BME ALKALMAZOTT MATEMATIKA MESTERSZAK (MSc)

Szakmai törzsanyag tárgyainak tárgyleírása

A szakmai törzsanyag tárgyai értelemszerűen minden szakirány számára ugyanazok a kötelezően választható tárgyak. A hallgatónak összesen 30 kreditet kell e tárgyakból teljesítenie, ami hat tárgyat jelent e felkínált tizenkettőből. Az egyes szakirányok viszont részben leszűkítik a választás teljes szabadságát: az egyes szakirányokra jelentkező hallgatók számára a hat teljesítendő törzsanyag tárgy közül hármat a szakirány előír. Ugyanakkor a hallgató tárgyválasztásának megfelelően széles tematikus spektrumot kell lefednie. Ezeknek az előírásoknak a pontos részletei a mintatanterv táblázatokból olvashatóak ki.

Jelölés: Az egyes tárgyak leírásában megjelentetett e/g/l/t/k jelölés feloldása

e = előadások heti óraszáma,

g = gyakorlatok heti óraszáma,

l = laboratóriumi foglalkozások heti óraszáma,

t = teljesítés módja = v(izsga) vagy f(élévközi jegy),

k = kreditszám.

Globális optimalizálás 3/1/0/f/5

Tárgyfelelős: Tóth Boglárka

További oktatók: Mádi-Nagy Gergely

Globális optimalizálási feladatok különböző alakjai, ezek egymásba való átalakításai, redukálása egydimenziós feladatra.

A globális optimalizálási feladat műveletigényének viszonya a lineáris programozáséhoz.

A globális optimalizálási módszerek osztályozásai. Lagrange-függvény, Kuhn–Tucker tétel, konvex-, DC programozás.

Sztochasztikus programozás alapmodelljei, megoldó módszerek.

Sztochasztikus és multi-start eljárások globális optimalizálásra, konvergenciájuk, megállási feltételeik.

Lipschitz konstansra támaszkodó eljárások, konvergenciatételek.

Korlátozás és szétválasztás módszere, intervallum aritmetikán alapuló eljárások, automatikus differenciálás.

Több célfüggvényes optimalizálás.

Irodalom:

R. Horst and P. Pardalos: Handbook of Global Optimization, Kluwer, 1995

R. Horst, P.M. Pardalos, and N.V. Thoai: Introduction to Global Optimization, Kluwer, 1995

A. Törn and A. Zilinskas: Global Optimization, Springer, 1989

Lineáris programozás 3/1/0/v/5

Tárgyfelelős: Szántai Tamás

További oktatók: Hujter Mihály

Konvex poliéderek. Minkowski tétel, Farkas tétel, Weyl tétel, Motzkin felbontási tétele. A lineáris programozás feladata, példák lineáris programozási feladatra, grafikus szemléltetés. A lineáris programozási feladat megengedett megoldásának, bázismegoldásának fogalma, a szimplex módszer alap algoritmusa. A ciklizálás és annak kizárási lehetőségei: lexikografikus szimplex módszer, Bland szabály alkalmazása. Induló megengedett bázis keresése, a kétfázisú szimplex módszer. Az explicit bázisinverz és a módosított szimplex módszer. A lineáris programozás dualitás elmélete. Kiegészítő eltérések tételei. A játékelmélet. Kétszemélyes zéróösszegű játékok elmélete, Neumann János tétele. A duál szimplex módszer és a metszősík algoritmusok. A Gomory-féle metszősík algoritmus egészértékű programozási feladatok megoldására. Speciális lineáris programozási, illetve arra visszavezethető feladatok. Szállítási feladat, gráfelméleti alapfogalmak és azok alkalmazása a szállítási feladat szimplex módszerrel történő megoldására (‘stepping stone’ algoritmus). Duál változók módszere az optimalitás teszt gyors végrehajtására. Hozzárendelési feladat, Kőnig-Egerváry tétel és a magyar módszer. Hiperbolikus programozási feladat visszavezetése lineáris programozásra a Martos-féle módszerrel. Szeparábilis programozási feladat. Egyedi felső korlát technika. A Dantzig-Wolfe dekompozíciós eljárás, ellipszoid módszer és a belső pontos algoritmusok vázlata.

Irodalom:

Prékopa András: Lineáris programozás, I. Bolyai János Matematikai Társulat, 1968  

A. Schrijver: Theory of Linear and Integer Programming, John Wiley, New York, 1986

R.J. Vanderbei: Linear Programming: Foundations and Extensions, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997

Elméleti számítástudomány 3/1/0/f/5

Tárgyfelelős: Ferenczi Miklós

További oktatók: Rónyai Lajos, Ivanyos Gábor, Friedl Katalin

A logikai programozás és gépi bizonyítas elméleti alapjai. Véges modellek és bonyolultság. Nem-klasszikus logikák a számítástudományban: temporális, dinamikus, program logikák. Rekurzív függvények és a lambda-kalkulus kapcsolata. Boole-algebrák, reláció algebrák és alkalmazásaik.

Fontosabb gépmodellek. Bonyolultságelméleti alapfogalmak, nevezetes idő és térosztályok. NP-teljesség. Randomizált számítások. Algoritmustervezési módszerek.

Fejlett adatszerkezetek, amortizációs elemzés. Mintaillesztés szövegben.

Adattömörítés.

Irodalom:

Carmen, T.H., Leiserson, C.E., Rivest: Algoritmusok, Műszaki Kiadó, 1999

Rónyai L., Ivanyos G., Szabó R.: Algoritmusok, Typotex, 2001

Ferenczi M.: Matematikai Logika, Műszaki Kiadó, 2002

Galton, A.: Logic for Information Technology, Wiley, 1990

Algebrai és általános kombinatorika 3/1/0/v/5

Tárgyfelelős: Friedl Katalin

További oktatók: Küronya Alex, Recski András, Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

A Young-tablók kombinatorikája, tablógyűrűk, Pieri-formulák, Schur-polinomok, Kostka-számok. Robinson–Schensted–Knuth megfeleltetés. Littlewood–Richardson-számok és -tétel. Nevezetes szimmetrikus polinomok és generátorfüggvényeik, Cauchy–Littlewood formulák. A szimmetrikus polinomok alaptételének Garsia-féle általánosítása. Bázisok a szimmetrikus függvények gyűrűjében.

Fejezetek a kombinatorikus optimalizálás módszereiből: Mohó algoritmus, javító algoritmusok, matroid-elméleti alapfogalmak, matroid metszet algoritmus. Közelítő algoritmusok (pl. halmazfedés, Steiner-fák, utazó ügynök probléma). Ütemezési algoritmusok (egygépes ütemezés, ütemezés párhuzamos gépekre, ládapakolás).

irodalom:

William Fulton, Young Tableaux: With Applications to Representation Theory and Geometry (London Mathematical Society Student Texts) (Paperback), Cambridge University Press, 1996

Richard P. Stanley: Enumerative Combinatorics I.- II., Cambridge University Press, 2001

Dinamikai rendszerek 3/1/0/v/5

Tárgyfelelős: Garay Barnabás

További oktatók: Bálint Péter, Simon Károly

Folytonos és diszkrét idejű dinamikai rendszerek, folytonos versus diszkrét: követőfüggvény, diszkretizáció.
Egyensúlyi helyzetek lokális elmélete: Grobman–Hartman lemma, stabil-instabil-centrális sokaság, Poincaré normálforma.
Attraktorok, Ljapunov-függvények, LaSalle-elv, fázisportré.
Strukturális stabilitás, egyensúlyi helyzetek/fixpontok és periodikus megoldások elemi bifurkációi, bifurkációs görbék biológiai modellekben.
Sátor és logaritmikus függvények, Smale-patkó, szolenoid: topológiai, kombinatorikus, mértékelméleti tulajdonságok. Káosz a Lorenz-modellben.

Irodalom:

P. Glendinning: Stability, Instability and Chaos, Cambridge University Press, Cambridge, 1994
C. Robinson: Dynamical Systems, CRC Press, Boca Raton, 1995
S. Wiggins: Introduction to Applied Nonlinear Analysis and Chaos, Springer, Berlin, 1988

Fourier analízis és függvénysorok 3/1/0/v/5

Tárgyfelelős: Kroó András

További oktatók: Horváth Miklós, Járai Antal, G. Horváth Ákosné

A trigonometrikus rendszer teljessége. Fourier-sorok. A Parseval képlet és alkalmazásai. Ortogonális függvényrendszerek, Legendre polinomok, Haar- és Rademacher-féle rendszerek. Bevezetés a waveletekbe, wavelet ortonormált rendszerek és alkalmazásaik. Integrálható függvények Fourier-transzformaciója.

Laplace-transzformáció és alkalmazásai. Fourier-sorok konvergenciája, Dirichlet-féle formula, Dini és Lipschitz konvergencia kritériumok. Fejér példája divergens Fourier sorra. Fourier-sorok összegezése, Fejér tétele, az Abel–Poisson-féle módszer.

Weierstrass approximációs tétele, Stone tétele és annak alkalmazásai. Legjobb megközelítés Hilbert-terekben, Müntz tétele a hézagos polinomok sűrűségéről.

Lineáris operátorokkal való közelités, Lagrange interpoláció, Lozinski–Harshiladze-tétel. A legjobb polinomapproximáció hibabecslése, Jackson tételei. Pozitív lineáris operátorok approximációs tulajdonságai, Korovkin tétele, Bernstein polinomok, Hermite–Fejér operátor. Bevezetés a spline-approximációba, B-spline-ok, spline-ok konvergencia-tulajdonságai.

Irodalom:

N.I. Ahijezer: Előadások az approximáció elméletéről, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1951
Szökefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975
G. Lorentz, M.V. Makovoz: Constructive Approximation, Springer, 1996
M.J.D. Powell: Approximation Theory and methods, Cambridge University Press, 1981

Parciális differenciálegyenletek 2 3/1/0/f/5

Tárgyfelelős: Fritz József

További oktatók: Garay Barnabás, Járai Antal

A Laplace-operator Szoboljev térben (ismétlés a BSc anyag alapján).
Másodrendű lineáris parabolikus egyenletek gyenge és erős megoldásai. Ritz–Galerkin approximáció. Lineáris operátorfélcsoportok (Evans és Robinson szerint).
Reakció-diffúzió (kvázilineáris parabolikus) egyenletek gyenge és erős megoldásai. Ritz–Galerkin approximáció. Nemlineáris operátorfélcsoportok (Evans és Robinson szerint).
Csak példákban: monotonitás, maximum-elvek, invariáns tartományok, egyensúlyi helyzet stabilitásának vizsgálata linearizálással, utazó hullámok (Smoller szerint).
Globális attraktor. Inerciális sokaság (Robinson szerint).

Irodalom:

L.C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 2002
J. Smoller: Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, Springer, Berlin, 1983
J.C. Robinson: Infinite-dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, 2001

Sztochasztikus analízis és alkalmazásai 3/1/0/v/5

Tárgyfelelős: Simon Károly

További oktatók: Székely Balázs, Tóth Bálint, Fritz József

Bevezetés, ismétlés: Markov-folyamat, sztochasztikus félcsoport, infinitezimális generátor, martingál, megállási idő.

Brown-mozgás: Brown-mozgás fenomenologikus leírása, véges dimenziós peremeloszlások, és folytonosság. Wiener-folyamat konstrukciója, erős Markov tulajdonság. Rekurrencia, skálázás, idő megfordítás. Tükrözési elv és alkalmazásai. Trajektóriák majdnem biztos analitikus tulajdonságai: folytonosság, Hölder-tulajdonság, nem differenciálhatóság, kvadratikus variáció, szinthalmazok.

Folytonos martingálok: Definíció és jellemzés. Schwartz–Dubbins tétel. Exponenciális martingál.

Lévy-folyamatok: Független és stacionárius növekmények, Lévy–Hincsin formula és a folyamatok felbontása. Konstrukció Poisson pont folyamat segítségével. Szubordinátor folyamatok. Stabilis folyamatok. Példák és alkalmazások.

Sztochasztikus integrálás I.: Diszkrét sztochasztikus integrálás bolyongás szerint és diszkrét idejű martingál szerint. Alkalmazások, diszkrét Black–Scholes. Sztochasztikus integrálás Poisson-folyamat szerint. Diszkrét állapotterű Markov-folyamat martingáljai. Kvadratikus variáció, Doob–Meyer felbontás.

Sztochasztikus integrálás II.: Jósolható folyamatok és az Itô-integrál Wiener-folyamat szerint kvardatikus variáció folyamat. Doob–Meyer-felbontás. Itô-formula és alkalmazásai.

Irodalom:

K.L. Chung, R. Williams: Introduction to stochastic integration. Second edition. Birkauser, 1989

R. Durrett: Probability: theory and examples. Second edition. Duxbury, 1996

B. Oksendal: Stochastic Differential equations. Sixth edition. Springer, 2003

D. Revuz, M. Yor: Continuous martingales and Brownian motion. Third edition. Springer, 1999

G. Samorodnitsky & M. S. Taqqu: Stable Non-Gaussian Random Processes: Stochastic

Models with Infinite Variance. Chapman and Hall, New York, 1994

válogatott cikkek, előadó jegyzetei

Statisztika és információelmélet 3/1/0/f/5

Tárgyfelelős: Bolla Marianna

További oktatók: Györfi László

Becslések és hipotézisvizsgálat többdimenziós paramétertérben: Fisher-információs-mátrix, likelihood-hányados-próba. Hipotézisvizsgálat többdimenziós Gauss-modellben: Mahalanobis-távolság, Wishart-, Hotelling-, Wilks-eloszlások. Lineáris becslések, Gauss–Markov-tétel. Regresszióanalízis, egy- és többszempontos varianciaanalízis, mint lineáris modell. ANOVA-táblázatok, Fisher–Cochran-tétel. Főkomponens- és faktoranalízis. Faktorok becslése és forgatása, hipotézisvizsgálatok a faktorok számára.

Hipotézisvizsgálat és I-divergencia (diszkrét eset).

I-vetületek, exponenciális eloszláscsalád esetén a maximum likelihood becslés, mint I-vetület. A megfelelő I-divergencia-statisztika határeloszlása. Kontingenciatáblázatok analízise információelméleti módszerrel, loglineáris modellek. Információelméleti alapú statisztikai algoritmusok: iteratív arányos illesztés, EM-algoritmus. Maximális entrópia módszere.

Irodalom:

M. Bolla, A. Krámli: Statisztikai következtetések elmélete, Typotex, Budapest, 2005

I. Csiszár, P. C. Shields: Információelmélet és statisztika. Oktatási segédanyag (angolul).

Alapok és trendek a kommunikáció- és információelméletben c. kiadványnak 420-525. oldala, Now Publ. Inc., Hollandia, 2004. (Szintén elérhető a Rényi Intézet www.renyi.hu honlapján, Csiszár Imre oktatási segédanyagainál.)

Kommutatív algebra és algebrai geometria 3/1/0/f/5

Tárgyfelelős: Küronya Alex

További oktatók: Horváth Erzsébet, Rónyai Lajos

Zárt algebrai halmazok és koordinátagyűrűik, morfizmusok, irreducibilitás, dimenzió, Hilbert-féle Nullstellensatz, radikálideálok és részvarietások közti megfeleltetés.

Monomiális rendezések, Gröbner-bázisok, Buchberger-algoritmus, számítások polinomgyűrűkben.

Reguláris függvényektől a racionális leképezésekig, lokális gyűrű, kévék alapfogalmai, gyűrűzött terek.

Projektív tér és részvarietásai, homogén koordinátagyűrű, morfizmusok, projektív varietás képe zárt.

Geometriai konstrukciók: Segre- és Veronese-leképezések, Grassmann-varietások, pontból történő vetítés, felfújás.

Affin és projektív varietások dimenziója, hiperfelületek.

Sima varietások, Zariski-érintőtér, Jacobi-feltétel.

Hilbert-polinom és Hilbert-függvény, példák, számítógépes kísérletek.

Gyűrűk és modulusok alapfogalmai, láncfeltételek, szabad modulusok.

Végesen generált modulusok, Cayley–Hamilton-tétel, Nakayama-lemma.

Lokalizáció és tenzorszorzat.

Modulusok szabad feloldásai, modulusok Gröbner-elmélete, számítások modulusokkal, a Hilbert-féle kapcsolat-tétel.

Irodalom:

Andreas Gathmann: A. Gathmann, Algebraic geometry, notes for a one-year course taught in the Mathematics International program at the University of Kaiserslautern (2003) , http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/en/pub.html

I.R. Shafarevich: Basic Algebraic Geometry I.-II., Springer Verlag (1995)

Miles Reid: Undergraduate Commutative Algebra, Cambridge University Press (1996)

Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer Verlag (1977)

M.F. Atiyah, I.G. Macdonald: Introduction to commutative algebra, Addison Wesley Publishing (1994)

Reprezentációelmélet 3/1/0/f/5

Tárgyfelelős: Küronya Alex

További oktatók: Szenes András

Differenciálható sokaságok, atlasz, sokaságok közti leképezések, immerzió, szubmerzió, részsokaság, érintő; tér, vektormező, Lie-derivált (szükség esetén topológiai hézagpótlás: kompaktság, összefüggőség, homotópia, fundamentális csoport).

Vektornyalábok, alternáló formák vektortereken, differenciálformák és integrálásuk, Stokes-tétel (bizonyítás nélkül).

Multilineáris algebrai konstrukciók (tenzorszorzat, szimmetrikus és alternáló szorzat, összehúzás) és alkalmazásuk vektornyalábokra.

Lie-csoportok definíciója és alapvető tulajdonságaik, exponenciális leképezés, invariáns vektormezők, Lie-csoport Lie-algebrája.

Mátrix Lie-csoportok és Lie-algebráik, fontos példák.

Csoportok reprezentációelmélete általában, karakterek, lineáris algebrai konstrukciók, Lie-csoportok folytonos reprezentációi, összefüggés Lie-csoportok és a hozzájuk tartozó Lie-algebrák reprezentációi között.

Lie-algebrák alapjai, derivációk, nilpotens és feloldható Lie-algebrák, Engel és Lie tételei, Jordan-Chevalley felbontás, Cartan-féle és maximális torális részalgebrák.

Féligegyszerű Lie-algebrák, Killing-forma, reprezentációk teljes felbonthatósága.

Az sl_2 Lie-algebra reprezentációelmélete, gyökrendszerek, Cartan-mátrix, Dynkin-diagram, gyökrendszerek osztályozása, féligegyszerű Lie-algebrák.

Mátrix Lie-csoportok reprezentációi, Weyl-kamrák, Borel-részalgebra.

Peter-Weyl tétel.

Irodalom:

Glen Bredon: Topology and Geometry, Springer Verlag (1997)

Jürgen Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 4. kiadás, Springer Verlag (2005)

William Fulton, Joseph Harris: Representation Theory: a First Course, Springer Verlag (1999)

Daniel Bump: Lie Groups, Springer Verlag (2004)

James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag (1997)

Differenciálgeometria és topológia 3/1/0/v/5

Tárgyfelelős: Szenes András

További oktatók: Szabó Szilárd

Sima sokaságok, differenciál-formák, külső deriválás, Lie-deriválás. Stokes tétele,

de Rham-kohomológia, Poincaré-lemma, Mayer–Vietoris egzakt sorozat, Poincaré-dualitás. Riemann-sokaságok, Levi–Civitá konnexió, görbületi tenzor, állandó görbületű terek. Geodetikusok, exponenciális leképezés, geodetikus teljesség, a Hopf–Rinow tétel, Jacobi-mezők, a Cartan–Hadamard-tétel, Bonnet tétele.

Irodalom:

J. M. Lee: Riemannian Manifolds: an Introduction to Curvature, Graduate Texts in Mathematics 176, Springer Verlag

P. Petersen: Riemannian Geometry, Graduate Texts in Mathematics 171, Springer Verlag

J. Cheeger, D. Ebin: Comparison Theorems in Riemannian Geometry, North-Holland Publishing Company, Vol. 9, 1975

Szőkefalvi-Nagy Gy., Gehér L., Nagy P.: Differenciálgeometria, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979