BME MATEMATIKA MESTERSZAK (MSc)

 

Differenciált szakmai ismeretek tárgyainak tárgyleírása

 

 

 

Jelölés: Az egyes tárgyak leírásában megjelentetett e/g/l/t/k jelölés feloldása

e = előadások heti óraszáma,

g = gyakorlatok heti óraszáma,

l = laboratóriumi foglalkozások heti óraszáma,

t = teljesítés módja = v(izsga) vagy f(élévközi jegy),

k = kreditszám.

 

Differenciált szakmai ismeretek : Algebra blokk

 

 

Gyűrűk és csoportok reprezentációelmélete                              3/1/0/f/5

 

Tárgyfelelős: Horváth Erzsébet

További oktatók: Lukács Erzsébet, Héthelyi László

 

Csoportalgebra, Maschke-tétel, Schur-lemma, Wedderburn-Artin-tétel. Karakterek, ortogonalitási relációk, indukálás, Frobenius-reciprocitás, Mackey tétele. Clifford-elmélet. Alkalmazások: Burnside-tétel, Frobenius-mag, karaktertáblák. A moduláris reprezentációelmélet elemei (blokkok, Brauer-karakterek, projektív  felbonthatatlan karakterek). Felbonthatatlan modulusok. Krull–Schmidt–Azumaya tétel. Modulus radikálja, feje, talpa. Brauer-gráf. Moduluskategóriák vizsgálata. Véges dimenziós algebrák reprezentációelmélete: az Auslander–Reiten elmélet.

 

Irodalom:

I.M. Isaacs: Character theory of finite groups,  Dover, 1994

G. Navarro: Characters and blocks of finite groups, Cambridge University Press, 1998

D.J. Benson: Representations and cohomology I., Cambridge Studies in Advanced

Mathematics 30, Cambridsge University

 

 

Haladó lineáris algebra                                                          2/0/0/v/3

 

Tárgyfelelős: Horváth Erzsébet

További oktatók: Rónyai Lajos, Nagy Attila

 

Tenzorszorzat (Kronecker-szorzat), szimmetrikus és alternáló szorzat. Hom-funktor, adjungált funktorok, csoportreprezentációk konstrukciója lineáris algebrai eszközökkel. Differenciálformák és tenzorok a geometriában és fizikában. Normálformaelmélet számgyűrűk, illetve testek felett. Nilpotens és féligegyszerű endomorfizmusok, Jordan-Chevalley-felbontás. Nemnegatív elemű mátrixok, a Frobenius–Perron-elmélet alapjai. A szinguláris értékek szerinti felbontás (SVD) és alkalmazásai.

 

Irodalom:

V.V. Prasolov: Problems and theorems in linear algebra, AMS 1994
P.R. Halmos: Finite-dimensional vector spaces, Van Nostrand Princeton, 1958
Horváth Erzsébet: Lineáris algebra, Műegyetemi Kiadó, 1995

 

 

Homologikus algebra                                                              2/0/0/f/2

 

Tárgyfelelős: Küronya Alex

További oktatók: Ivanyos Gábor, Rónyai Lajos

 

Alapfogalmak: lánckomplexusok, egzaktság, homológiamodulusok, homotópia, műveletek lánckomplexusokkal, hosszú egzakt sorozat létezése, funktorok, 3x3-lemma, 5-lemma, kígyó-lemma, alkalmazások. Multilineáris algebra gyűrűk felett: Hom-funktor és tenzorszorzat, szimmetrikus és alternáló szorzat, direkt és inverz limesz, p-adikus számok, pro-véges csoportok, adjungált funktorok és féligegzaktság. Derivált funktorok: kohomologikus delta-funktorok, projektív és injektív modulusok, projektív, injektív és szabad feloldás, bal- és jobb oldali derivált funktorok. Tor és Ext: a Tor funktor kiszámítása Abel-csoportokra, lapos modulusok, Tor és Ext kiszámítása jól ismert gyűrűkre, Künneth-formulák, univerzális együttható tétel, gyűrűk homologikus dimenziója, kis dimenziós gyűrűk. Csoportok kohomológiája. Shapiro-lemma, Hilbert 90-es tétele véges Galois-bővítésekre, az első kohomológiacsoport, felfújás és megszorítás, transzfer. Spektrális sorozatok: spektrális sorozat definíciója, korlátosság, a Lyndon–Hochschild–Serre spektrális sorozat és alkalmazása csoportok kohomológiáinak kiszámítására.

 

Irodalom:

Charles Weibel: Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press (1995)

Joseph J Rotman: An Introduction to Homological Algebra, Springer Verlag (2007)

M. Scott Osborne: Basic Homological Algebra, Springer Verlag (2007)

Serge Lang: Algebra, 4. kiadás, Springer Verlag (2005)

 

 

 

Differenciált szakmai ismeretek : Analízis blokk

 

 

Mátrixanalízis                                                                           2/0/0/v/3

 

Tárgyfelelős: Petz Dénes

További oktatók:

 

Lineáris terek, lineárisan független vektorok, bázis, lineáris leképezések és mátrixuk. Belső szorzat, Hilbert-tér, ortonormált bázis. Normák a mátrixtereken. Önadjungált és unitér mátrixok. Mátrixok sajátvektorai, sajátértékek és szinguláris értékek, valamint a lokalizációjuk. Pozitív definit mátrixok és tulajdonságaik. Mátrixok tenzorszorzata és Hadamard-szorzata, Schur-lemma, ezeknek a szorzatoknak az alkalmazásai. Mátrixok függvényei, a rezolvens és az exponenciális függvény tulajdonságai, Lie-Trotter formula. Mátrixfüggvények differenciálása. Egyenlőtlenségek: Mátrixmonoton és mátrixkonvex függvények, exponenciális, logaritmus- és hatványfüggvények.  Blokkmátrixok tulajdonságai és használata. Mátrixok számtani és mértani közepe. Mátrixok alkalmazása lineáris differenciálegyenletek megoldására. Pozitív elemű mátrixok.

 

Irodalom:
Rajendra Bhatia: Matrix Analysis, Springer, 1997
Kérchy László: Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe, Polygon, 1997
Petz Dénes: Lineáris analízis, Akadémiai Kiadó, 2002
Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Műszaki Könyvkiadó, 1976

 

 

Operátorelmélet                                                                                 3/1/0/v/5

 

Tárgyfelelős: Nagy Béla

További oktatók:

 

Hilbert terek alapfogalmait ismertnek feltételezzük. Zárt és lezárható operátorok, a zárt gráf tétel. A spektrálelmélet alapjai zárt operátorokra. Zárt szimmetrikus és önadjungált operátorok. Szimmetrikus operátor és önadjungált kiterjesztése. Hermitikus forma által definiált operátorok. Zárt normális operátorok.

Véges rangú és kompakt operátorok. Hilbert–Schmidt operátorok. Mátrix operátorok.

Integrálás spektrál mértékre vonatkozóan. Zárt önadjungált operátorok spektrálfelbontása és spektrumának tulajdonságai. Normális operátorok spektrálfelbontása.

Szimmetrikus operátorok kiterjesztései: defekt indexek és Cayley transzformáltak. Kiterjesztés a Hilbert tér bővítésével: Najmark tétele. Önadjungált kiterjesztések és spektrumaik. Analitikus vektorok. Önadjungált operátorok perturbációja. Scattering. Egyoldali eltolás operátora, Wold–Neumann felbontás. Kétoldali eltolás. Kontrakciók. Invariáns vektorok, kanonikus felbontás. Kontrakció izometrikus és unitér dilatációja.

Operátorok Banach terekben. Holomorf függvények és kontúrintegrálok. Holomorf  függvénykalkulus korlátos, ill. zárt operátorokra. Kompakt operátorok. A Riesz–Schauder elmélet. Nöther és Fredholm operátorok. Operátor félcsoportok Banach terekben. Lineáris rendszerek operátorelméleti alapjai.

Banach algebrák. Spektrum. Holomorf függvénykalkulus. Ideálok. A Gelfand transzformáció.  C*-algebra elemének spektruma. A Gelfand–Najmark kommutatív tétel. C*-algebrák reprezentációja.

 

Irodalom:

I. Gohberg, S. Goldberg and M.A. Kaashoek: Basic classes of linear operators. Birkhauser, Basel, 2003
J. Weidmann: Linear operators in Hilbert space. Springer, Berlin, 1980
M. Birman and M. Solomyak: Spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert space. Leningrad, 1980 (in Russian. There is also an English translation of the book).

 


Potenciálelmélet                                                                                2/0/0/f/3

 

Tárgyfelelős: G. Horváth Ágota

További oktatók:

 

Motiváció: elektrosztatika. Dirichlet probléma, Brown mozgás. Logaritmikus potenciál: minimumelv, extremális mérték, egyensúlyi potenciál, mérték és potenciál kapcsolata. Súlyozott polinomok: súlyozott Fekete-pontok, transzfinit átmérő, Csebisev-polinom.  Dirichlet probléma nem folytonos ill. nem korlátos peremfeltétellel. (Perron-Wiener-Brelot megoldás, súlyozott terek, harmonikus mérték.) Regularitási problémák, kisöprési mérték, Brown-mozgás és harmonikus mérték kapcsolata.

 

 

Irodalom:

D. R. Adams and L. I. Hedberg, Function Spaces and Potential Theory, Springer, 1996

V. I. Fabrikant, Mixed Boundary Value Problems of  Potential Theory and their Aplications in Engineering, Kluwer Acad. Publ. Group, Netherlands, 1991

J. L. Dob, Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer, 1984

O. D. Kellogg, Foundations of Potential Theory, Springer, 1929

H. N. Mhaskar, Introduction to the Theory of Weighted Polynomial Approximation, World

Scientific, 1996

(Szerk.) K. Nagy,  Elméleti fizikai példatár, Tankönyvkiadó, 1981

T. Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Camridge Univ. Press, 1994

E. B. Saff and V. Totik , Logarithmic Potentials with External Fields,  Springer, 1997

 

 

Inverz szórási feladatok                                                        2/0/0/v/3

 

Tárgyfelelős: Horváth Miklós

További oktatók:

 

A látás, a radar, az ultrahangos orvosi vizsgálat, a földkéreg szerkezetének kutatása, az elemi részecskék közti kölcsönhatások vizsgálata csak néhány példa inverz szórási feladatokra. A kurzus célja ezen problémák matematikai apparátusának bemutatása, bevezető jelleggel. A főbb témakörök:

Időfüggő felépítés: hullámoperátor, szórási operátor, szórásmátrix. Időfüggetlen felépítés: szórásamplitúdó, Lippmann–Schwinger egyenlet. Dirichlet-to-Neumann operátor, Sylvester–Uhlmann alaptétel. Akusztikus szórás, elektromágneses szórás. Egy- és háromdimenziós kvantum szórási feladatok.  A kvantummechanikai soktest-probléma.

 

Irodalom:

V. Isakov, Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer, New York 1998

D. Yafaev, Scattering Theory: Some Old and New Problems, Springer, Berlin, 2000

D. Colton and R. Kress, Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory, Springer, Berlin 1998

M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics III: Scattering Theory, Academic Press 1979

K. Chadan and P. Sabatier, Inverse Problems in Quantum Scattering Theory, Springer 1989    

 

 

Nemlineáris hiperbolikus egyenletek                                         2/0/0/v/3

 

Tárgyfelelős: Fritz József
További oktatők: Tóth Bálint

 

A megoldások megszakadásának és az unicitás megszűnésének jelensége, irreverzibilitás. A karakterisztikák módszere. Szakaszonként folytonos megoldások, lökéshullámok.
Önhasonló megoldások és az entrópia-elv. A Burgers egyenlet Hopf–Lax–Oleinik megoldása. A viszkózus megoldás, Lax entrópia egyenlőtlensége.
Kompenzált kompaktság. Gyenge konvergencia és Young mérték. Konvex függvények gyenge konvergenciája. Tartar és Murat alaptételei. DiPerna elmélete, a gázdinamika és a rugalmasságtan nemlineáris egyenletei. A hidrodinamika mikroszkopikus modelljei.

 

Irodalom:

L.C.Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 2002

J. Smoller: Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations. Springer 1983
Fritz  J.: Hyperbolic Equations and Systems. www.math.bme.hu/jofri/oktat

 

 

Fraktálok és geometriai mértékelmélet                              2/0/0/f/3

 

Tárgyfelelős: Simon Károly

További oktatók:

 

Bevezetés: Mértékelméleti és topológiai alapok ismétlése. Vitali lefedési tétele, Besicovitch lefedési tétele.

Fraktálok a síkon és a térben: A legismertebb önhasonló és ön-affin halmazok. 

Box dimenzió és a Hausdorff dimenzió  fogalma.

Dimenzió kiszámítsa önhasonló fraktálokra. Hausdorff dimenzió potenciálelméleti karakterizációja.

Mérték lokális dimenziója, önhasonló mértékek multifraktál analízise.

Véletlen Cantor halmazok dimenziója és a Mandelbrot perkoláció.

Brown mozgás mint véletlen fraktál.

Egydimenziós Brown mozgás grafikonjának Hausdorff dimenziója. Többdimenziós Brown mozgás trajektoriájának dimenziója és Lebesgue mértéke.

Véletlen fraktálos eszközökkel: -ban (k>1) különböző kezdőpontból indított független Brown mozgások trajektóriái lehetséges metszetének vizsgálata.

 

 

Irodalom:

E.A. Edgar: Integral probability and fractal measures. Springer 1998.

K. Falconer: The geometry of fractal sets. Cambridge, 1985.

K. Falconer: Fractal Geometry, Wiley, 2005.

K. Falconer: Techniques in fractal geometry, Wiley 1997.

Laczkovich M.: Valós függvénytan. ELTE egyetmi jegyzet 1995.

P. Mattila: Geometry of Sets and Measures in Eclidean Spaces. Cambridge, 1995.

K.R. Parthasaraty, Probability measures on metric spaces, Academic Press 1967.

Y. Peres: An invitation to sample paths of Brownian motion. 2001 Preprint.

 http://stat-www.berkeley.edu/~peres/bmall.pdf      

 

 

                                                                                  

Differenciált szakmai ismeretek : Diszkrét matematika blokk

 

 

Algoritmusok és bonyolultságuk                                          3/1/0/f/5

 

Tárgyfelelős: Friedl Katalin 

További előadók: Pintér Márta, Telcs András 

 

Rövid tematika, címszavakban:

A kódoláselmélet algoritmikus kérdései. Geometriai algoritmusok (legközelebbi pontpár, konvex burok meghatározása). Alapvető párhuzamos algoritmusok (PRAM-ek, Brent-elv a gyorsításra). Elosztott algoritmusok hibátlan esetben, egyezségre utás, ill. ennek lehetetlensége különböző típusú hibák esetén (vonalhiba, leállás, Bizánci típusú hiba). Interaktív bizonyítások, IP=PSPACE. On-line algoritmusok. Paraméteres bonyolultság (korlátos mélységű keresőfák, a gráfminor tétel következményei, W[1]-teljesség). A kvantumalgoritmusok alapjai.

 

Irodalom:

T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, C. Stein: Új algoritmusok, Scolar Kiadó,   Budapest ), 2003

 

 

Gráfok, hipergráfok és alkalmazásaik                                 3/1/0/f/5

 

Tárgyfelelős: Katona Gyula Y

További előadók: Recski András, Csákány Rita, Szeszlér Dávid

 

Rövid tematika, címszavakban:

Tutte tétel és Vizing tétel bizonyítása, alkalmazás az általános faktorproblémára, stabil párosítások, Gale–Shapley tétel.

Dinitz probléma, listaszínezés, listaszínezési sejtés, Galvin tétel, síkgráfok

listaszínezése, Thomassen és Voigt tételei. Hipergráfok bevezetése, nézőpontok: gráfok általánosításai, halmazrendszerek, 0-1 sorozatok halmazai. Gráfelméleti eredmények általánosítása: Baranyai tétel, Ryser-sejtés. Nevezetes extremális halmazelméleti eredmények: Sperner tétel, LYM egyenlőtlenség, Ahlswede–Zhang azonosság, Erdos–Ko–Rado tétel, Kruskal–Katona tétel. Ramsey tétele gráfokra és hipergráfokra, geometriai alkalmazások. Lineáris algebra alkalmazására példák: Páratlanváros tétel, Graham–Pollak tétel.További geometriai alkalmazások: Chvátal "art gallery" tétele, Borsuk sejtés Kahn–Kalai–Nilli féle cáfolata. Kombinatorikus optimalizálási feladatok poliéderes leírása, példák, perfekt gráfok politópos jellemzése.   

 

Irodalom:

Berge, Claude: Gráfok és hipergráfok (angol nyelven) North-Holland Mathematical Library 6, 1976
Bollobás Béla: Kombinatorika– Halmazrendszerek, hipergráfok, vektorcsaládok és véletlen módszerek a kombinatorikában, (angol nyelven) Cambridge University Press, Cambridge, 1986

 

 

Differenciált szakmai ismeretek : Geometria blokk

 

 

Projektív geometria                                                                      2/2/0/f/5

 

Tárgyfelelős: G. Horváth Ákos

További oktatók: Molnár Emil, Szirmai Jenő

 

Gyakorlati perspektíva és az ideális térelemek bevezetése. Harmonikus négyes. Projektív skála. Projektív összeadás, szorzás. Illeszkedési struktúrák.Projektív és affin síkok.

Galois-geometriák. Koordináta test jellemzése a Desargues-, Papposz–Pascal tétel alapján. Projektív koordináta-rendszer. A projektív geometria alaptétele és a kollineációk

jellemzése (véges test, valós és komplex test felett). A lineáris algebra eszközeinek használata, n-dimenziós szférikus tér, projektív tér, affin tér. Kollineációk és polaritások osztályozása a Jordan-féle normálalak alapján. Projektív metrikák, euklideszi és nem-euklideszi terek áttekintése. A számítógépi megjelenítés projektív geometriai alapjai. 3-dimenziós és 4-dimenziós centrális vetítés a számítógép képernyőjén.

 

Irodalom:

M. Berger: Geometry I, II  Springer, 1994

H.S.M. Coxeter: Projective Geometry  Univ. of Toronto Press, 1974

 

 

Kombinatorikus és diszkrét geometria                                        3/1/0/f/5

 

Tárgyfelelős: G. Horváth Ákos

További oktatók: Molnár Emil, Szirmai Jenő

 

Helly, Radon, Caratheodory tételek és alkalmazásaik, pontok konvex burkának

algoritmikus előállítása, n-dimenziós Euler–Poincare formula konvex poliéderre.

Pontrendszerek átmérője  (pontrendszer által meghatározott egyenlő hosszú szakaszok, azonos területű háromszögek maximális száma), Erdős–Szekeres tétel és

következményei, szakaszok metszéspontjainak számáról,

egyszerű sokszög triangulációja .

Brower fixpont tétel, Borsuk–Ulam tétel, Euler–Poincare formula szimpliciális

komplexusra.

 A rácsgeometria algoritmikus és bázisválasztási problémáiról: Minkowski, Hermite, Korkine–Zolotareff és Lovász redukciók, Dirichlet–Voronoi cellák és rövid vektorok. Kódelméleti alkalmazások.

 

Irodalom:

Szabó László: Kombinatorikus Geometria és Geometriai algoritmusok, Polygon, 2003

E.M. Patterson: Topology, Oliver and Boyd, Edinburgh and London,1956

P.M. Gruber- C.G. Lekkerkerker: Geometry of numbers, North-Holland Mathematical Library 1987

B. Grunbaum, Convex polytopes, John Wiley and Sons, 1967

 

 

Nemeuklideszi geometria                                                             3/1/0/f/5

 

Tárgyfelelős: G. Horváth Ákos

További oktatók: Molnár Emil, Szirmai Jenő

 

A tárgy célja, hogy bemutassuk a klasszikus állandó görbületű nemeuklideszi geometriákat, azok modelljeit 2 és 3 dimenzióban, valamint betekintést adunk a relativitáselmélet geometriai vonatkozásaiba.

Hiperbolikus tér:  Modellek, és kapcsolataik (Cayley–Klein-, Poincaré-, féltér-, komplex-, vektormodell).

d=2: trigonometria, területszámítás, átdarabolhatóság, nem valós csúcsú háromszögek terület fogalma, számolások modellekben.

Hiperbolikus sík diszkrét csoportjairól, Coxeter csoportok, kövezések.

d=3 Síkok gömbök, horoszférák, hiperszférák, ezek felírása. Poliéderek térfogatszámítása. Lobacsevszkij függvény, „Coxeter honeycombs”.

Szférikus tér: a hiperbolikus geometriában leírtak mintájára áttekintjük a d = 2, 3 dimenziós szférikus terek analóg kérdéseit.

Relativitáselmélet:

A tér-idő lineáris geometrizálása 1 + 1 dimenzióban: Galilei tér-idő affin síkon, Gelilei-transzformáció és sebességösszeadás. Lorentz tér-idő és Minkowski-sík. Lorentz-transzformáció és sebességösszeadás, az időrövidülés problémája.

Tér-idő sokaság: Differenciálható sokaság és érintőterei (ismétlés), Riemann és pszeudo-Riemann sokaság. Tenzor-fogalom. Kovariáns deriválás és görbületi tenzor. Ricci-tenzor és az Einstein-egyenlet.

Schwarzschild megoldás: Merkur pálya-ellipszis elfordulása, fényelhajlás, vörös-eltolódás

 

Irodalom:

Alekseevskij, D. V.; Vinberg, È. B.; Solodovnikov, A. S. Geometry of spaces of constant curvature. Geometry, II, 1–138, Encyclopaedia Math. Sci., 29, Springer, Berlin, (1993)

G. Horváth Á. –  Szirmai J. Nemeuklideszi geometriák modelljei, Typotex, Budapest (2004)

Novobáczky Károly: A relativitás elmélete, Tankönyvkiadó, Bp. (1963)

R!. Sachs – H. Wu: General Relativity  for Mathematicians, Springer (1977)

Előadói jegyzetek

 

 

 

Differenciált szakmai ismeretek : Operáció kutatás blokk

 

 

Nemlineáris programozás                                                             3/1/0/v/5

 

Tárgyfelelős: Mádi-Nagy Gergely

További oktatók Tóth Boglárka

 

I. Optimalitás feltételei: Elsőrendű szükséges feltételek (feltétel nélküli optimalizálás). Másodrendű szükséges + elégséges feltételek (feltétel nélküli optimalizálás). Konvex (és konkáv) függvények tulajdonságai, minimalizálás és maximalizálás. Ponthalmaz leképezések, zártság, összetett leképezések, globális konvergencia-tétel.

II. Vonal menti optimalizálás:  Konvergencia-sebesség, Armijo szabály. Fibonacci, aranymetszés, Newton módszer vonal menti optimalizálásra. Görbe illesztéses algoritmusok, pontatlan vonal menti optimalizálás zártsága.

III. Feltétel nélküli optimalizálás:  Legmélyebb leszállás algoritmusa, Kantorovich egyenlőtlenség, konvergenciasebesség.  Newton módszer.  Koordinátánkénti minimalizálás, konvergencia és zártság, távolságtartó lépések.  Konjugált irányok, kiterjeszkedő alterek.  Konjugált gradiens módszer, optimalitása. A részleges konjugált gradiens módszer, konvergenciasebesség. Nem-kvadratikus problémák, Fletcher–Reeves, PARTAN Kvázi-Newton módszerek,  legmélyebb leszállás és Newton módszer kombinációja.

Legkisebb négyzetek módszere, Gauss–Newton és Levenberg–Marquardt algoritmus

IV. Feltételek melletti optimalizálás:  Tangens sík, regularitás - feltételek karakterizálása.  Elsőrendű szükséges feltételek. Másodrendű szükséges és elégséges feltételek. Primál módszerek, megengedett irányok (Zoutendijk).

Aktív halmaz stratégia, munkahalmaz, Langrange szorzók szerepe, érzékenység.  Kuhn–Tucker tétel.

Gradiensvetítés, lineáris feltételek esetén, nemlineáris feltételek esetén.  A redukált gradiens módszer.  Büntető és korlát függvények módszerei. Lokális dualitás tétel. Duál és metszősík módszerek. Lineáris komplementaritási feladat. A kvadratikus programozási feladat és a komplementaritási feladat kapcsolata. Belsőpontos algoritmusok.    

 

Irodalom: 

D.G. Luenberger: Linear and Nonlinear Programming, second edition, Addison Wesley, 1984.      

M.S Bazaraa, H.D.Sherali, C.M.Shetty: Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, John Wiley and Sons, New York, 1993,

E.deKlerk, C.Roos, T.Terlaky: Nemlineáris optimalizálás, Operációkutatás sorozat, No. 5., Aula kiadó

 

 

Sztochasztikus programozás                                                                  3/1/0/v/5

 

Tárgyfelelős: Szántai Tamás

További oktatók Mádi-Nagy Gergely

 

Statisztikai döntési elvek. Pétervári probléma, Bernoulli-elv és az újságárus probléma, holland gátmagasítási probléma, ‘safety first’ elv, Marschak döntési elv, a Bayes-i döntési elv, Markowitz elv, játékelmélet, Neumann János tétele.

Konvexitási tételek. A logkonkáv mértékek elmélete. Általános konvexitási tételek. Valószínűségi eloszlásfüggvények konkávitási és kvázi-konkávitási tételei.

Statikus sztochasztikus programozási modellek. Valószínűség maximalizálás. Egyedi, illetve együttes valószínűségi korlátokat tartalmazó sztochasztikus programozási feladatok elmélete és megoldási módszerei. Feltételes várható értéket tartalmazó modellek. Véletlen célfüggvényes modellek. Büntetéses sztochasztikus programozás elmélete és speciális esetekre vonatkozó megoldási módszerei: diszkrét eloszlás, egyenletes eloszlás esete.

Dinamikus sztochasztikus programozási modellek. Kétlépcsős sztochasztikus programozási feladat és matematikai tulajdonságai. Diszkrét valószínűségi vektorváltozóra vonatkozó kétlépcsős sztochasztikus programozási feladat megoldása bázis dekompozíciós módszerrel. A Wets-féle , ‘L-shaped’ megoldási módszer. A sztochasztikus dekompozíció és a feltételes sztochasztikus dekompozíció módszere. Sztochasztikus kvázi-gradiens módszerek. Többlépcsős sztochasztikus programozási feladatok. Bázis dekompozíció és ‘L-shaped’ megoldó módszer a többlépcsős sztochasztikus programozási feladatok esetében.

A sztochasztikus programozás néhány alkalmazása. Elektromos energia véletlen hatások melletti termelése és kapacitás bővítése. Erőművi megbízhatósági elemzések. Tó vízkészlet szabályozása. Tározók optimális irányítása. A PERT probléma. Pénzügyi modellek.     

 

Irodalom:

A. Prékopa: Stochasztic Programming, Kluwer Academic Publishers, Budapest, 1995     

 

 

Differenciált szakmai ismeretek : Számelmélet blokk

 

 

 

Algebrai számelmélet                                                                                2/0/0/v/3  

 

Tárgyfelelős: Wettl Ferenc

További oktatók: Ivanyos Gábor

 

Ízelítő: Gauss-egészek és Lagrange tétele, valós kvadratikus testek és Pell-egyenletek. Algebrai számok, algebrai egészek. Algebrai számtestek, nyom és norma. Rácsok, rendek, egész-zártság, törtideálok. Dedekind-gyűrűk és ezek tulajdonságai, ideálok faktorizációja, faktorizáció bővítésekben. Bevezetés az értékeléselméletbe; algebrai számtestek értékelései. A Dirichlet-féle log-leképezés, Dirichlet egységtétele, Pell-egyenletek. Minkowski tétele rácsokra. Ideálok normája. Az osztálycsoport végessége. Körosztási testek egészeiről, a Fermat-tétel reguláris prím kitevőre. A Hasse-elv kvadratikus alakokra. Betekintés az osztálytest elméletbe.

 

Irodalom:

Lang S.: Algebraic Number Theory, Springer, 2000
Niven I., Zuckerman H.S., Montgomery H.L.: An Introduction to the Theory of  Numbers, Wiley, 1991
Freud R., Gyarmati E.: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000
Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, 1998

 

Analitikus számelmélet                                                                2/0/0/f/2

 

Tárgyfelelős: Sándor Csaba

További oktatók:

 

A tárgy célja, hogy a matematika egy klasszikus fejezetének módszereivel, eredményeivel megismertesse a hallgatókat. Partíciók, additív problémák, reprezentációfüggvények. A generátorfüggvény-módszer. Additív reprezentációfüggvények átlagának közelítése: Erdős–Fuchs tétel. Háromtagú számtani sorozatot nem tartalmazó sorozatok sűrűsége. Hardy–Ramanujan-féle partíció-tétel. Waring-probléma. Dirichlet-sorok; L-függvények és gyökeik. A Prímszámtétel bizonyítása.

 

Irodalom:

Donald J. Newman, Analytic Number Theory, Springer, 2000

 

 

Algebrai és aritmetikai algoritmusok                                                  3/1/0/f/5

 

Tárgyfelelős: Nagy Attila

További oktatók: Horváth Erzsébet, Wettl Ferenc, Ivanyos Gábor

 

Alapvető módszerek: műveletek egész számokkal, polinomokkal, mátrixokkal. A véges Fourier-transzformáció és alkalmazásai, a bilineáris bonyolultság elemei. Kínai maradéktétel, moduláris aritmetika. Prímtesztelés. Algoritmusok egész számok felbontására és a diszkrét logaritmus-feladatra. Kriptográfiai alkalmazások. Polinomok hatékony felbontása véges testek és algebrai számtestek felett. Elliptikus görbék, alapvető algoritmusok, ezek alkalmazásai. Moduláris algoritmusok és interpoláció. Hermite, Cauchy, Padé approximáció. Gröbner bázisok.

Irodalom:

Iványi Antal: Informatikai algoritmusok (Algebra, Komputer algebra, Számelmélet fejezetek)

 

 

 

Differenciált szakmai ismeretek : Sztochasztika blokk

 

 


Markov-folyamatok és martingálok                                                       3/1/0/v/5

 

Tárgyfelelős: Balázs Márton

További oktatók: Fritz József, Tóth Bálint

 

1. Martingálok:

Ismétlés (Feltételes várható érték és toronyszabály, valószínűségi konvergenciatípusok és kapcsolataik, martingálok, megállított martingálok, Doob dekompozíció, kvadratikus variáció, maximál-egyenlőtlenségek, martingál konvergencia tételek, opcionális megállítás tétel, lokális martingálok.). Martingálok konvergenciahalmazai, a négyzetesen integrálható eset. Alkalmazások (pl. Gambler's ruin, urnamodellek, szerencsejáték, Wald-azonosságok, exponenciális martingál). Martingál CHT, alkalmazások. Höffding–Azuma egyenlőtlenség és alkalmazásai (pl. utazó ügynök probléma)

2. Markov láncok:

Ismétlés (definíciók, állapotok osztályozása, stacionárius eloszlás, reverzibilitás, tranziencia-(null-)rekurrencia). Elnyelési valószínűségek. Martingálok alkalmazásai, Markov-lánc CHT. Markov-láncok és dinamikai rendszerek; ergodtételek Markov-láncokra. Bolyongások és elektromos áramkörök.

3. Felújítási folyamatok:

Laplace transzformált, konvolúció. Felújítási folyamat, felújítási egyenlet. Felújítási tételek, regeneratív folyamatok. Stacionárius felújítás, felújítási paradoxon. Sorbanállási alkalmazások

4. Pontfolyamatok:

Pontfolyamatok definíciója. Poisson pontfolyamat egy és több dimenzióban. Poisson folyamat transzformációi (jelölés és ritkítás, transzformálás függvénnyel, alkalmazások). Poisson pontfolyamatból származtatott pontfolyamatok

5. Diszkrét állapotterű Markov-folyamatok:

Ismétlés (generátor, kapcsolat Markov-láncokkal, Kolmogorov előre és hátra egyenlet, állapotok osztályozása, tranziencia-(null-)rekurrencia, stacionárius eloszlás). Reverzibilitás, MCMC. Abszorbciós valószínűségek és elérési idők. Martingálok alkalmazásai (pl. ugró folyamatok kompenzátora). Markov-folyamatok és dinamikai rendszerek; ergodtételek Markov-folyamatokra. Lokálisan diszkrét állapotterű Markov-folyamatok: generátor tesztfüggvényeken

 

Irodalom:

Karlin, S.; Taylor, H. M.: Sztochasztikus folyamatok. Gondolat Kiadó, 1985 Budapest
Lindvall, T.: Lectures on the Coupling Method. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2002.
Norris, J. R.: Markov chains. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. 
Resnick, S.: Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser Boston, 1992. 
Rosenblatt, M.: Markov processes. Structure and Asymptotic Behavior. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1971. 
Williams, D.: Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991. 
 
 

Sztochasztikus differenciálegyenletek                                               3/1/0/v/5

 

Tárgyfelelős: Székely Balázs

További oktatók: Fritz Jószef, Szabados Tamás, Tóth Bálint

 

Bevezetés, ismétlés: Ito-integrál Wiener-folyamat szerint, integrálás folytonos martingál szerint, többdimenziós sztochasztikus integrál.

Lokális idő: Egydimenziós bolyongás lokális ideje, inverz lokális idő, diszkrét Ray–Knight-tétel. Egydimenziós Brown-mozgás lokális ideje és a folytonos Ray–Knight-tétel. Tanaka-formula és alkalmazásai. Szkorohod-tükrözés, tükrözött Brown-mozgás, P. Lévy egy tétele.

Sztochasztikus differenciálegyenletek: A diffúziós alappéldák (Ornstein–Uhlenbeck, Bessel, Bessel-squared, exponenciális Brown) SDE-i. Transzformált diffúzió SDE-je. Gyenge és erős megoldások, létezés, egyértelműség, nem-egyértelműség. Peremfeltételek és az infinitezimális generátor pontos értelmezése. Sztochasztikus differenciálegyenletek alkalmazásai fizikában, populáció dinamikában, gazdaságtudományban.

Diffúziók: Alappéldák: Ornstein–Uhlenbeck-, Bessel-, Bessel-squared-folyamatok, geometriai Brown-mozgás. Diffúziók mint sztochaszikus integrálok és mint Markov-folyamatok. Infinitezimális generátor, sztochasztikus félcsoport. A martingál-probléma. Kapcsolat parabolikus és elliptikus parciális differenciálegyenletekkel. Feynman–Kac-formula.  Idő-csere és Cameron–Martin–Girszanov-formula.

Egydimenziós diffúziók sajátosságai: Skála-függvény és sebesség-mérték. Peremfeltételek egy pontban. Idő-megfordítás. Alkalmazások konkrét folyamatokra.

Speciális kiegészítő fejezetek: Brownian excursion, kétdimenziós Brown-mozgás, SLE, Markov-folyamatok additív funkcionáljai.

 

Irodalom:

K.L. Chung, R. Williams: Introduction to  stochastic integration. Second edition. Birkauser, 1989

N. Ikeda, S. Watanabe: Stochastic differential equations and diffusion processes. Second edition. North Holland, 1989

K. Ito, H.P. McKean: Diffusion processes and their sample paths. Springer, 1965

J. Jacod, S.N. Shiryaev: Limit theorems for stochastic processes. Springer, 1987

S. Karlin, H.M. Taylor: A second course in stochastic processes. Academic, 1981

D. Revuz, M. Yor: Continuous martingales and Brownian motion. Third edition. Springer, 1999

válogatott cikkek, előadó jegyzetei

 

 

Határeloszlás- és nagy eltérés tételek                                               3/1/0/v/5

 

Tárgyfelelős: Tóth Bálint

További oktatók: Balázs Márton, Fritz József, Szász Domokos

 

I. rész: Határeloszlás-tételek:

Valószínűségi mértékek és eloszlások gyenge konvergenciája  Feszesség: Helly-Prohorov-tétel. Határeloszlás-tételek puszta kézzel: Tükrözési elv alkalmazása bolyongásra: Paul Lévy arcussinus tételei, maximum, lokális idő és első elérések határeloszlása. Független és azonos eloszlású valószínűségi változók maximumának határeloszlása, extremális eloszlások. Határeloszlás-tétel a szelvénygyüjtő (coupon collector) problémájára.  Határeloszlás-tétel bizonyítása momentum-módszerrel. Határeloszlás-tétel bizonyítása karakterisztikus függvény módszerével. Lindeberg-tétel alkalmazásai. Erdős–Kac-tétel: CHT a prímosztók számára.  Stabilis eloszlások. Szimmetrikus stabilis eloszlások karakterisztikus függvényeinek jellemzése. Konvergencia szimmetrikus stabilishoz. Alkalmazások. Általános (nem szimmetrikus) stabilis eloszlás karakterisztikus függvényének jellemzése, ferdeség. Határeloszlás-tétel nem szimmetrikus esetben.

Korlátlanul osztható eloszlások: Lévy–Hincsin-formula, Lévy-mérték. Poisson pont folyamatok és kapcsolatuk korlátlanul osztható eloszlásokkal. Korlátlanul osztható eloszlások mint széria-sorozatok határeloszlása. Alkalmazások.

Lévy-folyamatok – bevezetés: Lévy–Hincsin formula és a folyamatok felbontása. Pozitív (növekvő, szubordinátor) és korlátos változású Lévy-folyamatok. Stabilis folyamatok. Példák és alkalmazások.

II. rész: Nagy eltérés tételek:

Bevezetés: Ritka események és nagy eltérések, nagy eltérés elv (LDP), nagy eltérések számolása puszta kézzel (Stirling-formulával).

Kombinatorikus módszerek: Típusok módszere, Szanov-tétel véges abc-re.

Nagy eltérés tételek véges dimenzióban: Bernstein-egyenlőtlenség, Chernov-korlát. Cramer-tétel. Konvex analízis elemei, konvex konjugálás véges dimenzióban, Cramer tétel R^d-ben. Gartner–Ellis-tétel. Alkalmazások: nagy eltérés tételek bolyongásokra, véges állapotterű Markov-láncok trajektóriájának empirikus eloszlására, statisztikai alkalmazások.

Általános elmélet: Nagy eltérés elvek általában. Kontrakciós elv és Varadhan-lemma. Nagy eltérések topologikus vektorterekben, függvényterekben, absztrakt konvex analízis.  Alkalmazások: Schilder-tétel, Gibbs feltételes mérték és statisztikus fizika elemei.

 

Irodalom:

A. Dembo, O. Zeitouni: Large deviation techniques and application.  Springer, 1998

R. Durrett: Probability: theory and examples. Second edition. Duxbury, 1996

B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov: Független valószínűségi változók összegeinek határeloszlásai

W. Feller: An introduction to probability theory and its applications. Vol.2. Wiley, 1970

D.W. Stroock: An introduction to the theory of large deviations. Springer, 1984

S.R.S. Varadhan: Large deviations and applications. SIAM Publications, 1984

D. Williams: Probability with martingales. Cambridge UP, 1990

Cikkek, előadók jegyzetei

 

 

Sztochasztikus modellek                                                                         2/0/0/f/2

 

Tárgyfelelős: Balázs Márton

További oktatók: Fritz József, Szász Domokos, Tóth Bálint

 

Csatolásos módszerek (sztochasztikus dominancia, val.változók és folyamatok csatolásai, példák: átjárhatóság duális gráffal, optimalizálási problémák, kombinatorikus valószínűségi feladatok)

Perkoláció (definíciók, korrelációs egyenlőtlenségek, dualitás, kontúr módszerek)

Erősen függő perkoláció: Winkler perkoláció, kompatibilis 0-1 sorozatok

Statisztikus fizika alapjai (Gibbs mérték, néhány alapmodell)

Kártyakeverések (teljesen kevert pakli, hányszor kell egy paklit megkeverni?)

Véletlen gráfmodellek (Erdős–Rényi, Barabási–Albert; alapjelenségek)

Bolyongások változatai: scenery reconstruction, self-avoiding és self-repelling bolyongás, loop-erased bolyongás, bolyongás véletlen közegben

Sorbanállási modellek és azok alaptulajdonságai; stacionárius eloszlás és reverzibilitás, Burke-tétel; sorbanállási rendszerek

Kölcsönható részecskerendszerek (simple exclusion tóruszon és végtelen rácson, egyensúlyi eloszlás, Palm-eloszlások, csatolások, egyéb rendszerek)

Folytonos idejű Markov-folyamatok grafikus konstrukciója (Yule modell, Hammersley folyamat, részecskerendszerek)

Önszervező kritikusság: homokszem-modellek (konstrukció kérdései, a dinamika kommutatív tulajdonsága, egyensúly véges térfogatban, korreláció hatványlecsengése)

Stacionárius folyamatok lineáris elmélete: erősen és gyengén stacionárius folyamatok, spektrális tulajdonságok, autoregressziós és mozgó átlag folyamatok. Idősorok elemzése, hosszúmemóriájú folyamatok.

Kockázati folyamatok modelljei.

 

Irodalom: (Válogatott fejezetek az alábbi – és további -- művekből.)

Grimmett, G.: Percolation. Springer-Verlag, Berlin, 1999. 
Liggett, T.: Interacting Particle Systems. Springer-Verlag, Berlin, 2005. 
Lindvall, T.: Lectures on the Coupling Method. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2002. Thorisson, H.: Coupling, Stationarity, and Regeneration. Springer-Verlag, New York, 2000. 
Walrand, J.: An Introduction to Queueing Networks. Prentice Hall 1988
Werner, W.: Lectures on Two-dimensional Critical Percolation, http://arxiv.org/abs/0710.0856
Werner, W.: Random Planar Curves and Schramm–Loewner Evolutions, http://arxiv.org/abs/math/0303354
Zeitouni, O.: Lecture Notes on Random Walks in Random Environment, XXXI summer school in probability, St Flour, France, Volume 1837 of Springer's Lecture notes in Mathematics
 
 

Ergodelmélet és dinamikai rendszerek                                       2/0/0/f/2

 

Tárgyfelelős: Szász Domokos

További oktatók: Bálint Péter

 

Mértéktartó leképezések. Példák. Poincaré rekurrencia tétele. Ergodikus leképezések. Példák. Stacionárius sorozatok mint dinamikai rendszerek. Bernoulli sorozatok. Kinetikai és keverés. A tórusz algebrai automorfizmusai. Keverésük feltétele. Hopf geometriai módszere. Invariáns mérték létezése: Krylov–Bogolyubov tétel. Markov-leképezések: invariáns sűrűség létezése. Kolmogorov–Arnold–Moser tétel. A homológikus egyenlet. Az invariáns tórusz formális egyenletei. Feladatok.

 

Irodalom:

D. Szász: Ergodelmélet és dinamikai rendszerek, előadás-jegyzet: http://www.math.bme.hu/~szasz/

R. Mane: Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer, 1983

J. Moser: Lectures on Hamiltonian systems. Memoires of the American Mathematical Society.Vol. 81, 1968

 

 

Statisztikai programcsomagok 2                                                           0/0/2/f/2

 

Tárgyfelelős: Sándor Csaba

További oktatók: Bolla Marianna, Vetier András

 

A kurzus célja a statisztika modern számítógépes eszközeinek áttekintése a szükséges elméleti háttér ismertetésével.

1. SPSS használata programmódban. Felhasználói programrészletek írása. A programok outputjainak értelmezése (az ott fellépő statisztikák jelentése és angol elnevezése) és ennek megfelelően a paraméterek beállítása.

2. S+  és  R programcsomag használata és az SPSS-ben nem található új algoritmikus modellek áttekintése (bootstrap, jackknife, ACE).

3. Konkrét alkalmazás: Egy konkrét adatrendszer részletes elemzése S+-ban.

 

Irodalom:

K. V. Mardia, J. T. Kent, M. Bibby: Többváltozós analízis, angolul, Academic Press, New York, 1979
Ketskeméty, L., Izsó, L., Bevezetés az SPSS programrendszerbe, ELTE Kiadó, Budapest, 2005
S+ vagy R Felhasználói útmutató (a programcsomaggal együtt letölthető)

 

Differenciált szakmai ismeretek : Egyéb (tematikus blokkba eleve nem sorolt)

 

 


Témalabor 1,2                                                                      0/0/4/f/4 + 0/0/4/f/4

 

Tárgyfelelős: Lángné Lázi Márta

 

A tárgy keretében a hallgató külső témavezető által meghirdetett, alkalmazás orientált sztochasztikus matematikát alkalmazó témán dolgozik, a témavezető irányításával. Minden félév végén beszámolót készít a hallgató az eredményeiről, melyet előadás formájában a társainak bemutat. A tárgy során begyakorolandó tevékenységek: irodalmazás, modellezés, számítógéppel segített feladatmegoldás, matematikai problémamegoldás.

 

 

Matematikai modellalkotás szeminárium 1,2          2/0/0/f/1 + 2/0/0/f/1

 

Tárgyfelelős: Szász Domokos

 

A szeminárium célja rendszeres fórumot biztosítani alkalmazott matematikai eredmények, modellek és problémák bemutatására, és ezzel elősegíteni

(i) a Matematika Intézeten belül és szélesebb körben is, az alkalmazott matematikai ismeretek és kultúra elterjesztését;

(ii) fejleszteni egyfelől a Matematika Intézet oktatói és diákjai, másfelől más intézmények, intézetek (a BME több tanszékét, intézetét is ideértve), cégek, vállalatok matematika iránt fogékony munkatársaival való kapcsolattartást, együttműködést.

A szemináriumra hétről hétre meghívunk egy-egy előadót, aki a munkája során felmerülő matematikai problémáról beszél. Általában két típusú előadó van: matematikus, aki alkalmazott matematikusként dolgozik, illetve nem matematikus, de munkája során matematikai problémák merülnek fel. A korábbi évek gyakorlatához hasonlóan széles palettát kívánunk nyújtani a témákat illetően; előadókat hívunk meg a BME különböző tanszékeiről, a SZTAKI-ból, bankokból, a távközlés területéről, és egyéb piaci cégtől (bővebben lásd a szeminárium honlapján: www.math.bme.hu/~molnar/amsz). 

A II-III. éves hallgatóinknak előírjuk a matematikai modellalkotás szeminárium látogatását, hogy ezzel is plasztikus képet nyerjenek szakmájuk lehetséges alkalmazásairól. A szeminárium előadásai általában érthetőek lesznek ezen hallgatóink számára, akik ekkor már túl vannak az igen sokoldalú alapképzésen. Alkalmazott matematikai témáknál természetesen különösen fontos a problémafelvetés motivációja, a modellalkotás bemutatása és annak illusztrálása, a javasolt megoldás mennyire segít a felmerült problémában. Az előadások után a hallagtóknak lehetőségük van kérdéseikkel további ismereteket szerezni a bemutatott témáról, illetve az előadó munkásságáról.

Az előadások egy másik célja, hogy az érdeklődő hallgatók esetleg valamilyen formában bekapcsolódhatnának a munkába, ezzel is elősegítve a hosszabbtávú érvényesülésüket, hogy az egyetem elvégzése után könnyebben jussanak álláslehetőséghez.