Quit[];

Korstruktúra diszkrét idejű modellekben

Farkas Miklós: Dynamical models in biology (Academic Press 2001), 12. old.

A modell

(Subscript[x, 1])[t+1]==(∑_(i=1)^n)(Subscript[b, i])(Subscript[x, i])[t];
(Subscript[x, i+1])[t+1]==(Subscript[s, i])(Subscript[x, i])[t]/;1≤i≤n-1;
(Subscript[x, 1])[0]==(Subscript[x, 1]^0);(Subscript[x, i])[0]==(Subscript[x, i]^0);/;2≤i≤n;

A modell vektoros alakban

x(t+1)=L x(t)=(({{(Subscript[b, 1]), (Subscript[b, 2]), (Subscript[b, 3]), ..., (Subscript[b, n-1]), (Subscript[b, n])}, {(Subscript[s, 1]), 0, 0, ..., 0, 0}, {0, (Subscript[s, 2]), 0, ..., 0, 0}, {., ., ., ..., ., .}, {., ., ., ..., ., .}, {0, 0, 0, ..., (Subscript[s, n-1]), 0}}))(({{(Subscript[x, 1])(t)}, {(Subscript[x, 2])(t)}, {.}, {.}, {.}, {(Subscript[x, n])(t)}}))=(({{(∑_(i=1)^n)(Subscript[b, i])(Subscript[x, i])(t)}, {(Subscript[s, 1])(Subscript[x, 1])(t)}, {(Subscript[s, 2])(Subscript[x, 2])(t)}, {.}, {.}, {(Subscript[s, n-1])(Subscript[x, n-1])(t)}}))
x(0)=(x^0)

ahol

L az úgynevezett Leslie-mátrix

Jelölések

ahol:

(Subscript[b, i])>0 az i-edik korcsoport fertilitása vagy termékenységi rátája (ami azt jelenti, hogy egy i-beli egyed (Subscript[b, i]) %-ban járul hozzá az újszülöttek számához)

0<(Subscript[s, i])≤1 a túlélési ráta

(Subscript[x, i])(t) az i-edik korcsoportba tartozó egyedek száma. Speciálisan, (Subscript[x, 1])(0) az újszülöttek száma

Kiegészítő magyarázat

(Subscript[b, i])(Subscript[x, i])(t) megadja azoknak az újszülötteknek a számát, akik az i korú egyedek gyermekei

(Subscript[x, 1])(t+1)  az összes újszülött száma a t időpontban

A Leslie-mátrix tulajdonságai

elemei nem negatívak (alkalmazható Perron és Frobenius tétele)

Hyperlink["Perron és Frobenius tétele","http://en.wikipedia.org/wiki/Perron%E2%80%93Frobenius_theorem"]

det(L)=(((-1))^n)(Subscript[b, n])(Subscript[s, 1])...(Subscript[s, n-1])≠0

szokásosan azt is feltesszük, hogy sajátértékei ((Subscript[λ, 1]),(Subscript[λ, 2]),... ,(Subscript[λ, n])) különbözőek (tehát a hozzájuk tartozó (Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),...,(Subscript[u, n]) sajátvektorok is különbözőek)

A modell viselkedése

Ezt a Leslie-mátrix spektrális tulajdonságai határozzák meg. Legyen (Subscript[λ, 1])>0  a maximális abszolút értékű sajátérték.

(Subscript[λ, 1])>1 esetén (Subscript[x, i])(t)→+∞

(Subscript[λ, 1])<1 esetén x(t)→0  (a populáció kihal)

(Subscript[λ, 1])=1 esetén x(t)→(OverTilde[(Subscript[x, 1])])(u^1) (a populáció a domináns koreloszláshoz tart)

A modell előnyei

figyelembe veszi a koreloszlást

A modell hátrányai

csak a populáció termékeny korosztályáig veszi figyelembe az egyedeket, azaz az idős koruk miatt terméketlen korosztályt nem veszi figyelembe, mert (Subscript[b, i])≥0, ha i≠n és (Subscript[b, n])>0

csak a női populációt tekintjük (,,mégis kinek a gyermeke")

nincs migráció, csak születéssel lehet bekerülni és halálozással lehet kikerülni a rendszerből

bizonyos korcsoportok szerint együvé tartozónak tekintjük az egyedeket, azaz diszkretizáljuk az életkort

Érdekességek

Keyfitz, N.: Applied Mathematical Demography, Springer Verlag, New York, 1985.

A szerző ebben a könyvében mexikói adatokra illesztette a modellt. Magyar adatok:

Hyperlink["magyar korfa","http://www.demografia.hu/letoltes/kiadvanyok/portre/honlap_teljes.pdf"]

Feladat

Ábrázolja a korfa változását az idő függvényeként különböző feltevések mellett. Az adatokat próbálja úgy megválasztani, hogy azok a magyar népesség helyzetét tükrözzék.