Quit[];

Keresztdiffúzió

Az alapvető forrásmunkát legalul megadjuk.

Jelölések

u(t,x) a zsákmányfaj sűrűsége a t időpontban az x helyen

v(t,x) a ragadozófaj sűrűsége a t időpontban az x helyen

q(t,x) a zsákmányfaj áramlásvektora a t időpontban az x helyen

r(t,x) a ragadozófaj áramlásvektora a t időpontban az x helyen

Fick I. törvénye az öndiffúzióra

Mindkét faj a nagyobb sűrűségű helyről az alacsonyabb sűrűsűgű helyre áramlik, az áramlásvektor a gradiensvektorral ellentétes irányú:

q(t,x)=-(Subscript[d, 11]) grad u(t,x)

r(t,x)=-(Subscript[d, 22]) grad v(t,x)

ahol

(Subscript[d, 11]),(Subscript[d, 22])>0

Keresztdiffúzió modellezése I.

Ha a zsákmány intelligens, akkor arról a helyről, ahol sok ragadozó van, diffúzióval eltávozik; ha a ragadozó intelligens, akkor odadiffundál, ahol sok zsákmány van:

q(t,x)=-(Subscript[d, 11]) grad u(t,x)-(Subscript[d, 12])grad v(t,x)

r(t,x)=-(Subscript[d, 22]) grad v(t,x)+(Subscript[d, 21]) grad u(t,x)

ahol

(Subscript[d, 12]),(Subscript[d, 21])>0

Keresztdiffúzió modellezése II.

Az intelligens fajok esetét úgyis figyelembe vehetjük, hogy a (Subscript[d, 11]) együtthatót v, a (Subscript[d, 22]) együtthatót pedig u  függvényének tekintjük. (Ez nem tartalmazza az előző esetet.)

Az evolúciós egyenlet

Fick II. törvényéből vagy a Gauss–Osztrogradszkij-tételből az egyes esetekben ezt kapjuk:

((∂u(t,x))/(∂ t))=(Subscript[d, 11])Δ u(t,x)+(Subscript[d, 12])Δ v(t,x)

((∂v(t,x))/(∂ t))=-(Subscript[d, 21])Δ u(t,x)+(Subscript[d, 22])Δ v(t,x)

illetve

((∂u(t,x))/(∂ t))=(Subscript[d, 11]^('))(v(t,x))grad v(t,x)grad u(t,x)+(Subscript[d, 11])Δ u(t,x)

((∂v(t,x))/(∂ t))=(Subscript[d, 22]^('))(u(t,x))grad u(t,x)grad v(t,x)+(Subscript[d, 22])Δ v(t,x)

Ha a diffúzió mellett a fajok egymásra gyakorolt kölcsönhatásait is figyelembe vesszük, akkor az egyenletek jobb oldalához a hatásokat kifejező

f(u(t,x),v(t,x)),g(u(t,x),v(t,x))

tagok adódnak.

Hivatkozás

Farkas, M.: Two ways of modelling cross-diffusion, Nonlin. Theor. Meth. Appl. 30 (2) (1997), 1225–1233.