Differenciálgeometria - Második Házi Feladat - 3. Feladat

Készítette : Gyebrószki Gergely
2009. november 21.
(C) Szabadon felhasználható

Ajánlott Mathematica verzió : 6 vagy magasabb
Amennyiben más állomány is használta az aktuális kernelt, ne felejtse el újraindítani azt a kiértékelés megkezdése előtt.

Számítsa ki a gömbfelület tetszőleges pontjában a λ hányadossal jelemmzett érintőirányú normálmetszetének és a φ < π/2 szöggel definiált ferde metszetének a görbületét. Vesse össze az eredményt az elemi geometriai számítás eredményével.

r (u, v) = a Sin[u] Cos[v] i + a Sin[u] Sin[v] j + a Cos[u] k

λ=((OverDot[u])/(OverDot[v]))

A felület kétparaméteres egyenlete :

r[u_,v_] = {a Sin[u] Cos[v],a Sin[u] Sin[v], a Cos[u]};

Az elsőrendű parciális deriváltak :

ru[u_,v_]=D[r[u,v],u]

rv[u_,v_]=D[r[u,v],v]

A másodrendű parciális deriváltak :

ruu[u_,v_]=D[ru[u,v],u]

ruv[u_,v_]=D[ru[u,v],v]

Ellenőrzésként :

D[rv[u,v],u]

rvv[u_,v_]=D[rv[u,v],v]

A normálmetszet görbülete:

(Subscript[κ, n])=((L((OverDot[u])^2)+2M(OverDot[u])(OverDot[v])+N((OverDot[v])^2))/(E((OverDot[u])^2)+2F(OverDot[u])(OverDot[v])+G((OverDot[v])^2)))

λ=((OverDot[u])/(OverDot[v])) helyettesítésekor:

(Subscript[κ, n])=((L (λ^2)+2M λ+N)/(E (λ^2)+2F λ+G))

A Gauss - féle elsőrendű főmennyiségek :

Ε=ru[u,v].ru[u,v]

F=ru[u,v].rv[u,v]

G=rv[u,v].rv[u,v]

Az felületi normális :

m[u_,v_]=FullSimplify[ru[u,v]\[Cross]rv[u,v]]

Normálva :

m0[u_,v_]=m[u,v]/FullSimplify[
Sqrt[FullSimplify[((a^2) Cos[v] ((Sin[u])^2))^2+((a^2) ((Sin[u])^2) Sin[v])^2+((a^2) Cos[u] Sin[u])^2]],
{a>0,u∈Reals}]

A Gauss - féle másodrendű főmennyiségek :

L=ruu[u,v].m0[u,v]

M=ruv[u,v].m0[u,v]

Ν=rvv[u,v].m0[u,v]

Így a normálmetszet görbülete :

κn[u_,v_]=FullSimplify[(L*λ^2+ 2*M *λ+ Ν)/(Ε*λ^2 +2*F*λ +G)]

A ferde metszet görbülete pedig :

κφ[u_,v_,φ_]=κn[u,v]/Cos[φ]

Megfigyelhető, hogy a normálmetszet görbülete csak u és a értékétől függ. És az alábbi ábrák szerint +/- 1/a értékű, valamint, hogy a ferde metszet görbülete csak u, a és φ értékétől függ, és az alábbi ábrák szerinti értéket vesz fel.

u1=π/4;
u2=5π/4;
Manipulate[
Column[
{Show[
Plot[-((Sec[φ] Sign[Sin[u1]])/a),{φ,0,π/2-0.01},AxesOrigin->{0,0},AxesLabel->{φ,κφ},PlotRange->{-3,0},PlotLabel->Style["0 < u < π",16],PlotStyle->Thick],
ParametricPlot[{π/2,t},{t,150,-150},PlotStyle->{Red,Thick}],
ParametricPlot[{t,- Sign[Sin[u1]]/a},{t,0,π/2},PlotStyle->{Green,Thick}]
],
Show[
Plot[-((Sec[φ] Sign[Sin[u2]])/a),{φ,0,π/2-0.01},AxesOrigin->{0,0},AxesLabel->{φ,κφ},PlotRange->{0,3},PlotLabel->Style["π < u < 2π",16],PlotStyle->Thick],
ParametricPlot[{π/2,t},{t,150,-150},PlotStyle->{Red,Thick}],
ParametricPlot[{t,- Sign[Sin[u2]]/a},{t,0,π/2},PlotStyle->{Green,Thick}]
]
}],
{a,1,20,1}]

Jelmagyarázat : 
 zöld - a normálmetszet görbülete,
 piros - φ határa,
 kék - a ferde metszet görbülete.

Elemi geometriai számítás :

A normálmetszet görbületi sugara mindig egyenlő a gömb sugarával, ezért a normálmetszet görbülete (tisztán geometriai megfontolás alapján) :

κn=(1/a)

A ferde metszet görbülete kiszámítható, ha a λ - val jellemzett érintő irányából tekintünk a gömbre. Ebben a nézetben a metszősík csak egy egyenesnek látszik.

Manipulate[
Show[
Plot[a-Tan[π/2-φ]t,{t,-a,a},PlotRange->{{-a-0.1,a+0.1},{-a-0.1,a+0.1}},PlotStyle->{Orange,Thick},AspectRatio->1],
Graphics[{Blue,Thick,Circle[{0,0},a]}],
Plot[a-Tan[π/2-0.0001]t,{t,-0.1,a},PlotStyle->{Green,Thick}],
ParametricPlot[{2 a Cos[φ] Sin[φ],t},{t,-a,a}],
ParametricPlot[{t,Sign[Tan[φ]-1]*Sqrt[a^2-(2 a Cos[φ] Sin[φ])^2]},{t,-a,a}]
]
,{a,1,4}
,{φ,0.001,π/2}]

Magyarázat :
 kék - gömb vetülete,
 zöld - normális metszősík vetülete,
 narancs - ferde metszősík vetülete

Kiszámítható a kör és a ferde metszősík metszéspontja :

Solve[a-Tan[π/2-φ]x==Sqrt[a^2-x^2],x]

A metszéspontból pitagorasz tételének segítségével kiszámítható a ferde metszősík által a gömbből kimetszett kör átmérője :

X=0-2 a Cos[φ] Sin[φ];
Y=a+Sqrt[a^2-X^2];
Dφ=Sqrt[X^2+Y^2]

A ferde metszer sugara így :

Rφ=FullSimplify[Dφ,{a>0,π/2>φ>0}]/2

A ferde metszet görbülete így :

Κφ=1/Rφ

((Sqrt[2])/(a (Sqrt[1+Abs[Cos[2 φ]]])))/.{φ->0.5,a->3}

-((Sec[φ] Sign[Sin[u]])/a)/.{φ->0.5,a->3,u->1}

Manipulate[
Show[
Plot[((Sqrt[2])/(a (Sqrt[1+Abs[Cos[2 φ]]]))),{φ,0.01,π/4-0.01},PlotStyle->{Red,Thick}],
Plot[Sec[φ]/a,{φ,0.01,π/4-0.01}]
]
,{a,1,10,1}]

Az így számított görbület abszolút értéke megyegyezik az előző módon számolt görbület abszolút értékével. Tehát helyes mindkét eredmény.

Az eredmények megjelenítése :

Segédszámítások:

erinto=r[u0,v0]+λ ru[u0,v0] + rv[u0,v0];

normalis=erinto\[Cross]{a Sin[u0] Cos[v0],a Sin[u0] Sin[v0],a Cos[u0]};

helyegysegvektor=r[u0,v0]/Sqrt[FullSimplify[(a Cos[v0] Sin[u0])^2+(a Sin[u0] Sin[v0])^2+(a Cos[u0])^2,a>0]];

metszosikegy=({x,y,z}-r[u0,v0]).normalis==0;

ferdesiknormalis=normalis/Sqrt[FullSimplify[((a^2) Cos[u0] Cos[v0] Sin[u0]+(a^2) λ ((Cos[u0])^2) Sin[v0]+(a^2) λ ((Sin[u0])^2) Sin[v0])^2+(-(a^2) λ ((Cos[u0])^2) Cos[v0]-(a^2) λ Cos[v0] ((Sin[u0])^2)+(a^2) Cos[u0] Sin[u0] Sin[v0])^2+(-(a^2) ((Cos[v0])^2) ((Sin[u0])^2)-(a^2) ((Sin[u0])^2) ((Sin[v0])^2))^2,{a>0,λ>0}]]+Tan[φ]*helyegysegvektor;

ferdesikegy=({x,y,z}-r[u0,v0]).ferdesiknormalis==0;

Solve[metszosikegy,z];

Solve[ferdesikegy,z];

Ábra :

Manipulate[
Row[{
Dynamic[
Show[
ParametricPlot[{2π,t},{t,0,7},PlotStyle->Blue,PlotRange->{{0,7},{0,7}},AxesLabel->{Style[u,18],Style[v,18]},PlotLabel->Style["Paramétersík",16]],
ParametricPlot[{t,2π},{t,0,7},PlotStyle->Blue],
ParametricPlot[{u,v},{u,0,2π},{v,0,2π},Mesh->None,PlotStyle->Green],
ParametricPlot[{u0,t},{t,0,2π},PlotStyle->{Red,Thick}],
ParametricPlot[{t,v0},{t,0,2π},PlotStyle->{Orange,Thick}],
Graphics[Locator[Dynamic[{u0,v0}]]]
]
],
Dynamic[
Show[
ParametricPlot3D[{a Sin[u] Cos[v],a Sin[u] Sin[v], a Cos[u]},{u,0,2π},{v,0,2π},Mesh->None,PlotStyle->Opacity[0.3],ColorFunction->"BlueGreenYellow",AxesLabel->{Style[x,18],Style[y,18],Style[z,18]},PlotRange->{{-a,a},{-a,a},{-a,a}},PlotLabel->Style["Axonometrikus ábra",16]],
ParametricPlot3D[{a Sin[u0] Cos[v],a Sin[u0] Sin[v],a Cos[u0]},{v,0,2 π},PlotStyle->{Red,Thick}],
ParametricPlot3D[{a Sin[u] Cos[v0],a Sin[u] Sin[v0],a Cos[u]},{u,0,2π},PlotStyle->{Orange,Thick}],
Graphics3D[{Thick,Green,Line[{{a Sin[u0] Cos[v0],a Sin[u0] Sin[v0],a Cos[u0]},{a λ Cos[u0] Cos[v0]+a Cos[v0] Sin[u0]-a Sin[u0] Sin[v0],a Cos[v0] Sin[u0]+a λ Cos[u0] Sin[v0]+a Sin[u0] Sin[v0],a Cos[u0]-a λ Sin[u0]}}]}],
Graphics3D[{Thick,Blue,Line[{{0,0,0},{a Sin[u0] Cos[v0],a Sin[u0] Sin[v0],a Cos[u0]}}]}],
Plot3D[-(1/(((Cos[v0])^2)+((Sin[v0])^2)))((Csc[u0])^2) (y λ ((Cos[u0])^2) Cos[v0]-x Cos[u0] Cos[v0] Sin[u0]+y λ Cos[v0] ((Sin[u0])^2)-x λ ((Cos[u0])^2) Sin[v0]-y Cos[u0] Sin[u0] Sin[v0]-x λ ((Sin[u0])^2) Sin[v0]),{x,-a,a},{y,-a,a},Mesh->None,PlotStyle->{Red,Opacity[0.7]}],
Plot3D[((Sqrt[(a^2)]) (Sqrt[(a^4)+2 (a^4) (λ^2)-(a^4) Cos[2 u0]]) (-((Sqrt[(a^2)]) Cos[u0] ((Sqrt[2]) a (Sqrt[(a^2)]) ((Cos[v0])^2) ((Sin[u0])^2)+(Sqrt[2]) a (Sqrt[(a^2)]) ((Sin[u0])^2) ((Sin[v0])^2)-Cos[u0] (Sqrt[(a^4)+2 (a^4) (λ^2)-(a^4) Cos[2 u0]]) Tan[φ]))/((Sqrt[(a^4)+2 (a^4) (λ^2)-(a^4) Cos[2 u0]]))+(1/((Sqrt[(a^2)]) (Sqrt[(a^4)+2 (a^4) (λ^2)-(a^4) Cos[2 u0]])))(-x+a Cos[v0] Sin[u0]) ((Sqrt[2]) ((((a^2)))^(3/2)) Cos[u0] Cos[v0] Sin[u0]+(Sqrt[2]) ((((a^2)))^(3/2)) λ ((Cos[u0])^2) Sin[v0]+(Sqrt[2]) ((((a^2)))^(3/2)) λ ((Sin[u0])^2) Sin[v0]+a (Sqrt[(a^4)+2 (a^4) (λ^2)-(a^4) Cos[2 u0]]) Cos[v0] Sin[u0] Tan[φ])-(1/((Sqrt[(a^2)]) (Sqrt[(a^4)+2 (a^4) (λ^2)-(a^4) Cos[2 u0]])))(-y+a Sin[u0] Sin[v0]) ((Sqrt[2]) ((((a^2)))^(3/2)) λ ((Cos[u0])^2) Cos[v0]+(Sqrt[2]) ((((a^2)))^(3/2)) λ Cos[v0] ((Sin[u0])^2)-(Sqrt[2]) ((((a^2)))^(3/2)) Cos[u0] Sin[u0] Sin[v0]-a (Sqrt[(a^4)+2 (a^4) (λ^2)-(a^4) Cos[2 u0]]) Sin[u0] Sin[v0] Tan[φ])))/(-(Sqrt[2]) ((((a^2)))^(3/2)) ((Cos[v0])^2) ((Sin[u0])^2)-(Sqrt[2]) ((((a^2)))^(3/2)) ((Sin[u0])^2) ((Sin[v0])^2)+a Cos[u0] (Sqrt[(a^4)+2 (a^4) (λ^2)-(a^4) Cos[2 u0]]) Tan[φ]),{x,-a,a},{y,-a,a},Mesh->None,PlotStyle->{Purple,Opacity[0.7]}]
]
]
}],
{a,1,4},
{u0,0.01,2π},
{v0,0.01,2π},
{λ,1/20,10},
{φ,0,π/2-0.01}
]

Jelmagyarázat : 
 zöld tartomány (paramétersíkon) - a paraméterek tartománya,
 piros - u0 paramétervonal,
 narancs - v0 paramétervonal,
 zöldes felület - a vizsgált gömb felülete,
 kék - (u0, v0) paraméterekhez tartozó felületi pont normálvektora,
 zöld - (u0, v0) paraméterekhez tartozó, λ-val jellemzett irányú érintő,
 piros sík - normálmetszet,
 lila sík - a normálmetszettel φ szöget bezáró ferde metszet.
A szálkeresztet mozgatva tetszőleges (u0, v0) paraméter állítható be.