Quit[];

A Malthus-féle folytonos idejű, folytonos állapotterű modell

Farkas Miklós: Dynamical models in biology (Academic Press 2001), 18. old.

A modell

eq=Ν'[t]==r Ν[t];ini=Ν[0]==Ν0;

Jelölések

ahol:

N(t) a populáció létszáma a t időpontban

r>0 az úgynevezett belső növekedési ráta (azaz születési és a halálozási ráta különbsége)

Megoldása

ds=DSolve[{eq,ini},Ν,t]//FullSimplify;ds[[1,1,2]][t]

Grafikonok

Rögzített paraméterek mellett

Plot[ds[[1,1,2]][t]/.{Ν0->200,r->1.1},{t,0,3},PlotLabel->Style[Ν[t]/.ds[[1,1]]/.Ν0->(Subscript[Ν, 0]),Italic],AxesLabel->{t,Style["Ν(t)",Italic]}]

A belső növekedési ráták legkisebb különbsége is végtelenhez tartó eltérést okoz két faj létszámában:

Plot[Evaluate[Subtract@@((ds[[1,1,2]][t]/.{Ν0->200,r->#})&/@{1.03,1.01})],{t,0,5},PlotLabel->TraditionalForm[(Subscript[Ν, 0])(E^(1.03t))-(Subscript[Ν, 0])(E^(1.01t))],AxesLabel->{t,Style["ΔΝ(t)",Italic]}]

Változtatható paraméterek mellett

Manipulate[Plot[Evaluate[Ν[t]/.First[NDSolve[ {Ν'[t]==r Ν[t],Ν[0]==Ν0},Ν,{t,0,4}]]],{t,0,3},PlotRange->{0,1000},PlotLabel->Style["(Subscript[Ν, 0])\!\(\*SuperscriptBox[\(E\), \(r\\ t\)]\)",Italic],AxesLabel->{t,Style["Ν(t)",Italic]}],
{{Ν0,2,Style[(Subscript[Ν, 0]),Italic]},0,300},
{{r,3,Style[r,Italic]},0,4},SaveDefinitions->True]

Mennyi idő szükséges a populáció megdupázódásához?

sol=Solve[Simplify[((ds[[1,1,2]][t+T])/(ds[[1,1,2]][t]))]==2,T][[1,1]]//Quiet

A kettőződési idő független attól, hogy mikor mérjük, és attól is, hogy mennyi volt a kezdeti létszám, hasonlóan a diszkrét idejű modellhez.

Ha r értéke kicsi, akkor 100r nagyjából az éves növekedési arány százalékban:

Series[(E^r),{r,0,1}]//Normal

Érvényes a 70 éves szabály: 1%-os növekedés 70 éves kettőződési időnek felel meg:

sol/.{r->0.01}

A modell előnyei

N(t)>0, ha (Subscript[N, 0])>0

a populáció létszáma szigorúan monoton növekszik

egyszerűen használható

A modell hátrányai

a populáció létszáma folytonosan változik, tehát csak nagy populációlétszámok esetén használható

a populáció létszáma minden határon túl növekszik, ha t→+∞

a modell deteminisztikus

A Mathematica használata során felmerült problémák és megoldásuk

Indexes változó nem lehet a kezdeti feltételben

A Manipulate parancs csak azokat a paramétereket tudja változtatni, amelyeket expliciten szerepeltetünk.

Mivel az N betű egy beépített függvény neve, ezért a nagy görög nű betűt használtuk, amit Esc N Esc billentyűsorral lehet bevinni.

Hivatkozások

Farkas Miklós: Malthus két évszázad elteltével, Eszmélet 60 (2003 tél), 107–118.

Hyperlink["MalthusFM","http://www.freeweb.hu/eszmelet/60/farkas60.html"]

Hyperlink["MalthusWiki","http://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_malthus"]