Lineáris algebra vizsgatematika

1. Gyuruk, kommutatív, nemkommutatív, integrí tási tartomány, nullosztók. Példák.
2. Testek, rendezett testek, test rendezhetosége. Algebrailag zárt test. Testek közötti izomorfizmus. Steiniz tétele az algebrai lezártról. Test karakterisztikája. Példák.
3. Komplex számok teste, tulajdonságai: algebrailag zárt, épp a valós számtest algebrai lezártja, nem rendezheto. Algebra alaptétele. Komplex számok algebrai, trigonometrikus és exponenciális alakja. Muveletek komplex számokkal. Gyökvonás, egységgyökök, primitív egységgyökök, ezek jellemzése. Egységyök rendje. Egységgyökök összege, szorzata.
4. Test feletti egyváltozós polinomok gyuruje. Maradékos osztás test feletti polinomokra, polinomosztási algoritmus. Euklideszi algoritmus. Legnagyobb közös osztó eloállítása egész együtthatós lineáris kombinációval. Polinom gyöke. Valós és komplex együtthatós polinomok, valós és komplex gyöktényezos alak.
5. Oszthatóság integrítási tartományban, egység, irreducibilitás, prímtulajdonság. C[x], R[x],Z[x],Q[x]-ben ilyen tulajdonságú polinomok. Primitív polinom. Test feletti polinomok egyértelmu faktorizciója. Z[x]-beli polinomok egyértelmu faktorizációja. Schönemann-Eisenstein kritérium. Ha egy egész együtthatós primitív polinom irreducibilis a racionális számtest felett, akkor az irreducibilis az egész együtthatós polinomok körében is. Viéta formulák. Egész együtthatós polinomok egész gyökei.
6. Iterpoláció(Lagrange, Hermite). Véges test felett minden függvény polinom. Többszörös gyökök jellemzése.
7. Másodfoku, harmadfokú polinomok, Cardano formulák.
8. Permutációk. Többvátozós polinomgyuru. Szimmetrikus polinomok alaptétele. Algoritmus szimmetrikus polinomok elemi szimmetrikus polinomokkal való eloállítására.
9. Test feletti mátrixok vektortere. További muveletek. n x n-es mátrixgyuru. Mátrixsszorzás tulajdonságai. Szorzat transzponátja. Sor és oszlopvektor. Skaláris szorzás a három és n-dimenziós valós térben. Vektoriális szorzás. Mátrixok alkalmazásai. Nilpotens mátrix, permutációs mátrix. Elemi sor és oszloptranszformációk mátrixszorzás segítségével.
10. Permutáció inverziói, páros páratlan permutációk. Permutációk szorzása, inverze.
11. Determinánsok, kétféle definíció, ezek ekvivalenciája. Determinánsok alkalmazásai, geometriai tartalma. Reguláris és szinguláris mátrixok. Determinánsok alaptulajdonságai. Háromszögmátrixok determinánsa. Kifejtési tétel, ferde kifejtés. Determináns kiszámítása eliminációval. Laplace kifejtési tétele. Minormátrixok, aldeterminánsok, sarokaldeterminánsok, kiegészíto aldetermináns. Inverz mátrix. Gyors algoritmus mátrix inverzének kiszámítására. Determinánsok szorzástétele. Szorzat inverze. Vandermonde-determináns.
12. 2 x 2-hipermátrix determinánsa és inverze.
13. Vektortér (lineáris tér) F test felett, példák. Lineáris kombináció, vektorok lineáris függetlensége, összefüggosége. Generátorrendszer, bázis. Vektortér dimenziója. Kicserélési tétel.
14. Test feletti mátrixok oszlopvektorai tere. Mátrix rangja, ekvivalens alakjai, meghatározása eliminációval Összeg és szorzatmátrix rangja. Mátrix rangja épp a mátrixszal való szorzásnál a képtér dimenziója. Egy négyzetes mátrix pontosan akkor reguláris, ha sorai függetlenek. Egy négyzetes mátrix pontosan akkor reguláris, ha nem nullosztó.
15. Lineáris egyenletrendszer megoldhatósága megoldások száma, megoldások szerkezete. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai vektorteret alkotnak. Rang-nullítási tétel. Gauss elimináció. Cramer szabály.
16. Mátrix, lineáris transzformáció sajátértéke, sajátvektora. Karakterisztikus polinom. Mátrix nyoma. Tr(AB)=Tr(BA). Determináns=sajátértékek szorzata. Nyom=sajátértékek összege.
17. Mátrixnak, lineáris transzformációnak polinomba való behelyettesítése. Anulláló polinom, minimálpolinom. Cayley-Hamilton tétel. Minimálpolinom egyértelmusége, gyökei.
18. Mátrixfüggvényeki, mátrixok hasonlósága. Hasonló mátrixok, karakterisztikus polinomjai, sajátértékei, determinánsai, minimálpolinomjai megegyeznek. Lineáris transzformáció különbözo bázisbeli koordinátamátrixai hasonlóak. Jordan-blokk. Jordan-féle normálalak létezése és egyértelmusége. Determinánosztók és invariáns faktorok, ezek invarianciája a hasonlósági transzfomrációval szemben. Jordan blokk determinánsosztói, minimálpolinomja. Jordan-féle normálalakú mátrix n-1-edik determinánosztója, minimálpolinomja, n-edik invariáns faktora, ezek egyenlosége. Mátrix minimálpolinomjában az egyes sajátékekhez tartozó gyöktényezok multiplicítása épp a sajátértékhez tartozó maximális blokkméret. Jordan blokkok száma. Példák. Jordan-féle normálalak leolvasása az invariáns faktorokból. Jordan-féle normálalakú mátrix polinomja, függvénye. A mátrix függvényének sajátértékei. Mátrixfüggvény eloállítása Hermite-féle interpolációval. Jordán-bázis, primérfelbontási tétel.
19. Egyszeru struktúrájú mátrixok jellemzése. Példák.
20. Vektortérkonstrukciók: altér, alterek összege, direkt összeg, direkt szorzat, direkt kiegészíto, faktortér, vektorterek tenzorszorzata, duális tér, lineáris transzformációk vektortere. Ezek dimenziói, bázis bennük.
21. Lineáris operátor, lineáris transzformáció, lineáris funkcionál. Vektroterek izomorfizmusa. Lineáris operátorok magtere, képtere, rangja nullítása. Azonos véges dimenziós vektorterek közötti lineáris operátor pontosan akkor injektív, ha szürjektív.
22. Vektorok adott bázisra vonatkozó koordinátavektorai. A koordinátavektor tulajdonságai. Lineáris operátor koordinátamátrixa. Lineáris operátor bázison eloírható. A koordinátamátrix tulajdonságai. Báziscsere transzformáció. Koordinátavektor, koordinátamátrix új bázisban. A báziscsere transzformáció mátrixa a régi és az új bázisban azonos. Görbe, felület egyenlete új bázisban. Másodrendu görbék és felületek egyenletének kanonikus alakra hozása. Görbe ill. felület képének egyenlete. Forgatás, tükrözés, nyújtás, vetítés mátrixa különbözo bázisokban. Báziscsere ill. diadikus módszer.
23. Lineáris transzformáció invariáns altere. Példák: 1 dimenziós invariáns altér, sajátértékhez tartozó sajátaltér. Alkalmas bázisokban invariáns alterek tükrözodése a lineáris transzformáció mátrixán. Általánosított sajátaltér.
24. Duális tér bázisa. Lineáris funkcionál koordinátamátrixa: sorvektor, amely báziscserénél kovariánsan változik. Komponensei épp a duális báziselemek együtthatói. Az eredeti tér vektorai kontravariáns vektorok. Báziscsere esetén a duális bázis a báziscseretranszformáció mátrixának transzponáltjának inverzével transzformálódik. p-szeresen kontravariáns és q-szorosan kovariáns tenzorok tere. Koordinátáinak transzfomálódása bázsicsere esetén. Tenzor másik definíciója. Példák: kovariáns vektor, kontravariáns vektor, lineáris transzfomáció mátrixa sorindexben kontravariáns, oszlopindexben kovariáns tenzor. Bilineáris függvény mátrixa mindkét indexben kovariáns tenzor.
25. Multilineáris függvény, valós és komplex bilineáris függvény. Példák. Bilineáris függvény mátrixa. Hermite-féle, szimmetrikus, szimplektikus bilineáris függvény, mátrixaik. Példák. Bilineáris függvényhez tartozó kvadratikus alak. Kvadratikus alakok és bilineáris függvények kapcsolata. Valós értéku kvadtratikus alak mátrixa. Kvadratikus alak jellege. Definitségi kritériumok.
26. Valós és komplex euklideszi terek, valós és komplex skaláris szorzat. Vektorok normája, merolegessége, ortonormált vektorrendszer. Gram-Schmidt-féle ortogonalizáió. Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlotlenség. Valós euklideszi terekben vektorok szöge. Altér ortogonális kiegészítoje. Euklideszi terek izomorfizmusa.
27. Lineáris transzformációk euklideszi terekben, adjungált transzformáció létezése és egyételmusége. Önadjungált, unitér, normális(valós, komplex), szimmetrikus, antiszimmetrikus, ferdén önadjungált, ortogonális transzformációk. Kapcsolat az ugyanilyen nevu mátrixokkal. Invariáns altér ortogonális komplementuma az adjungált transzformációra invariáns. Önadjungált transzformáció sajátértékei valósak és létezik ONB, amely a sajátvektoraiból áll. Spektráltétel. Valós fotengelytétel. Kvadratikus alakokra vonatkozó fotengelytétel. Kvadratikus alakok tehetetlensége (Sylvester tétele).
28. Unitér és ortogonális transzformációk alaptulajdonságai. Normális transzformációk jellemzése. Poláris felbontási tétel. Kapcsolat a komplex számokkal.