Quit[];

Nemi úton terjedő betegségek

Farkas Miklós: Dynamical models in biology (Academic Press 2001), 67. old.

Alapfeltevések

A populációt két részre osztjuk: férfiak (1) és nők (2) . Feltesszük, hogy a betegség az egyik csoportról a másikra terjed.

Nincs immunitás. (Ez az SIS modell.)

A szexuálisan aktív férfi és női férfi populáció létszáma állandó: (Subscript[S, 1])(t)+(Subscript[I, 1])(t)=(Subscript[N, 1]),(Subscript[S, 2])(t)+(Subscript[I, 2])(t)=(Subscript[N, 2]).

A modell

(Subscript[S, 1])'[t]==-(Subscript[r, 1])(Subscript[S, 1])[t](Subscript[I, 2])[t]+(Subscript[a, 1])(Subscript[I, 1])[t];
(Subscript[S, 2])'[t]==-(Subscript[r, 2])(Subscript[S, 2])[t](Subscript[I, 1])[t]+(Subscript[a, 2])(Subscript[I, 2])[t];
(Subscript[I, 1])'[t]==+(Subscript[r, 1])(Subscript[S, 1])[t](Subscript[I, 2])[t]-(Subscript[a, 1])(Subscript[I, 1])[t];(Subscript[I, 2])'[t]==+(Subscript[r, 2])(Subscript[S, 2])[t](Subscript[I, 1])[t]-(Subscript[a, 2])(Subscript[I, 1])[t];

Jelölések

ahol:

(Subscript[S, i])(t) a fertőzésnek kitett férfi, illetve női populáció létszáma a t időpontban (i=1,2),

(Subscript[I, i])(t) a fertőzött férfi, illetve női populáció létszáma a t időpontban  (i=1,2),

(Subscript[r, i])>0 a fertőzési ráta (i=1,2),

(Subscript[a, i])>0 a felgyógyulási ráta (i=1,2).

A betegségre redukált modell

Felhasználva a férfi és női populáció állandóságára vonatkozó alapfeltevést a modellt kétdimenziósra redukálhatjuk, például így:

(Subscript[I, 1])'[t]==+(Subscript[r, 1])((Subscript[N, 1])-(Subscript[I, 1])[t])(Subscript[I, 2])[t]-(Subscript[a, 1])(Subscript[I, 1])[t];(Subscript[I, 2])'[t]==+(Subscript[r, 2])((Subscript[N, 2])-(Subscript[I, 2])[t])(Subscript[I, 1])[t]-(Subscript[a, 2])(Subscript[I, 1])[t];

Az első síknegyed a modell pozitív invariáns halmaza.

Egyensúlyi helyzetek (stacionárius pontok)

stac=Solve[{0==(Subscript[r, 1])((Subscript[N, 1])-I1)I2-(Subscript[a, 1])I1,0==(Subscript[r, 2])((Subscript[N, 2])-I2)I1-(Subscript[a, 2])I2},{I1,I2}]

{(Subscript[(OverBar[I]), 1]),(Subscript[(OverBar[I]), 2])}={I1,I2}/.stac[[2]]/.{(Subscript[a, 1])->(Subscript[r, 1])(Subscript[ρ, 1]),(Subscript[a, 2])->(Subscript[r, 2])(Subscript[ρ, 2])}//Simplify

Ez pontosan akkor belső pontja az első síknegyednek, ha ((Subscript[N, 1])/(Subscript[ρ, 1]))((Subscript[N, 2])/(Subscript[ρ, 2]))=(((Subscript[N, 1])(Subscript[r, 1]))/(Subscript[a, 2]))(((Subscript[N, 2])(Subscript[r, 2]))/(Subscript[a, 1]))>1, azaz ha egy fertőzött az ő fertőzési periódusa alatt egynél több másik neműt fertőz meg. Indoklás:

(Subscript[a, 2]) az időegység alatt felgyógyuló nők száma,

(1/(Subscript[a, 2])) egy nő ennyi idő alatt gyógyul meg (egy nő fertőzési periódusa),

(Subscript[N, 1])((Subscript[r, 1])/(Subscript[a, 2])) azoknak a férfiaknak az átlagos száma, akikkel egy fertőzött nő kapcsolatba kerül, és akiket megfertőz az ő (1/(Subscript[a, 2])) fertőzési ideje alatt ((Subscript[N, 1])-et (Subscript[S, 1])-gyel kellene helyettesíteni, de ha  a járvány nem túl széleskörű, akkor a különbség csekély.

(Subscript[N, 2])((Subscript[r, 2])/(Subscript[a, 1])) jelentése hasonló.

Valós adatok

A modellt illesztették valós adatokra (USA, 1973), és ezeket kapták:

(Subscript[r, 1])=1.4 (10^(-8))/hónap,

(Subscript[r, 2])=3.8 (10^(-8))/hónap,

(1/(Subscript[a, 1]))=1.5 hónap,

(1/(Subscript[a, 2]))=3.5hónap ,

(Subscript[I, 1])(0)=1.01 (10^6) a fertőző férfiak száma kezdetben,

(Subscript[I, 2])(0)=1.14 (10^6) a fertőző férfiak száma kezdetben,

(Subscript[N, 1])=(Subscript[N, 2])=20 (10^6).

Egyensúlyi helyzetek (vagy stacionárius pontok)

Ekkor tehát

(belsostac={I1,I2}/.stac[[2]]/.{(Subscript[a, 1])->(1/1.5),(Subscript[a, 2])->(1/3.5),(Subscript[r, 1])->1.4 (10^(-8)),(Subscript[r, 2])->3.8 (10^(-8)),(Subscript[N, 1])->20 (10^6),(Subscript[N, 2])->20 (10^6)})//AccountingForm

(((Subscript[N, 1])(Subscript[r, 1]))/(Subscript[a, 2]))(((Subscript[N, 2])(Subscript[r, 2]))/(Subscript[a, 1]))/.{(Subscript[a, 1])->(1/1.5),(Subscript[a, 2])->(1/3.5),(Subscript[r, 1])->1.4 (10^(-8)),(Subscript[r, 2])->3.8 (10^(-8)),(Subscript[N, 1])->20 (10^6),(Subscript[N, 2])->20 (10^6)}

Mikor lesz ez a kifejezés kisebb, mint 1?

Reduce[{((((Subscript[N, 1])(Subscript[r, 1]))/(Subscript[a, 2]))(((Subscript[N, 2])(Subscript[r, 2]))/(Subscript[a, 1]))/.{(Subscript[a, 1])->(1/1.5),(Subscript[r, 1])->1.4 (10^(-8)),(Subscript[r, 2])->3.8 (10^(-8)),(Subscript[N, 1])->20 (10^6),(Subscript[N, 2])->20 (10^6)})<1,(Subscript[a, 2])>0}]//Quiet

A védekezés legolcsóbb módja tehát elérni, hogy (1/(Subscript[a, 2]))<(1/(0.3192`))=3.13 legyen.

Stabilitásuk

Ha (((Subscript[N, 1])(Subscript[r, 1]))/(Subscript[a, 2]))(((Subscript[N, 2])(Subscript[r, 2]))/(Subscript[a, 1]))<1, akkor az origó, ha (((Subscript[N, 1])(Subscript[r, 1]))/(Subscript[a, 2]))(((Subscript[N, 2])(Subscript[r, 2]))/(Subscript[a, 1]))>1, akkor a pozitív egyensúlyi helyzet aszimptotikusan stabilis.

stac[[2]]

Grafikonok a valós esetben

StreamPlot[{(Subscript[r, 1])((Subscript[N, 1])-I1)I2-(Subscript[a, 1])I1,(Subscript[r, 2])((Subscript[N, 2])-I2)I1-(Subscript[a, 2])I2}/.{(Subscript[a, 1])->(1/1.5),(Subscript[a, 2])->(1/3.5),(Subscript[r, 1])->1.4 (10^(-8)),(Subscript[r, 2])->3.8 (10^(-8)),(Subscript[N, 1])->20 (10^6),(Subscript[N, 2])->20 (10^6)},{I1,3 (10^5),1.5 (10^6)},{I2,3 (10^5),2.5 (10^6)},Epilog->First@Graphics[{PointSize[Large],Red,Point[belsostac]}]]

nds:=NDSolve[{(Subscript[I, 1])'[t]==+(Subscript[r, 1])((Subscript[N, 1])-(Subscript[I, 1])[t])(Subscript[I, 2])[t]-(Subscript[a, 1])(Subscript[I, 1])[t],(Subscript[I, 2])'[t]==+(Subscript[r, 2])((Subscript[N, 2])-(Subscript[I, 2])[t])(Subscript[I, 1])[t]-(Subscript[a, 2])(Subscript[I, 1])[t],(Subscript[I, 1])[0]==1.01 (10^6),(Subscript[I, 2])[0]==1.14 (10^6)}/.{(Subscript[a, 1])->(1/1.5),(Subscript[a, 2])->(1/3.5),(Subscript[r, 1])->1.4 (10^(-8)),(Subscript[r, 2])->3.8 (10^(-8)),(Subscript[N, 1])->20 (10^6),(Subscript[N, 2])->20 (10^6)},{(Subscript[I, 1]),(Subscript[I, 2])},{t,0,60}][[1]]

Plot[Evaluate[{(Subscript[I, 1])[t],(Subscript[I, 2])[t]}/.nds],{t,0,60},PlotStyle->{Directive[{Thick,Blue}],Directive[{Thick,Red}]},AxesLabel->{t,Row[{Style[(Subscript[I, 1])[t],Blue],"  ",Style[(Subscript[I, 2])[t],Red]}]},Epilog->{Text[Style["fertőző férfiak",Blue,16],{50,2 (10^6)}],Text[Style["fertőző nők",Red,16],{50,1 (10^7)}]}]

Érdekességek

A fertőző férfiak létszáma nem monoton nővő. Tanulmányozzuk (akár numerikusan), hogy ez mindig így van-e, ha nem, mi a monotonitás feltétele.

A modell előnyei

Alkalmas például a gonorrhea modellezésére, ami penicillinnel gyógyítható, és a felgyógyulás nem ad védettséget.

A modell hátrányai

Ha az AIDS-et halálosnak tekintjük, akkor annak modellezésére nem alkalmas.

Mindenki egyenlő eséllyel éritnkezik bármelyik partnerrel. Ez emberi populációban nyilván nem teljesül. Ennek figyelembevételéhez kellenek az úgynevezett párképződési modellek.

Hivatkozások

Capasso, V.: Mathematical structures of epidemic systems, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1993.