Quit[];

Párképződési modellek

Farkas Miklós: Dynamical models in biology (Academic Press 2001), 69. old.

A modell

x'[t]==(Subscript[κ, x])-(Subscript[μ, x])x[t]+((Subscript[μ, y])+σ)p[t]-φ[x[t],y[t]];
y'[t]==(Subscript[κ, y])-(Subscript[μ, y])y[t]+((Subscript[μ, x])+σ)p[t]-φ[x[t],y[t]];p'[t]==-((Subscript[μ, x])+(Subscript[μ, y])+σ)p[t]+φ[x[t],y[t]];

Jelölések

ahol:

x(t) az egyedülálló nők sűrűsége t időpontban,

y(t) az egyedülálló férfiak sűrűsége t időpontban,

p(t) a párok sűrűsége t időpontban,

(Subscript[κ, x])>0 a nők növekedés rátája,

(Subscript[κ, y])>0 a férfiak növekedés rátája,

(Subscript[μ, x])>0 a nők mortalitása,

(Subscript[μ, y])>0 a férfiak mortalitása,

σ>0 a válási ráta,

φ a párképződési (házasodási vagy marriage) függvény, kifejezi a egyedülállók (szinglik) számának fogyását, ami megegyezik a párok számának szaporodásával.

Természetes feltevések a párképződési függvényre

φ(x,y)≥0, ha x,y≥0,

φ(x,0)=φ(0,y)=0, ha x,y≥0 (ha másik nembéli nincs, akkor nem lehet párt találni),

(∂_1)φ(x,y),(∂_2)φ(x,y)≥0, ha x,y≥0 (ha nő az egyedülállók száma, akkor nem csökken a párok száma),

φ(x,y)=φ(y,x), ha x,y≥0 (szimmetrikus a két nem szerepe),

φ(α x,α y)=α φ(x,y), ha x,y≥0 (φ elsőfokú homogén függvény, ha az egyedülálló nők és férfiak száma egyaránt α-szorosára nő, akkor a pároké is),

Példa

φ(x,y):=ρ min(x,y)={({{ρ x,, ha, {0≤x≤y}=:(Subscript[K, y])}, {ρ y,, ha, {0≤y≤x}=:(Subscript[K, x])}})    (ρ>0)

Plot3D[2Min[x,y],{x,0,5},{y,0,5},AxesLabel->{x,y},PlotLabel->Style["min(x,y)","Subsection"],Boxed->False,ColorFunction->Hue,PlotStyle->Directive[Orange,Specularity[White,20]]]

AbsoluteOptions[%,ViewPoint]

További feltételek

(Subscript[κ, x])≥(Subscript[κ, y]) és (Subscript[μ, x])≤ (Subscript[μ, y]), azaz a nők száma gyorsabban nő, és a mortalitásuk alacsonyabb. Ezt ellensúlyozza az úgynevezett férfi dominancia, vagyis az a tény, hogy ők vannak kevesebben, és ők a meghatározók.

Megjegyzés

A (Subscript[K, x]) halmaz  fenti feltételek mellett pozitív invariáns halmaz.

A férfidominancia modellje

x'[t]==(Subscript[κ, x])-(Subscript[μ, x])x[t]+((Subscript[μ, y])+σ)p[t]-ρ y[t];
y'[t]==(Subscript[κ, y])-((Subscript[μ, y])+ρ)y[t]+((Subscript[μ, x])+σ)p[t];p'[t]==ρ y[t]-((Subscript[μ, x])+(Subscript[μ, y])+σ)p[t];
((x,y)∈(Subscript[K, x]); p≥ 0)

Egyensúlyi helyzetek (stacionárius pontok)

stac=Solve[{0==(Subscript[κ, x])-(Subscript[μ, x])X+((Subscript[μ, y])+σ)P-ρ Y,
0==(Subscript[κ, y])-((Subscript[μ, y])+ρ)Y+((Subscript[μ, x])+σ)P,0==ρ Y-((Subscript[μ, x])+(Subscript[μ, y])+σ)P},{X,Y,P}][[1]]

A nők és férfiak száma egyensúlyban:

n=X+P/.stac

f=Y+P/.stac//Simplify

Stabilitás

Itt n≥ f. Megmutatható, hogy az egyensúlyi helyzet aszimptotikusan stabilis, sőt globálisan aszimptotikusan stabilis a (Subscript[K, x])×(SuperPlus[ℝ]) halmazban.

A modellben szereplő jellemzők

(1/((Subscript[μ, x])+(Subscript[μ, y])+σ)) egy pár átlagos élettartama

(1/(Subscript[μ, x])) egy aktív nő átlagos élettartama

(1/(Subscript[μ, y])) egy aktív férfi átlagos élettartama

(1/ρ) a partnerkeresés átlagos időtartama

(1/ρ)+(1/((Subscript[μ, x])+(Subscript[μ, y])+σ))=(((Subscript[μ, x])+(Subscript[μ, y])+σ+ρ)/(ρ((Subscript[μ, x])+(Subscript[μ, y])+σ))) a partnerkereséssel és a párral együtt eltöltött idő

egy nő átlagos partnerszáma a férfiéhoz úgy aránylik, mint élettartamuk aránya, egyensúlyi számukkal pedig fordítottan arányos: ((Subscript[N, x])/(Subscript[N, y]))=((1/(Subscript[μ, x]))/(1/(Subscript[μ, y]))).(f/n)=((Subscript[κ, y])/(Subscript[κ, x]))≤ 1⟹(Subscript[N, x])≤ (Subscript[N, y]).

A modell előnyei

Erre a párképződési modellre rá lehet építeni egy szexuális úton terjedő betegség modelljét (ami már 8 dimenziós lesz).

A modell hátrányai

Egy férfiből és egy nőből álló párt mindaddig egy párnak tekintünk, amíg közöttük szexuális kapcsolat van, és egyikük sem létesít szexuális kapcsolatot mással. Ha ez utóbbi megesik, azt válásnak tekintjük. Ez a valóságban nem mindig van így.

A korstruktúra még nincs figyelembe véve, pedig a betegségek terjedése szempontjából fontos szexuális aktivitás függ a kortól. Ráadásul a populációnak van nem monogám, és szexuálisan aktív része is.

Valójában a növekedési ráták nem állnadók, hanem függnek a párok számától.

Hivatkozás

Dietz, K.; Hadeler, K. P.: Epidemiological models for sexually transmitted diseases, J.Math. Biol. 26 (1988), 1-25.