Differenciálgeometria - Első Házi Feladat - 3. Feladat

Készítette : Gyebrószki Gergely
2009. október 14.
(C) Szabadon felhasználható

Ajánlott Mathematica verzió : 6
Amennyiben más állomány is használta az aktuális kernelt, ne felejtse el újraindítani azt a kiértékelés megkezdése előtt.

Számítsa ki a lenti térgörbe ívhosszát az xy síkkal alkotott két szomszédos metszéspontja között! Határozza meg azokat a pontokat, ahol a görbületi sugárnak lokális minimuma van, és határozza meg a torzió értékét ezekben a pontokban!

Térgörbe egyenlete t - szerinti paraméterezésnél:

r[t_]={a*(t-Sin[t]),a*(1-Cos[t]),4*a*Cos[t/2]};

A térgörbe első, második és harmadik deriváltja (t - szerinti paraméterezés mellett)

rp[t_]=D[r[t],t]
rpp[t_]=D[rp[t],t]
rppp[t_]=D[rpp[t],t]

Norm[rp[t]]

r pont abszolút értéke:

absrp[t_]=Simplify[(Sqrt[(((a (1-Cos[t])))^2)+4 (((a Sin[(t/2)]))^2)+(((a Sin[t]))^2)]),a>0]

Norm[rpp[t]]

r kétpont abszolút értéke :

absrpp[t_]=Simplify[(Sqrt[(((a Cos[(t/2)]))^2)+(((a Cos[t]))^2)+(((a Sin[t]))^2)]),a>0]

A keresett ívhossz (r[0] és r[2 π] között) :

S=Integrate[absrp[t],{t,-π,π}]

A kísérő triéder egységvektorai :

A tangenciális irányú :

t[t_]=rp[t]/absrp[t]

r pont és r kétpont keresztszorzata :

rpxrpp=Cross[rp[t],rpp[t]]

Norm[Cross[rp[t],rpp[t]]]

r pont és r kétpont keresztszorzatának abszolút értéke :

absrpxrpp=Simplify[√((((2 (a^2) Cos[t] Sin[(t/2)]-(a^2) Cos[(t/2)] Sin[t]))^2)+((((a^2) Cos[(t/2)]-(a^2) Cos[(t/2)] Cos[t]-2 (a^2) Sin[(t/2)] Sin[t]))^2)+((((a^2) Cos[t]-(a^2) ((Cos[t])^2)-(a^2) ((Sin[t])^2)))^2)) ,a>0]

A binormális irányú egységvektor:

b[t_]=Simplify[rpxrpp/absrpxrpp,a>0]

A binormális irányú egységvektor :

n[t_]=Simplify[Cross[b[t],t[t]]]

A görbület :

κ[t_]=absrpxrpp/(absrp[t])^3

A torzió :

τ[t_]=Simplify[rpxrpp.rppp[t]/(absrpxrpp)^2]

Keressük a görbületi sugár lokális minimumait, azaz a görbület lokális maximumait.

Manipulate[Plot[(((Sqrt[((Sin[(t/2)])^4)])/(2 (Sqrt[2]) a (((1-Cos[t]))^(3/2)))))^-1,{t,-π,3π}],{a,1,10}]

A grafikonon látható, hogy a görbületi sugár lokális minimumai 0 + k 2 π (k ϵ Z) helyeken találhatóak, de pontosan a 0 + k 2 π pontokban a görbületi sugár zérus, emiatt a görbület nem értelmezhető.

Közelítsünk a 0 + k 2 π helyekre a görbületi sugár függvényével :

Limit[1/κ[t],t->2π,Direction->1]

Ezekben a pontokban a görbület "végtelen" :

Limit[κ[t],t->2π]

A torzió értéke pedig szintén "végtelen", ami azt jelenti, hogy a 0 + k 2 π helyen éppen 0 idő alatt megfordul a binormális egységvektor.

Limit[τ[t],t->2π,Direction->1]

Limit[τ[t],t->2π,Direction->-1]

Az eredmények megjelenítése :

R[t_,a_]={a*(t-Sin[t]),a*(1-Cos[t]),4*a*Cos[t/2]};

κκ[t_,a_]=((Sqrt[((Sin[(t/2)])^4)])/(2 (Sqrt[2]) a (((1-Cos[t]))^(3/2))));

ττ[t_,a_]=((Csc[(t/2)])/(8 a));

Manipulate[
Grid[{{
Show[
ParametricPlot3D[R[t,a],{t,-2π,4 π},PlotStyle->{Purple,Thick}],
ParametricPlot3D[R[t,a]+(n[t]/κκ[t,a]),{t,-2π,4π},PlotStyle->{Orange}],
Graphics3D[{Red,Thick,Line[{R[T0,a],R[T0,a]+n[T0]}]}],
Graphics3D[{Green,Thick,Line[{R[T0,a],R[T0,a]+t[T0]}]}],
Graphics3D[{Blue,Thick,Line[{R[T0,a],R[T0,a]+b[T0]}]}],Graphics3D[{Opacity->0.8,Polygon[{R[T0,a]+0.5 n[T0]+0.5 t[T0],R[T0,a]+0.5 n[T0]-0.5 t[T0],R[T0,a]-0.5n[T0]-0.5t[T0],R[T0,a]-0.5n[T0]+0.5t[T0]}]}],
Graphics3D[{Yellow,Opacity[0.2],Sphere[{R[T0,a]+(n[T0]/κκ[T0,a])},1/κκ[T0,a]]}],
Graphics3D[Point[R[T0,a]+(n[T0]/κκ[T0,a])]],PlotRange->{{-2 a π,4 a π},{-2 a π,a π},{-2 a π,2 a π}}],"κ=",κκ[T0,a],"τ=",ττ[T0,a]}},ItemSize->Automatic
],
{T0,-2π+0.1,4π-0.1,0.1},{a,1,5}]

Magyarázat : LILA - térgörbe, PIROS - normál, ZÖLD - tangenciális, KÉK - binormális, NARANCS - simulókör kp-ok vonala, GÖMB - simulókör megforgatva a binormális körül.