Differenciálgeometria - Első Házi Feladat - 4. Feladat

Készítette : Gyebrószki Gergely
2009. október 14.
(C) Szabadon felhasználható

Ajánlott Mathematica verzió : 6
Amennyiben más állomány is használta az aktuális kernelt, ne felejtse el újraindítani azt a kiértékelés megkezdése előtt.

Írja fel az alábbi gömb és hiperbolikus hengerfelület metszésvonalának M pontjában a simuló sík egyenletét és a Darboux - vektort.

A gömb egyenlete :

G=x^2+y^2+z^2==9;

A hiperbolikus hengerfelület egyenlete :

H=x^2-y^2==3;

A vizsgált M pont :

M={2,1,2};

Legyen :

y[x_];
z[x_];
r[x_]={x,y[x],z[x]};

Így a két felület egyenletéből :

egy1=G/.{y->y[x],z->z[x]}
egy2=H/.{y->y[x],z->z[x]}

Az előadáson tanult differenciálási technikát alkalmazva :

degy1=D[egy1,x]
degy2=D[egy2,x]

sol1=Solve[{degy1,degy2},{y'[x],z'[x]}]/.{x->2,y[x]->1,z[x]->2}

r első deriváltja az M pontban :

r'[2]/.sol1

ddegy1=D[degy1,x]
ddegy2=D[degy2,x]

sol2=Solve[{ddegy1,ddegy2},{y''[x],z''[x]}]/.{x->2,y[x]->1,z[x]->2,y'[x]->2,z'[x]->-2}

r második deriváltja az M pontban :

r''[2]/.sol2

dddegy1=D[ddegy1,x]
dddegy2=D[ddegy2,x]

sol3=Solve[{dddegy1,dddegy2},{y'''[x],z'''[x]}]/.{x->2,y[x]->1,z[x]->2,y'[x]->2,z'[x]->-2,y''[x]->-3,z''[x]->-3}

Így r harmadik deriváltja az M pontban :

r'''[2]/.sol3

Így az első 3 derivált értéke M pontban :

r'[2]/.sol1
r''[2]/.sol2
r'''[2]/.sol3

dr={1,2,-2};
ddr={0,-3,-3};
dddr={0,18,-9};

A simuló sík normálisa az M pontban párhuzamos az r' x r'' vektorral, így felírható a simuló sík egyenlete :

S=({x,y,z}-M).(dr\[Cross]ddr)==0

A Darboux-vektor kiszámolásához meg kell határozni a görbületet, a torziót , a tangenciális és binormális egységvektorokat az M pontban :

κ=Norm[dr\[Cross]ddr]/(Norm[dr])^3

τ=(dr\[Cross]ddr).dddr/(Norm[dr\[Cross]ddr])^2

t=dr/Norm[dr]

b=dr\[Cross]ddr/Norm[dr\[Cross]ddr]

Így a Darboux - vektor az M pontban :

d=κ b+τ t

Az eredmények megjelenítése :

Solve[S,z]

Show[
Graphics3D[{Yellow,Opacity[0.5],Mesh->None,Sphere[{0,0,0},3]}],
Plot3D[x^2-y^2==3-2,{x,-3,3},{y,-3,3},ColorFunction->"Rainbow",Mesh->None,PlotStyle->{Opacity[0.7]}],
Graphics3D[{PointSize[0.02],Point[M]}],
Plot3D[9-4 x+y,{x,1,2.5},{y,-1,2.5},Mesh->None,PlotStyle->{Opacity[0.7],Red}],PlotRange->All]

Magyarázat : SÁRGA - G gömb, SZÍNÁTMENETES - h nyeregfelület, PIROS - érintősík, FEKETE - M pont