Quit[];

n-dimenziós Lotka–Volterra-rendszerek osztályozása

Farkas Miklós: Dynamical models in biology (Academic Press 2001), 38. old.

A modell

ClearAll[eq,i,j,n,ini];eq[i_,n_]:=(Subscript[x, i])'[t]== (Subscript[x, i])[t]((Subscript[r, i])-(∑_(k=1)^n)(Subscript[a, ik])(Subscript[x, k])[t]);
ini[i_]:=(Subscript[x, i])[0]==(Subscript[x0, i]);

(Subscript[x, i])'(t)=(Subscript[x, i])(t)((Subscript[r, i])-(∑_(k=1)^n)(Subscript[a, ik])(Subscript[x, k])(t))

Jelölések

ahol:

(Subscript[r, i]) a i-edik faj belső növekedési rátája (i=1,2,...,n)

A:=[(Subscript[a, ik])] a közösségi mátrix

(Subscript[a, ii])≥0  az intraspecifikus verseny állandói

1. osztályozás

ragadozó-zsákmány modell: ∀i≠k: (Subscript[a, ik])(Subscript[a, ki])≤0

kompetíció: ∀i≠k: (Subscript[a, ik])>0

kooperáció (szimbiózis): ∀i≠k: (Subscript[a, ik])<0

2. osztályozás

Tegyük fel, hogy létezik pozitív egyensúlyi helyzet, azaz létezik az A x=r egyenletnek (OverBar[x])>0 megoldása.

Definíció

Azt mondjuk, hogy az (1) rendszer konzervatív, ha

∃ (Subscript[α, i])>0 ∀x: F((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),...,(Subscript[x, n])):=(∑_(i,k=1)^n)(Subscript[α, i])(Subscript[a, i k])(Subscript[x, i])(Subscript[x, k])=0,

és azt mondjuk, hogy az (1) rendszer disszipatív, ha

∃ (Subscript[α, i])>0 ∀x: F((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),...,(Subscript[x, n])):=(∑_(i,k=1)^n)(Subscript[α, i])(Subscript[a, i k])(Subscript[x, i])(Subscript[x, k])>0.

Magyarázat

V((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),...,(Subscript[x, n])):=(∑_(i=1)^n)(Subscript[α, i])(Subscript[x, i]) a teljes biomassza, és ennek az (1) rendszer szerinti deriváltja

(Subscript[(OverDot[V]), (1)])((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),...,(Subscript[x, n])):=(∑_(i=1)^n)(Subscript[α, i])(Subscript[r, i])(Subscript[x, i])-F(x).

Konzervatív rendszer esetén  ∀i (Subscript[a, i i])=0 és (Subscript[α, i])(Subscript[a, i k])+(Subscript[α, k])(Subscript[a, k i])=0, tehát (Subscript[a, i k])(Subscript[a, k i])≤0, vagyis csak ragadozó-zsákmány modell lehet konzervatív.

F(x)=0 azt jelenti, hogy a zsákmányfaj biomasszája veszteség nélkül átalakul a ragadozófaj biomasszájává.

Ljapunov-függvény

Legyen

G((Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),...,(Subscript[x, n])):=(∑_(i=1)^n)(Subscript[α, i])((Subscript[x, i])-(OverBar[(Subscript[x, i])])-(OverBar[(Subscript[x, i])])ln(((Subscript[x, i])/(OverBar[(Subscript[x, i])]))))

Akkor

G((OverBar[x]))=0 és ∀x≠(OverBar[x]):G(x)>0, továbbá

(Subscript[(OverDot[G]), (1)])(x)=-F(x-(OverBar[x]))

Azaz konzervatív rendszerre ∀x:(Subscript[(OverDot[G]), (1)])(x)=0, tehát (OverBar[x]) Ljapunov-értelemben stabilis egyensúlyi helyzet;
disszipatív rendszerre pedig, mivel ∀x≠(OverBar[x]):(Subscript[(OverDot[G]), (1)])(x)<0, tehát (OverBar[x]) Ljapunov-értelemben aszimptotikusan stabilis, sőt globálisan aszimptotikusan stabilis egyensúlyi helyzet

Megjegyzés

Tápláléklánc nincs figyelembe véve.

Megjegyzés

A fentiek általánosíthatók Kolmogorov–rendszerekre:

(Subscript[x, i])'(t)=(Subscript[x, i])(t)(Subscript[f, i])((Subscript[x, 1])(t),...,(Subscript[x, n])(t))

Az A mátrix szerepét [((∂(Subscript[f, i]))/(∂ (Subscript[x, k])))((OverBar[x]))] veszi át.

ragadozó-zsákmány modell: ∀i≠k: ((∂(Subscript[f, i]))/(∂ (Subscript[x, k])))((OverBar[x]))((∂(Subscript[f, k]))/(∂ (Subscript[x, i])))((OverBar[x]))≤0

kompetíció: ∀i≠k: ((∂(Subscript[f, i]))/(∂ (Subscript[x, k])))((OverBar[x]))>0

kooperáció (szimbiózis): ∀i≠k: ((∂(Subscript[f, i]))/(∂ (Subscript[x, k])))((OverBar[x]))<0