.
Például:
Nézzük E(2)-t. Ez egy 3 paramáteres Lie-csoport. Elemei φ:x⟶x'=Ax+a, ahol A∈O(2), x∈(ℝ^2). Visszanézve O(2) egy alkalmas paraméterezését, és x'=(f(x,y),g(y,y)) jelölést használva:

Clear[x, y]

f[x_, y_, α_, β_, γ_] := 
      Cos[α] x - Sin[α] y + β
g[x_, y_, α_, β_, γ_] := 
      Sin[α] x + Cos[α] y + γ

D[
        f[x, y, α, β, γ], α] /. {α -> 
          0, β -> 0, γ -> 0} 

    D[g[x, y, α, β, γ], α] /. {α -> 
          0, β -> 0, γ -> 0} 

    D[f[x, y, α, β, γ], β] /. {α -> 
          0, β -> 0, γ -> 0} 

    D[g[x, y, α, β, γ], β] /. {α -> 
          0, β -> 0, γ -> 0} 

    D[f[x, y, α, β, γ], γ] /. {α -> 
          0, β -> 0, γ -> 0} 

    D[g[x, y, α, β, γ], γ] /. {α -> 
          0, β -> 0, γ -> 0}

Vagyis ezek alapján E(2) infinitezimális generátorai: (Subscript[Z, 1])=-y (∂/∂)x+x (∂/∂)Y 	(Subscript[Z, 2])=(∂/∂)x	és (Subscript[Z, 3])=(∂/∂)y. 
Ezek után felírhatjuk e(2) (ez már itt Lie-elgebra) kommutátor tábláját. Egy r dimenziós Lie-algebránál ez egy r×r-es mátrix, ahol az ij-edik elem [(Subscript[Z, i]),(Subscript[Z, j])]. Ez most e(2) esetében a következőképp néz ki, ha kiszámolnánk az egyes elemeit a fejezet elején szereplő definícióval:

K:={{0, -(Subscript[Z, 3]), (Subscript[Z, 2])},{(Subscript[Z, 3]), 0, 0},{-(Subscript[Z, 2]),0,0}};MatrixForm[K]

6. Példák a fizikában

6.1. Egydimenziós hullámegyenlet

A parciális differenciálegyenletünk ez esetben a következő:

\(TraditionalForm\`∂\^2\ u\/∂\ x\_1\^2 = ∂\^2\ u\/∂\ x\_2\^2\)

Célunk olyan transzformációcsoportok keresése, amelyek invariánsan hagyják a differenciálegyenletünket. Ezután látjuk majd hogy ezeket a transzformációcsoportokat hogyan generálják inifinitezimális generátorok (Lie-szimmetria vektormezők), valamint hogy ezek hogyan alkotnak Lie-algebrát a kommutátorral. Ezután megadjuk a kommutátor táblát, s mutatunk egy kritériumot ezzel kapcsolatban annak eldöntésére, hogy egy adott Lie-algebra feloldható-e vagy sem. Esetünkben látni fogjuk, hogy a Lie-algebra feloldható lesz, s ez azt is jelenti hogy a hozzákapcsolodó differenciálegyenlet is megoldható szimbolikusan.

Nézzük most meg az O(1,1) pseudo-ortogonális csoportot, amivel már foglalkoztunk a 3.2. pontban. Ez egy-dimenziós, tehát parametrizálható a következőképpen:

F := {{Cosh[ε], -Sinh[ε]}, {-Sinh[ε], Cosh[ε]}}

MatrixForm[F]

ahol ε ∈ ℝ a csoport paramétere. Tudjuk hogy ha

Clear[a, b, u, v]

u := {a, b}

v := F . u

akkor ((Subscript[u, 1])^2) - ((Subscript[u, 2])^2) = ((Subscript[v, 1])^2) - ((Subscript[v, 2])^2). Ez következik abból, hogy a csoportunk pseudo-ortogonális, vagyis megőrzi a Lorentz-metrikát.

Simplify[
      u[[1]]^2 - 
        u[[2]]^2 - (v[[1]]^2 - v[[2]]^2)]

Azt kell ellenőriznünk, hogy a differenciálegyenletünk invariáns az F-fel való szorzásra, vagyishogy:

u'(x'(x))=u(x)

ahol x=((Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])), és  x'=((Subscript[(x'), 1]), (Subscript[(x'), 2])), valamint x'= F·x és u'(x,u,ε)=u.

Ekkor adódik hogy \(∂\(x'\)\_1\/∂x\_2 = \(-\(sinh(ε)\)\)\), ∂((Subscript[(x'), 1])/∂)(Subscript[x, 1]) = 
            cosh(ε), \(∂\(x'\)\_2\/∂x\_2 = \(-\(cosh(ε)\)\)\), \(∂\(x'\)\_2\/∂x\_1 = \(-\(sinh(ε)\)\)\), ami még segíteni fog. Ezt is ellenőrizhetjük:

Table[D[v[[i]], u[[j]]],  {i, 2}, {j, 2}]

Az invariancia belátásához látjuk hogy:

\(TraditionalForm\`∂u'\/∂x\_2 = \(\(∂u'\/∂\(x'\)\_1\) ∂\(x'\)\_1\/∂x\_2 + \(∂u'\/∂\(x'\)\_2\) ∂\(x'\)\_2\/∂x\_2 = ∂u\/∂x\_2\)\)

Amiből adódik hogy:

\(∂\^2 u'\/∂x\_2\^2 = \(\((\(∂\^2 
                              u'\/∂\(x'\)\_2\^2\) ∂\(x'\)\_1\/∂x\_2 + \(∂\^2 
                              u'\/\(∂\(x'\)\_1 ∂\(x'\)\_2\)\) ∂\(x'\)\_2\/∂x\_2)\) ∂\(x'\)\_1\/∂x\_2 + \((\(∂\^2 
                              u'\/∂\(x'\)\_2\^2\) ∂\(x'\)\_2\/∂x\_2 + \(∂\^2 
                              u'\/\(∂\(x'\)\_1 ∂\(x'\)\_2\)\) ∂\(x'\)\_1\/∂x\_2)\) ∂\(x'\)\_1\/∂x\_2 = ∂\^2 u\/∂x\_2\^2\)\)

Analóg módon adódik hogy \(TraditionalForm\`∂\^2 u'\/∂x\_1\^2 = ∂\^2 u\/∂x\_1\^2\).
Ezeket pedig ha behelyettesítjük a hullámegyenletbe, akkor adódik,  hogy egyenletünk invariáns a transzformációra, azaz

\(TraditionalForm\`∂\^2 u'\/∂\(x'\)\_2\^2 = ∂\^2 u'\/∂\(x'\)\_1\^2\).

Most pedig a transzformációcsoport generátorát keressük meg.
Esetünkben:

x'=φ(x,u, ε)
u'=ϕ(x, u, ε)

ahol

φ=((Subscript[φ, 1]), (Subscript[φ, 2]))
(Subscript[φ, 1])(x, u, ε)=\(\(x\_1\) \(cosh(ε)\) - \(x\_2\) \(sinh(ε)\)\)
(Subscript[φ, 2])(x, u, ε)=\(\(-x\_1\) \(sinh(ε)\) + \(x\_2\) \(cosh(ε)\)\)
ϕ(x, u, ε)=u

A 4. ill. 5. pontban tárgyalt infinitezimálisokat pedig a következőképp adjuk meg:

ξ(x, u)=((dφ)/(dε))\( | \_\(ε = 0\)\), η(x, u)=\(\(dϕ\/dε\)\( | \_\(ε = 0\)\)\)

Esetünkben φ kettő, ϕ pedig kettő komponensből áll, így:

(Subscript[ξ, 1])(x,u)=-(Subscript[x, 2]), (Subscript[ξ, 2])(x,u)=-(Subscript[x, 1]), η(x,u)=0

Az infinitezimális generátor, amit ebben a kontextusban Lie-szimmetria vektormezőnek is hívnak, így kapható meg:

Z=(∑_(j = 1)^m)(Subscript[ξ, j])(x, u)(∂/∂)(Subscript[x, j])+(∑_(i = 1)^n)(Subscript[η, i])(x, u)(∂/∂)(Subscript[u, i])

Így esetünkben a pseudo-ortogonális transzformációcsoport generátora a következő:

\(TraditionalForm\`Z\_1 = \(-x\_2\) ∂\/∂x\_1 - \(x\_1\) ∂\/∂x\_2\)

További 3 transzformáció található, amelyek invariánsan hagyják az egyenletet.
Első ilyen a nagyítás:

(Subscript[(x'), 1])(x, ε)=(e^ε) (Subscript[x, 1])
(Subscript[(x'), 2])(x, ε)=(e^ε) (Subscript[x, 2])
u'(x'(x), ε)=u(x)

Ekkor a csoport szimmetria vektormezeje a következő:

\(TraditionalForm\`Z\_2 = \(x\_1\) ∂\/∂x\_1 + \(x\_2\) ∂\/∂x\_2\)

Mivel az (Subscript[x, 1])és (Subscript[x, 2])független változók nem szerepelnek explicit módon a hullámegyenletben, ezért invariánsak a transzlációs csoportokra nézve:

(Subscript[(x'), 1])(x,u,ε)=(Subscript[x, 1]) + ε , 	(Subscript[(x'), 2])(x,u,ε)=(Subscript[x, 2]),	 u'(x,u,ε)=u

valamint

(Subscript[(x'), 1])(x,u,ε)=(Subscript[x, 1]) , 		(Subscript[(x'), 2])(x,u,ε)=(Subscript[x, 2]) + ε,	 u'(x,u,ε)=u

Ezek a transzformációk a következő Lie-szimmetria vektormezőkhöz tartoznak:

(Subscript[Z, 3]) = (∂/∂)(Subscript[x, 1]),	(Subscript[Z, 4]) = (∂/∂)(Subscript[x, 2])

Tehát azt állíthatjuk, hogy a hullámegyenlet a következő Lie-szimmetria vektormezőkre nézve invariáns. Ezek, mint látni fogjuk, a Lie-zárójellel együtt Lie-algebrát alkotnak.

Z = {(Subscript[Z, 1]), (Subscript[Z, 2]), (Subscript[Z, 3]), (Subscript[Z, 4])}

A Lie-zárójelek eredményei:

\(TraditionalForm\`\([∂\/∂x\_1, ∂\/∂x\_2]\) = 0\)
\(TraditionalForm\`\([∂\/∂x\_1, \(-x\_2\) ∂\/∂x\_1 - \(x\_1\) ∂\/∂x\_2]\) = \(-\(∂\/∂x\_2\)\)\)
\(TraditionalForm\`\([∂\/∂x\_2, \(-x\_2\) ∂\/∂x\_1 - \(x\_1\) ∂\/∂x\_2]\) = \(-\(∂\/∂x\_1\)\)\)
\(TraditionalForm\`\([\(x\_1\) ∂\/∂x\_1 + \(x\_2\) ∂\/∂x\_2, ∂\/∂x\_1]\) = \(-\(∂\/∂x\_1\)\)\)
\(TraditionalForm\`\([\(x\_1\) ∂\/∂x\_1 + \(x\_2\) ∂\/∂x\_2, ∂\/∂x\_2]\) = \(-\(∂\/∂x\_2\)\)\)
\(TraditionalForm\`\([\(-x\_2\) ∂\/∂x\_1 - \(x\_1\) ∂\/∂x\_2, \(x\_1\) ∂\/∂x\_1 + \(x\_2\) ∂\/∂x\_2]\) = 0\)

Ezekből, valamint a Lie-zárójel tulajdonságaiból felírható a Lie-algebra kommutátor táblája, amely nagyon sok információt tartalmaz az adott Lie-algebráról.

CommutatorTable = {{0, 0, (Subscript[Z, 4]), (Subscript[Z, 3])}, {0, 
            0, -(Subscript[Z, 3]), -(Subscript[Z, 4])}, {-(Subscript[Z, 4]), (Subscript[Z, 3]), 0, 0}, {-(Subscript[Z, 3]), 
            (Subscript[Z, 4]), 0, 0}} // MatrixForm

A kommutátortábla (i,j)-edik eleme megadja [(Subscript[Z, i]), (Subscript[Z, j])]értékét, ahol [, ] a Lie-zárójel. A Lie-zárójel definíciójából következik, hogy a kommutátortábla antiszimmetrikus mátrix lesz, s az átlóban csupa 0 található.

Definíció. A Lie-algebrából leszármaztatott elsőrendű Lie-algebra a következő:

(V^((1))) = [V, V]

A konstrukcióból adódik, hogy (V^((1)))ideál. Magasrendű leszármaztatott Lie-algebrákat pedig így definiálunk:

(V^((n + 1))) = [(V^((n))), 
        (V^((n)))]

A leszármaztatott Lie-algebrák segítenek rangsorolni az eredeti Lie-algebrát.

Definíció. Egy Lie-algebra feloldható, ha ∃ n, hogy (V^((n))) = 0.

Tétel. Ha egy Lie-algebra feloldható, akkor a hozzátartozó differenciálegyenlet megoldható.

Ez tehát egy erős tétel , ami sokat segít nekünk.
Nézzük meg konkrétan az egy-dimenziós hullámegyenletet, mostani példánkat. Ebben az esetben a kommutátortáblát, vagyis gyakorlatilag (V^((1)))-et, láthatjuk fentebb. Észrevehetjük, hogy (Subscript[Z, 1])és (Subscript[Z, 2])eltűnt, csak (Subscript[Z, 3])és (Subscript[Z, 4])maradt meg. Azt is láthatjuk, hogy a kommutátor jobb-alsó sarka csupa 0, így adódik hogy a következő lépésben már (V^((2))) = 0, tehát a Lie-algebra megoldható, azaz a differenciálegyenlet is.

6.2. Egydimenziós lineáris diffúzió egyenlet

Az egydimenziós lineáris diffúzióegyenlet a következő:

\(TraditionalForm\`∂u\/∂x\_2 = ∂\^2 u\/∂x\_1\^2\)

Ebben az esetben a Lie-szimmetria vektormezők a következők:

(Subscript[Z, 1]) = (∂/∂)(Subscript[x, 2])
(Subscript[Z, 2]) = (∂/∂)(Subscript[x, 1])
(Subscript[Z, 3]) = u (∂/∂)u
\(TraditionalForm\`Z\_4 = \(x\_2\) ∂\/∂x\_1 - \(1\/2\) \(x\_1\) u ∂\/∂u\)
(Subscript[Z, 5]) = (Subscript[x, 1]) (∂/∂)(Subscript[x, 1]) + 
          2  (Subscript[x, 2]) (∂/∂)(Subscript[x, 2])
\(TraditionalForm\`Z\_6 = \(x\_2\) \(x\_1\) ∂\/∂x\_1 + \(x\_2\^2\) ∂\/∂x\_2 - \((\(1\/4\) x\_1\^2 + \(1\/2\) x\_2)\) u ∂\/∂u\)

Mind a hat (Subscript[Z, i])egy olyan transzformációcsoport generátora, amelyre a differenciálegyenletünk invariáns.
Példaként megemlíthetjük a (Subscript[Z, 4])-hez tartozó transzformációcsoportot. A transzformáció a következő:

(Subscript[(x'), 2])(x,ε)=(Subscript[x, 2])
(Subscript[(x'), 1])(x,ε)=(Subscript[x, 2]) ε + (Subscript[x, 1])
u'(x'(x),ε)=u(x)exp(-(1/2)((1/2)(Subscript[x, 2])(ε^2)+(Subscript[x, 1]) ε)).

6.3. Stacionárius áramlás a hidrodinamikában

A következő parciális differenciálegyenletrendszer fontos szerepet játszik a hidrodinamikában:

\(TraditionalForm\`\(u\_1\) ∂u\_1\/∂x\_1 + \(u\_2\) ∂u\_1\/∂x\_2 + \(1\/ρ\) ∂p\/∂x\_1 = 0\)
\(TraditionalForm\`\(u\_1\) ∂u\_2\/∂x\_1 + \(u\_2\) ∂u\_2\/∂x\_2 + \(1\/ρ\) ∂p\/∂x\_2 = 0\)
\(TraditionalForm\`∂u\_1\/∂x\_1 + ∂u\_2\/∂x\_2 = 0\)

Ez az egyenletrendszer a stacionárius áramlást jellemzi az ((Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]))síkban, ahol a közeg sűrűsége állandó ρ, nyomása pedig p.
Első példánkhoz hasonlóan itt is megkereshetjük, hogy melyek azok a transzformációk amelyek invariánsan hagyják az egyenletrendszerünket.

Tekintsük az SO(2) csoportot, amellyel már megismerkedhettünk a 3. pontban. Erre a transzformációra tudjuk hogy teljesül hogy ((Subscript[x, 1])^2) + ((Subscript[x, 2])^2) = ((Subscript[(x'), 1])^2) + ((Subscript[(x'), 2])^2). A transzformációcsoportnak egy paramétere van, a forgatás szöge ε. A transzformáció megadható a következő mátrixxal való szorzással:

Clear[F]

F := {{Cos[ε], 
          Sin[ε]}, {-Sin[ε], 
          Cos[ε]}}

MatrixForm[F]

Ellenőrizhetjük a fenti állításunkat:

Clear[a, b, u, v]

u := {a, b}

v := F . u

Simplify[
      u[[1]]^2 + 
        u[[2]]^2 - (v[[1]]^2 + v[[2]]^2)]

Az első példánkhoz hasonlóan itt is belátható, hogy az egyenletrendszerünk invariáns a transzformációra. A Lie-szimmetria vektormező is hasonlóképpen megtalálható:

\(TraditionalForm\`Z\_1 = \(x\_2\) ∂\/∂x\_1 - \(x\_1\) ∂\/∂x\_2 + \(u\_2\) ∂\/∂u\_1 - \(u\_1\) ∂\/∂u\_2\).

Mivel a differenciálegyenletrendszerünk nem függ explicit módon az (Subscript[x, 1 ]) és (Subscript[x, 2])változóktól, ezért nyílván invariáns lesz az egyenletrendszerünk a két transzlációs csoportra, amiknek a generátorait már láttuk az első példánkban, hogy a következők:

(Subscript[Z, 2]) = (∂/∂)(Subscript[x, 1]),	(Subscript[Z, 3]) = (∂/∂)(Subscript[x, 2])

Továbbá megmutatható, hogy a nagyítás is invariánsan hagyja egyenletrendszerünket, ez a transzformációcsoport a következő Lie szimmetria vektormezőhöz tartozik:

\(TraditionalForm\`Z\_4 = \(-x\_1\) ∂\/∂x\_1 - \(x\_2\) ∂\/∂x\_2 + \(u\_1\) ∂\/∂u\_1 + \(u\_2\) ∂\/∂u\_2\).

A Lie-szimmetria vektormezők {(Subscript[Z, 1]), (Subscript[Z, 2]), (Subscript[Z, 3]), (Subscript[Z, 4])} négy dimenziós Lie-algebrát alkotnak.

7. Összefoglalás

Dolgozatunkban tehát a Lie-algebrákba adtunk betekintést. Megismerkedtunk a Lie-csoportokkal, valamint ezek számos csoportreprezentációjával. Bevezetésre kerultek az infinitezimális transzformáciok és az infinitezimális generátorok, valamint ezek segitségével a Lie-algebrákra is rátértünk, s megvizsgáltuk a kapcsolatukat a Lie-csoportokkal.
	Dolgozatunk végén alkalmazási példákat néztunk. A Lie-algebrák parciális differenciálegyenletek megoldásánál nagy segitséget tudnak nyujtani. A fizikában sok ilyen differenciálegyenlet található, igy onnan vettünk példákat.
	Dolgozatunk mindössze betekintést nyujt a temába - további dolgozatok témája lehet a Lie-algebrák mélyebb megvizsgálása, mélyebb kapcsolatuk a differenciálegyenletekkel. A reprezentációelmélettel való szoros kapcsolatot is lehet tanulmányozni. Tehat megállapithatjuk, hogy a téma meg nyitott és nagyon sok lehetoséget rejt magában.

8. Irodalomjegyzék

1. Norbert Euler/ Willi-Hans Steeb: Continuous symmetries, Lie algebras and differential equattions
2. Peter J. Olver: Applications of Lie groups to differential equations
3. Orai jegyzet