\documentstyle [12pt]{article} \overfullrule=0pt \def\veg{\hfill\break} %\magnification\magstep1 \makeatletter \marginparwidth 0pt \setlength{\oddsidemargin}{ -0.2in } \setlength{\evensidemargin}{ -0.2in} \setlength{\topmargin}{-1cm} \setlength{\textwidth}{ 138truemm} \setlength{\textheight}{ 215truemm} \makeatother \setlength{\parindent}{ 16pt} \setlength{\parskip}{0pt} \pagestyle{headings} \bibliographystyle{plain} \begin{document} \noindent 2000.12.17. \centerline{\bf {Line\'aris algebra vizsgatematika}} \noindent 1.Gy\H ur\H uk, kommutat\'\i v, nemkommutat\'\i v, integr\'\i t\'asi tartom\'any, nulloszt\'ok. P\'eld\'ak.\\ \noindent 2.Testek, rendezett testek, test rendezhet\H os\'ege. Algebrailag z\'art test. Testek k\"oz\"otti izomorfizmus. Steiniz t\'etele az algebrai lez\'artr\'ol. Test karakterisztik\'aja. P\'eld\'ak.\\ \noindent 3. Komplex sz\'amok teste, tulajdons\'agai: algebrailag z\'art, \'epp a val\'os sz\'amtest algebrai lez\'artja, nem rendezhet\H o. Algebra alapt\'etele. Komplex sz\'amok algebrai, trigonometrikus \'es exponenci\'alis alakja. M\H uveletek komplex sz\'amokkal. Gy\"okvon\'as, egys\'eggy\"ok\"ok, primit\'\i v egys\'eggy\"ok\"ok, ezek jellemz\'ese. Egys\'egy\"ok rendje. Egys\'eggy\"ok\"ok \"osszege, szorzata.\\ \noindent 4. Test feletti egyv\'altoz\'os polinomok gy\H ur\H uje.Marad\'ekos oszt\'as test feletti polinomokra, polinomoszt\'asi algoritmus. Euklideszi algoritmus. Legnagyobb k\"oz\"os oszt\'o el\H o\'all\'\i t\'asa eg\'esz egy\"utthat\'os line\'aris kombin\'aci\'oval. Polinom gy\"oke. Val\'os \'es komplex egy\"utthat\'os polinomok, val\'os \'es komplex gy\"okt\'enyez\H os alak.\\ \noindent 5. Oszthat\'os\'ag integr\'\i t\'asi tartom\'anyban, egys\'eg, irreducibilit\'as, pr\'\i mtulajdons\'ag. $C[x], R[x],Z[x],Q[x]$-ben ilyen tulajdons\'ag\'u polinomok. Primit\'\i v polinom. Primit\'\i v polinomok szorzata primit\'\i v. Test feletti polinomok egy\'ertelm\H u faktoriz\'ci\'oja. Z[x]-beli polinomok egy\'ertelm\H u faktoriz\'aci\'oja. Sch\"onemann-Eisenstein krit\'erium. Ha egy eg\'esz egy\"utthat\'os primit\'\i v polinom irreducibilis a racion\'alis sz\'amtest felett, akkor az irreducibilis az eg\'esz egy\"utthat\'os polinomok k\"or\'eben is. Vi\'eta formul\'ak. Eg\'esz egy\"utthat\'os polinomok eg\'esz gy\"okei. \\ \noindent 6.Iterpol\'aci\'o(Lagrange, Newton, Hermite). V\'eges test felett minden f\"uggv\'eny polinom. T\"obbsz\"or\"os gy\"ok\"ok jellemz\'ese. Parci\'alis t\"ortekre bont\'as.\\ \noindent 7.M\'asodfoku, harmadfok\'u \'es negyedfok\'u polinomok, Cardano formul\'ak.\\ \noindent 8.Permut\'aci\'ok. T\"obbv\'atoz\'os polinomgy\H ur\H u. Szimmetrikus polinomok alapt\'etele. Algoritmus szimmetrikus polinomok elemi szimmetrikus polinomokkal val\'o el\H o\'all\'\i t\'as\'ara.\\ \noindent 9. Test feletti m\'atrixok vektortere. Tov\'abbi m\H uveletek. $n\times n$-es m\'atrixgy\H ur\H u. M\'atrixsszorz\'as tulajdons\'agai. Szorzat transzpon\'atja. Sor \'es oszlopvektor. Skal\'aris szorz\'as a h\'arom \'es $n$-dimenzi\'os val\'os t\'erben. Vektori\'alis szorz\'as. Diadikus szorzat. M\'atrixok alkalmaz\'asai. Nilpotens m\'atrix, permut\'aci\'os m\'atrix. Elemi sor \'es oszloptranszform\'aci\'ok m\'atrixszorz\'as seg\'\i ts\'eg\'evel. \\ \noindent 10. Permut\'aci\'o inverzi\'oi, p\'aros p\'aratlan permut\'aci\'ok.Ciklikus \'\i r\'asm\'od. Permut\'aci\'ok szorz\'asa, inverze. Permut\'aci\'ok el\H o\'all\'\i t\'asa diszjunkt ciklusok szorzatak\'ent. Csoport fogalma, $n$-edfok\'u szimmetrikus csoport, abel csoport, $n$-edik egys\'eggy\"ok\"ok csoportja, ortogon\'alis m\'atrixok csoportja. Transzpoz\'\i ci\'o. Minden permut\'aci\'o transzpoz\'\i ci\'ok szorzata. Ebb\H ol par\'\i t\'as leolvas\'asa. P\'aros hossz\'u ciklus p\'aratlan, p\'aratlan hossz\'u ciklus p\'aros permut\'aci\'o.\\ \noindent 11. Determin\'ansok, k\'etf\'ele defin\'\i ci\'o, ezek ekvivalenci\'aja. Determin\'ansok alkalmaz\'asai, geometriai tartalma. Regul\'aris \'es szingul\'aris m\'atrixok. Determin\'ansok alaptulajdons\'agai. H\'aromsz\"ogm\'atrixok determin\'ansa. Kifejt\'esi t\'etel, ferde kifejt\'es. Determin\'ans kisz\'am\'\i t\'asa elimin\'aci\'oval. Laplace kifejt\'esi t\'etele. Minorm\'atrixok, aldetermin\'ansok, sarokaldetermin\'ansok, kieg\'esz\'\i t\H o aldetermin\'ans. Inverz m\'atrix. Gyors algoritmus m\'atrix inverz\'enek kisz\'am\'\i t\'as\'ara. Determin\'ansok szorz\'ast\'etele. Szorzat inverze. Vandermonde-determin\'ans.\\ \noindent 12.$2\times 2$ hiperm\'atrix determin\'ansa \'es inverze. \\ \noindent 13. Vektort\'er (line\'aris t\'er) $F$ test felett, p\'eld\'ak. Line\'aris kombin\'aci\'o, vektorok line\'aris f\"uggetlens\'ege, \"osszef\"ugg\H os\'ege. Gener\'atorrendszer, b\'azis. Vektort\'er dimenzi\'oja. Kicser\'el\'esi t\'etel.\\ \noindent 14. Test feletti m\'atrixok oszlopvektorai tere. M\'atrix rangja, ekvivalens alakjai, meghat\'aroz\'asa elimin\'aci\'oval \'es minim\'alis sz\'am\'u di\'ad \"osszeg\'ere val\'o bont\'assal. \"Osszeg \'es szorzatm\'atrix rangja. M\'atrix rangja \'epp a m\'atrixszal val\'o szorz\'asn\'al a k\'ept\'er dimenzi\'oja. Egy n\'egyzetes m\'atrix pontosan akkor regul\'aris, ha sorai f\"uggetlenek. Egy n\'egyzetes m\'atrix pontosan akkor regul\'aris, ha nem nulloszt\'o.\\ \noindent 15.Line\'aris egyenletrendszer megoldhat\'os\'aga megold\'asok sz\'ama, megold\'asok szerkezete. Homog\'en line\'aris egyenletrendszer megold\'asai vektorteret alkotnak. Rang-null\'\i t\'asi t\'etel. Gauss elimin\'aci\'o. Cramer szab\'aly.\\ \noindent 16. M\'atrix, line\'aris transzform\'aci\'o saj\'at\'ert\'eke, saj\'atvektora. Karakterisztikus polinom. M\'atrix nyoma. Tr(AB)=Tr(BA). Determin\'ans$=$saj\'at\'ert\'ekek szorzata. Nyom$=$saj\'at\'ert\'ekek \"osszege.\\ \noindent 17.M\'atrixnak, line\'aris transzform\'aci\'onak polinomba val\'o behelyettes\'\i t\'ese. Anull\'al\'o polinom, minim\'alpolinom. Cayley-Hamilton t\'etel. Minim\'alpolinom egy\'ertelm\H us\'ege, gy\"okei. \\ \noindent 18.M\'atrixf\"uggv\'enyeki, m\'atrixok hasonl\'os\'aga. Hasonl\'o m\'atrixok, karakterisztikus polinomjai, saj\'at\'ert\'ekei, determin\'ansai, minim\'alpolinomjai megegyeznek. Line\'aris transzform\'aci\'o k\"ul\"onb\"oz\H o b\'azisbeli koordin\'atam\'atrixai hasonl\'oak. Jordan-blokk. Jordan-f\'ele norm\'alalak l\'etez\'ese \'es egy\'ertelm\H us\'ege. Determin\'anoszt\'ok \'es invari\'ans faktorok, ezek invarianci\'aja a hasonl\'os\'agi transzfomr\'aci\'oval szemben. Jordan blokk determin\'ansoszt\'oi, minim\'alpolinomja. Jordan-f\'ele norm\'alalak\'u m\'atrix $n-1$-edik determin\'anoszt\'oja, minim\'alpolinomja, $n$-edik invari\'ans faktora, ezek egyenl\H os\'ege. M\'atrix minim\'alpolinomj\'aban az egyes saj\'at\'ekekhez tartoz\'o gy\"okt\'enyez\H ok multiplic\'\i t\'asa \'epp a saj\'at\'ert\'ekhez tartoz\'o maxim\'alis blokkm\'eret. Jordan blokkok sz\'ama. P\'eld\'ak.Jordan-f\'ele norm\'alalak leolvas\'asa az invari\'ans faktorokb\'ol. Jordan-f\'ele norm\'alalak\'u m\'atrix polinomja, f\"uggv\'enye. A m\'atrix f\"uggv\'eny\'enek saj\'at\'ert\'ekei. M\'atrixf\"uggv\'eny el\H o\'all\'\i t\'asa Hermite-f\'ele interpol\'aci\'oval.\\ \noindent 19.Egyszer\H u strukt\'ur\'aj\'u m\'atrixok jellemz\'ese. P\'eld\'ak.\\ \noindent 20.Vektort\'erkonstrukci\'ok: alt\'er, alterek \"osszege, direkt \"osszeg, direkt szorzat, direkt kieg\'esz\'\i t\H o, faktort\'er, vektorterek tenzorszorzata, du\'alis t\'er, line\'aris transzform\'aci\'ok vektortere. Ezek dimenzi\'oi, b\'azis benn\"uk.\\ \noindent 21. Line\'aris oper\'ator, line\'aris transzform\'aci\'o, line\'aris funkcion\'al. Vektroterek izomorfizmusa. Line\'aris oper\'atorok magetere, k\'eptere, rangja null\'\i t\'asa. Azonos v\'eges dimenzi\'os vektorterek k\"oz\"otti line\'aris oper\'ator pontosan akkor injekt\'\i v, ha sz\"urjekt\'\i v.\\ \noindent 22. Vektorok adott b\'azisra vonatkoz\'o koordin\'atavektorai. A koordin\'atavektor tulajdons\'agai. Line\'aris oper\'ator koordin\'atam\'atrixa. Line\'aris oper\'ator b\'azison el\H o\'\i rhat\'o. A koordin\'atam\'atrix tulajdons\'agai. B\'aziscsere transzform\'aci\'o. Koordin\'atavektor, koordin\'atam\'atrix \'uj b\'azisban. A b\'aziscsere transzform\'aci\'o m\'atrixa a r\'egi \'es az \'uj b\'azisban azonos. G\"orbe, fel\"ulet egyenlete \'uj b\'azisban. M\'asodrend\H u g\"orb\'ek \'es fel\"uletek egyenlet\'enek kanonikus alakra hoz\'asa. G\"orbe ill. fel\"ulet k\'ep\'enek egyenlete. Forgat\'as, t\"ukr\"oz\'es, ny\'ujt\'as, vet\'\i t\'es m\'atrixa k\"ul\"onb\"oz\H o b\'azisokban. B\'aziscsere ill. diadikus m\'odszer.\\ \noindent 23. Line\'aris transzform\'aci\'o invari\'ans altere.P\'eld\'ak: 1 dimenzi\'os invari\'ans alt\'er, saj\'at\'ert\'ekhez tartoz\'o saj\'atalt\'er. Alkalmas b\'azisokban invari\'ans alterek t\"ukr\"oz\H od\'ese a line\'aris transzform\'aci\'o m\'atrix\'an.\\ \noindent 24. Du\'alis t\'er b\'azisa. Line\'aris funkcion\'al koordin\'atam\'atrixa: sorvektor, amely b\'aziscser\'en\'el kovari\'ansan v\'altozik. Komponensei \'epp a du\'alis b\'aziselemek egy\"utthat\'oi. Az eredeti t\'er vektorai kontravari\'ans vektorok. B\'aziscsere eset\'en a du\'alis b\'azis a b\'aziscseretranszform\'aci\'o m\'atrix\'anak transzpon\'altj\'anak inverz\'evel transzform\'al\'odik. $p$-szeresen kontravari\'ans \'es $q$-szorosan kovari\'ans tenzorok tere. Koordin\'at\'ainak transzfom\'al\'od\'asa b\'azsicsere eset\'en. Tenzor m\'asik defin\'\i ci\'oja. P\'eld\'ak: kovari\'ans vektor, kontravari\'ans vektor, line\'aris transzfom\'aci\'o m\'atrixa sorindexben kontravari\'ans, oszlopindexben kovari\'ans tenzor. Biline\'aris f\"uggv\'eny m\'atrixa mindk\'et indexben kovari\'ans tenzor.\\ \noindent 25. Multiline\'aris f\"uggv\'eny, val\'os \'es komplex biline\'aris f\"uggv\'eny. P\'eld\'ak. Biline\'aris f\"uggv\'eny m\'atrixa. Hermite-f\'ele, szimmetrikus, szimplektikus biline\'aris f\"uggv\'eny, m\'atrixaik. P\'eld\'ak. Biline\'aris f\"uggv\'enyhez tartoz\'o kvadratikus alak. Kvadratikus alakok \'es biline\'aris f\"uggv\'enyek kapcsolata. Val\'os \'ert\'ek\H u kvadtratikus alak m\'atrixa. Kvadratikus alak jellege. Definits\'egi krit\'eriumok.\\ \noindent 26. Val\'os \'es komplex euklideszi terek, val\'os \'es komplex skal\'aris szorzat. Vektorok norm\'aja, mer\H olegess\'ege, ortonorm\'alt vektorrendszer. Gram-Schmidt-f\'ele ortogonaliz\'ai\'o. Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenl\H otlens\'eg. Val\'os euklideszi terekben vektorok sz\"oge. Alt\'er ortogon\'alis kieg\'esz\'\i t\H oje. Euklideszi terek izomorfizmusa.\\ \noindent 27. Line\'aris transzform\'aci\'ok euklideszi terekben, adjung\'alt transzform\'aci\'o l\'etez\'ese \'es egy\'etelm\H us\'ege. \"Onadjung\'alt, unit\'er, norm\'alis(val\'os, komplex), szimmetrikus, antiszimmetrikus, ferd\'en \"onadjung\'alt, ortogon\'alis transzform\'aci\'ok. Kapcsolat az ugyanilyen nev\H u m\'atrixokkal. Invari\'ans alt\'er ortogon\'alis komplementuma az adjung\'alt transzform\'aci\'ora invari\'ans. \"Onadjung\'alt transzform\'aci\'o saj\'at\'ert\'ekei val\'osak \'es l\'etezik ONB, amely a saj\'atvektoraib\'ol \'all. Spektr\'alt\'etel. Val\'os f\H otengelyt\'etel. Kvadratikus alakokra vonatkoz\'o f\H otengelyt\'etel. Raleigh elv. Kvadratikus alakok tehetetlens\'ege (Sylvester t\'etele).\\ \noindent 28. Unit\'er \'es ortogon\'alis transzform\'aci\'ok alaptulajdons\'agai. Pol\'aris felbont\'asi t\'etel. Kapcsolat a komplex sz\'amokkal.\\ \end{document}