Differenciálgeometria - Második Házi Feladat

Készítette : Gyebrószki Gergely
2009. november 21.
(C) Szabadon felhasználható

2. feladat. Számítsa ki az alábbi egyenlettel leírható tórusz felszínét!

A tórusz felületének egyenlete :
r (u, v) = (a + b Cos[u]) Cos[v] i + (a + b Cos[u]) Sin[v] j + b Sin[u] k
A paraméterek tartománya :
0 ≤ u ≤ 2 π, 0 ≤ v ≤ 2 π

Megoldás :

A felület egyenlete :

r[u_,v_]={(a+b Cos[u]) Cos[v],(a + b Cos[u]) Sin[v],b Sin[u]};

A parciális deriváltak :

ru[u_,v_]=D[r[u,v],u]
rv[u_,v_]=D[r[u,v],v]

A Gauss - féle elsőrendű főmennyiségek :

Ε[u_,v_]=ru[u,v].ru[u,v]
F[u_,v_]=ru[u,v].rv[u,v]
G[u_,v_]=rv[u,v].rv[u,v]

A keresett felszín :

A=(∫_0^(2π))(∫_0^(2 π))√(Ε[u,v] G[u,v]-F[u,v]^2)\[DifferentialD]u\[DifferentialD]v

Az eredmények megjelenítése :

Manipulate[
Column[{
Dynamic[
Show[
ParametricPlot[{2π,t},{t,0,7},PlotStyle->Blue,PlotRange->{{0,7},{0,7}},AxesLabel->{Style[u,18],Style[v,18]},PlotLabel->Style["Paramétersík",16]],
ParametricPlot[{t,2π},{t,0,7},PlotStyle->Blue,PlotRange->{{0,7},{0,7}}],
ParametricPlot[{u0,t},{t,0,7},PlotStyle->{Red,Thick}],
ParametricPlot[{t,v0},{t,0,7},PlotStyle->{Orange,Thick}],
ParametricPlot[{u,v},{u,0,2π},{v,0,2π},Mesh->None,PlotStyle->Green],
Graphics[Locator[Dynamic[{u0,v0}]]]
]
],
Dynamic[
Show[
ParametricPlot3D[{(a+b Cos[u]) Cos[v],(a + b Cos[u]) Sin[v],b Sin[u]},{u,0,2π},{v,0,2π},Mesh->None,ColorFunction->"AvocadoColors",PlotStyle->Opacity[0.5],PlotLabel->Style["Axonometrikus ábra",16],AxesLabel->{Style[x,18],Style[y,18],Style[z,18]}],
ParametricPlot3D[{(a+b Cos[u0]) Cos[v],(a + b Cos[u0]) Sin[v],b Sin[u0]},{v,0,2π},PlotStyle->{Red,Thick}],
ParametricPlot3D[{(a+b Cos[u]) Cos[v0],(a + b Cos[u]) Sin[v0],b Sin[u]},{u,0,2π},PlotStyle->{Orange,Thick}],
Graphics3D[{Thick,Blue,Line[{{a*Cos[v0],a*Sin[v0],0},{(a+b Cos[u0]) Cos[v0],(a + b Cos[u0]) Sin[v0],b Sin[u0]}}]}]
]
],
Dynamic[Row[{Style["A tórusz felszíne: V = ",16],Style[((4 a (Sqrt[(b^2) (((a+b))^2)]) (π^2))/(a+b)),16]," ",Style[Superscript[e,2],16]}]]
}
],
{a,1,4},
{b,0.5,a},
{u0,0,2π},
{v0,0,2π}
]

Jelmagyarázat : 
 zöld tartomány (paramétersíkon) - a paraméterek tartománya,
 piros - u0 paramétervonal,
 narancs - v0 paramétervonal,
 zöldes felület - a vizsgált tórusz felülete,
 kék - (u0, v0) paraméterekhez tartozó felületi pont normálvektora.
A szálkeresztet mozgatva tetszőleges (u0, v0) paraméter állítható be.