BME ALKALMAZOTT MATEMATIKA MESTERSZAK (MSc)

Sztochasztika szakirány tárgyainak tárgyleírása

Jelölés: Az egyes tárgyak leírásában megjelentetett e/g/l/t/k jelölés feloldása

e = előadások heti óraszáma,

g = gyakorlatok heti óraszáma,

l = laboratóriumi foglalkozások heti óraszáma,

t = teljesítés módja = v(izsga) vagy f(élévközi jegy),

k = kreditszám.

Többváltozós statisztika 3/0/1/v/5

Tárgyfelelős: Bolla Marianna

További oktatók: Sándor Csaba

Többdimenziós Centrális Határeloszlás Tétel és alkalmazásai. A statisztikában használt véletlen mátrixok (Wishart-, Wigner-mátrixok) sűrűsége, spektruma és aszimptotikus eloszlása. Sajátértékekre és szinguláris értékekre vonatkozó szeparációs tételek alkalmazása a főkomponens-, faktor-, kanonikus korreláció- és korrespondanciaanalízisben. Faktoranalízis, mint alacsony rangú reprezentáció, reprezentáció és metrikus klaszterező eljárások kapcsolata. Klasszifikációs módszerek: diszkriminanciaanalízis, hierarchikus, k-közép és gráfelméleti módszerek a klaszteranalízisben. Gráfok spektruma és becsülhető paraméterfüggvényei.

Algoritmikus modellek, tanulóalgoritmusok. EM-, ACE-algoritmus, Kaplan–Meier-becslések. Újramintavételezési eljárások: bootstrap és jackknife. Adatbányászati alkalmazások, randomizált módszerek nagyméretű problémákra. A többváltozós statisztikai módszerek használatának és angol nevezéktanának elsajátítása egy programcsomag segítségével (SPSS vagy S+), output eredmények alkalmazásorientált elemzése.

Irodalom:

Bolla, M., Krámli, A.: Theory of statistical inference (in Hungarian), Typotex, Budapest, 2005

Mardia, K. V:, Kent, J. T., Bibby, J. M.: Multivariate Analysis, Academic Press, Elsevier Science, 1979, 2003

Nemparaméteres statisztika 2/0/0/v/3

Tárgyfelelős: Györfi László

További oktatók: Bolla Marianna

Sűrűségfüggvény-becslés: Eloszlásbecslés, L1 hiba. Hisztogram. Magfüggvényes becslés.

Regressziófüggvény-becslés.: Négyzetes hiba. Regressziófüggvény. Partíciós, magfüggvényes, legközlebbi szomszéd becslés. Empirikus hibaminimalizálás.

Alakfelismerés: Hivavalószínűség. Bayes döntés. Partíciós, magfüggvényes, legközelebbi szomszéd módszer. Empirikus hibaminimalizálás.

Portfólió-stratégiák: Log-optimalitás, empirikus portfólió-stratégiák. Tranzakciós költség.

Irodalom:

L.  Devroye,  L.   Györfi: (1985) Nonparametric Density Estimation: the, Wiley.  Russian translation:  Mir,  1988
L. Devroye, L. Györfi, G. Lugosi: (1996) Probabilistc Theory of Pattern Recognition, Springer, New York
L. Györfi, M. Kohler, A. Krzyzak, H. Walk: (2002) A Distribution-Free Theory of Nonparametric Regression, Springer, New York

Statisztikai programcsomagok 2 0/0/2/f/2

Tárgyfelelős: Sándor Csaba

További oktatók: Bolla Marianna, Vetier András

A kurzus célja a statisztika modern számítógépes eszközeinek áttekintése a szükséges elméleti háttér ismertetésével.

1. SPSS használata programmódban. Felhasználói programrészletek írása. A programok outputjainak értelmezése (az ott fellépő statisztikák jelentése és angol elnevezése) és ennek megfelelően a paraméterek beállítása.

2. S+ és R programcsomag használata és az SPSS-ben nem található új algoritmikus modellek áttekintése (bootstrap, jackknife, ACE).

3. Konkrét alkalmazás: Egy konkrét adatrendszer részletes elemzése S+-ban.

Irodalom:

K. V. Mardia, J. T. Kent, M. Bibby: Többváltozós analízis, angolul, Academic Press, New York, 1979
Ketskeméty, L., Izsó, L., Bevezetés az SPSS programrendszerbe, ELTE Kiadó, Budapest, 2005
S+ vagy R Felhasználói útmutató (a programcsomaggal együtt letölthető)

Markov-folyamatok és martingálok 3/1/0/v/5

Tárgyfelelős: Balázs Márton

További oktatók: Fritz József, Tóth Bálint

1. Martingálok:

Ismétlés (Feltételes várható érték és toronyszabály, valószínűségi konvergenciatípusok és kapcsolataik, martingálok, megállított martingálok, Doob dekompozíció, kvadratikus variáció, maximál-egyenlőtlenségek, martingál konvergencia tételek, opcionális megállítás tétel, lokális martingálok.). Martingálok konvergenciahalmazai, a négyzetesen integrálható eset. Alkalmazások (pl. Gambler's ruin, urnamodellek, szerencsejáték, Wald-azonosságok, exponenciális martingál). Martingál CHT, alkalmazások. Höffding–Azuma egyenlőtlenség és alkalmazásai (pl. utazó ügynök probléma)

2. Markov láncok:

Ismétlés (definíciók, állapotok osztályozása, stacionárius eloszlás, reverzibilitás, tranziencia-(null-)rekurrencia). Elnyelési valószínűségek. Martingálok alkalmazásai, Markov-lánc CHT. Markov-láncok és dinamikai rendszerek; ergodtételek Markov-láncokra. Bolyongások és elektromos áramkörök.

3. Felújítási folyamatok:

Laplace transzformált, konvolúció. Felújítási folyamat, felújítási egyenlet. Felújítási tételek, regeneratív folyamatok. Stacionárius felújítás, felújítási paradoxon. Sorbanállási alkalmazások

4. Pontfolyamatok:

Pontfolyamatok definíciója. Poisson pontfolyamat egy és több dimenzióban. Poisson folyamat transzformációi (jelölés és ritkítás, transzformálás függvénnyel, alkalmazások). Poisson pontfolyamatból származtatott pontfolyamatok

5. Diszkrét állapotterű Markov-folyamatok:

Ismétlés (generátor, kapcsolat Markov-láncokkal, Kolmogorov előre és hátra egyenlet, állapotok osztályozása, tranziencia-(null-)rekurrencia, stacionárius eloszlás). Reverzibilitás, MCMC. Abszorbciós valószínűségek és elérési idők. Martingálok alkalmazásai (pl. ugró folyamatok kompenzátora). Markov-folyamatok és dinamikai rendszerek; ergodtételek Markov-folyamatokra. Lokálisan diszkrét állapotterű Markov-folyamatok: generátor tesztfüggvényeken

Irodalom:

Karlin, S.; Taylor, H. M.: Sztochasztikus folyamatok. Gondolat Kiadó, 1985 Budapest
Lindvall, T.: Lectures on the Coupling Method. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2002.
Norris, J. R.: Markov chains. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. 
Resnick, S.: Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser Boston, 1992. 
Rosenblatt, M.: Markov processes. Structure and Asymptotic Behavior. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1971. 
Williams, D.: Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991. 

Sztochasztikus differenciálegyenletek 3/1/0/v/5

Tárgyfelelős: Székely Balázs

További oktatók: Fritz Jószef, Szabados Tamás, Tóth Bálint

Bevezetés, ismétlés: Ito-integrál Wiener-folyamat szerint, integrálás folytonos martingál szerint, többdimenziós sztochasztikus integrál.

Lokális idő: Egydimenziós bolyongás lokális ideje, inverz lokális idő, diszkrét Ray–Knight-tétel. Egydimenziós Brown-mozgás lokális ideje és a folytonos Ray–Knight-tétel. Tanaka-formula és alkalmazásai. Szkorohod-tükrözés, tükrözött Brown-mozgás, P. Lévy egy tétele.

Sztochasztikus differenciálegyenletek: A diffúziós alappéldák (Ornstein–Uhlenbeck, Bessel, Bessel-squared, exponenciális Brown) SDE-i. Transzformált diffúzió SDE-je. Gyenge és erős megoldások, létezés, egyértelműség, nem-egyértelműség. Peremfeltételek és az infinitezimális generátor pontos értelmezése. Sztochasztikus differenciálegyenletek alkalmazásai fizikában, populáció dinamikában, gazdaságtudományban.

Diffúziók: Alappéldák: Ornstein–Uhlenbeck-, Bessel-, Bessel-squared-folyamatok, geometriai Brown-mozgás. Diffúziók mint sztochaszikus integrálok és mint Markov-folyamatok. Infinitezimális generátor, sztochasztikus félcsoport. A martingál-probléma. Kapcsolat parabolikus és elliptikus parciális differenciálegyenletekkel. Feynman–Kac-formula. Idő-csere és Cameron–Martin–Girszanov-formula.

Egydimenziós diffúziók sajátosságai: Skála-függvény és sebesség-mérték. Peremfeltételek egy pontban. Idő-megfordítás. Alkalmazások konkrét folyamatokra.

Speciális kiegészítő fejezetek: Brownian excursion, kétdimenziós Brown-mozgás, SLE, Markov-folyamatok additív funkcionáljai.

Irodalom:

K.L. Chung, R. Williams: Introduction to stochastic integration. Second edition. Birkauser, 1989

N. Ikeda, S. Watanabe: Stochastic differential equations and diffusion processes. Second edition. North Holland, 1989

K. Ito, H.P. McKean: Diffusion processes and their sample paths. Springer, 1965

J. Jacod, S.N. Shiryaev: Limit theorems for stochastic processes. Springer, 1987

S. Karlin, H.M. Taylor: A second course in stochastic processes. Academic, 1981

D. Revuz, M. Yor: Continuous martingales and Brownian motion. Third edition. Springer, 1999

válogatott cikkek, előadó jegyzetei

Pénzügyi folyamatok 2/0/0/f/3

Tárgyfelelős: Székely Balázs

További oktatók: Fritz Jószef

Diszkrét modellek: optimális parkolás, stratégia kedvező és kedvezőtlen helyzetben.

Önfinanszírozó stratégiák, arbitrázsmentes piacok, teljesség. Amerikai, európai, ázsiai opciók. Ismétlés: bináris modell, martingál módszer. Diszkrét modellben nem teljes piac árazása.

Black és Scholes elmélete: martingál mérték, Itô-féle reprezentációs tétel. Black-Scholes modell alkalmazásai, megengedett stratégiák.

Tőkeárazási modellek (CAPM). Portfóliók fajtái, értékpapírpiaci egyenes, tőkepiaci egyenes, piaci egyensúly, tőkepiaci egyensúly.

Opciók árazása GARCH modellekkel.

Optimális befektetések problémája.

Extrémérték elmélet, maximumok eloszlása, rekordok eloszlása.

Irodalom:

J. Michael Steele, Stochastic Calculus and Fiancial Applications, Springer, New York, 2001

Barry C. Arnold, N. Balakrishnan, H. N. Nagaraja, Records, John Wiley and Sons, 1998

Fritz József: Pénzügyi matematika, kézirat

előadó jegyzetei, cikkek

Határeloszlás- és nagy eltérés tételek 3/1/0/v/5

Tárgyfelelős: Tóth Bálint

További oktatók: Balázs Márton, Fritz József, Szász Domokos

I. rész: Határeloszlás-tételek:

Valószínűségi mértékek és eloszlások gyenge konvergenciája Feszesség: Helly-Prohorov-tétel. Határeloszlás-tételek puszta kézzel: Tükrözési elv alkalmazása bolyongásra: Paul Lévy arcussinus tételei, maximum, lokális idő és első elérések határeloszlása. Független és azonos eloszlású valószínűségi változók maximumának határeloszlása, extremális eloszlások. Határeloszlás-tétel a szelvénygyüjtő (coupon collector) problémájára. Határeloszlás-tétel bizonyítása momentum-módszerrel. Határeloszlás-tétel bizonyítása karakterisztikus függvény módszerével. Lindeberg-tétel alkalmazásai. Erdős–Kac-tétel: CHT a prímosztók számára. Stabilis eloszlások. Szimmetrikus stabilis eloszlások karakterisztikus függvényeinek jellemzése. Konvergencia szimmetrikus stabilishoz. Alkalmazások. Általános (nem szimmetrikus) stabilis eloszlás karakterisztikus függvényének jellemzése, ferdeség. Határeloszlás-tétel nem szimmetrikus esetben.

Korlátlanul osztható eloszlások: Lévy–Hincsin-formula, Lévy-mérték. Poisson pont folyamatok és kapcsolatuk korlátlanul osztható eloszlásokkal. Korlátlanul osztható eloszlások mint széria-sorozatok határeloszlása. Alkalmazások.

Lévy-folyamatok – bevezetés: Lévy–Hincsin formula és a folyamatok felbontása. Pozitív (növekvő, szubordinátor) és korlátos változású Lévy-folyamatok. Stabilis folyamatok. Példák és alkalmazások.

II. rész: Nagy eltérés tételek:

Bevezetés: Ritka események és nagy eltérések, nagy eltérés elv (LDP), nagy eltérések számolása puszta kézzel (Stirling-formulával).

Kombinatorikus módszerek: Típusok módszere, Szanov-tétel véges abc-re.

Nagy eltérés tételek véges dimenzióban: Bernstein-egyenlőtlenség, Chernov-korlát. Cramer-tétel. Konvex analízis elemei, konvex konjugálás véges dimenzióban, Cramer tétel R^d-ben. Gartner–Ellis-tétel. Alkalmazások: nagy eltérés tételek bolyongásokra, véges állapotterű Markov-láncok trajektóriájának empirikus eloszlására, statisztikai alkalmazások.

Általános elmélet: Nagy eltérés elvek általában. Kontrakciós elv és Varadhan-lemma. Nagy eltérések topologikus vektorterekben, függvényterekben, absztrakt konvex analízis. Alkalmazások: Schilder-tétel, Gibbs feltételes mérték és statisztikus fizika elemei.

Irodalom:

A. Dembo, O. Zeitouni: Large deviation techniques and application. Springer, 1998

R. Durrett: Probability: theory and examples. Second edition. Duxbury, 1996

B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov: Független valószínűségi változók összegeinek határeloszlásai

W. Feller: An introduction to probability theory and its applications. Vol.2. Wiley, 1970

D.W. Stroock: An introduction to the theory of large deviations. Springer, 1984

S.R.S. Varadhan: Large deviations and applications. SIAM Publications, 1984

D. Williams: Probability with martingales. Cambridge UP, 1990

Cikkek, előadók jegyzetei

Sztochasztikus modellek 2/0/0/f/2

Tárgyfelelős: Balázs Márton

További oktatók: Fritz József, Szász Domokos, Tóth Bálint

Csatolásos módszerek (sztochasztikus dominancia, val.változók és folyamatok csatolásai, példák: átjárhatóság duális gráffal, optimalizálási problémák, kombinatorikus valószínűségi feladatok)

Perkoláció (definíciók, korrelációs egyenlőtlenségek, dualitás, kontúr módszerek)

Erősen függő perkoláció: Winkler perkoláció, kompatibilis 0-1 sorozatok

Statisztikus fizika alapjai (Gibbs mérték, néhány alapmodell)

Kártyakeverések (teljesen kevert pakli, hányszor kell egy paklit megkeverni?)

Véletlen gráfmodellek (Erdős–Rényi, Barabási–Albert; alapjelenségek)

Bolyongások változatai: scenery reconstruction, self-avoiding és self-repelling bolyongás, loop-erased bolyongás, bolyongás véletlen közegben

Sorbanállási modellek és azok alaptulajdonságai; stacionárius eloszlás és reverzibilitás, Burke-tétel; sorbanállási rendszerek

Kölcsönható részecskerendszerek (simple exclusion tóruszon és végtelen rácson, egyensúlyi eloszlás, Palm-eloszlások, csatolások, egyéb rendszerek)

Folytonos idejű Markov-folyamatok grafikus konstrukciója (Yule modell, Hammersley folyamat, részecskerendszerek)

Önszervező kritikusság: homokszem-modellek (konstrukció kérdései, a dinamika kommutatív tulajdonsága, egyensúly véges térfogatban, korreláció hatványlecsengése)

Stacionárius folyamatok lineáris elmélete: erősen és gyengén stacionárius folyamatok, spektrális tulajdonságok, autoregressziós és mozgó átlag folyamatok. Idősorok elemzése, hosszúmemóriájú folyamatok.

Kockázati folyamatok modelljei.

Irodalom: (Válogatott fejezetek az alábbi – és további -- művekből.)

Grimmett, G.: Percolation. Springer-Verlag, Berlin, 1999. 
Liggett, T.: Interacting Particle Systems. Springer-Verlag, Berlin, 2005. 
Lindvall, T.: Lectures on the Coupling Method. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2002. Thorisson, H.: Coupling, Stationarity, and Regeneration. Springer-Verlag, New York, 2000. 
Walrand, J.: An Introduction to Queueing Networks. Prentice Hall 1988
Werner, W.: Lectures on Two-dimensional Critical Percolation, http://arxiv.org/abs/0710.0856
Werner, W.: Random Planar Curves and Schramm–Loewner Evolutions, http://arxiv.org/abs/math/0303354
Zeitouni, O.: Lecture Notes on Random Walks in Random Environment, XXXI summer school in probability, St Flour, France, Volume 1837 of Springer's Lecture notes in Mathematics

Ergodelmélet és dinamikai rendszerek 2/0/0/f/2

Tárgyfelelős: Szász Domokos

További oktatók: Bálint Péter

Mértéktartó leképezések. Példák. Poincaré rekurrencia tétele. Ergodikus leképezések. Példák. Stacionárius sorozatok mint dinamikai rendszerek. Bernoulli sorozatok. Kinetikai és keverés. A tórusz algebrai automorfizmusai. Keverésük feltétele. Hopf geometriai módszere. Invariáns mérték létezése: Krylov–Bogolyubov tétel. Markov-leképezések: invariáns sűrűség létezése. Kolmogorov–Arnold–Moser tétel. A homológikus egyenlet. Az invariáns tórusz formális egyenletei. Feladatok.

Irodalom:

D. Szász: Ergodelmélet és dinamikai rendszerek, előadás-jegyzet: http://www.math.bme.hu/~szasz/

R. Mane: Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer, 1983

J. Moser: Lectures on Hamiltonian systems. Memoires of the American Mathematical Society.Vol. 81, 1968

Témalabor 1,2 0/0/4/f/4 + 0/0/4/f/4

Tárgyfelelős: Lángné Lázi Márta

A tárgy keretében a hallgató külső témavezető által meghirdetett, alkalmazás orientált sztochasztikus matematikát alkalmazó témán dolgozik, a témavezető irányításával. Minden félév végén beszámolót készít a hallgató az eredményeiről, melyet előadás formájában a társainak bemutat. A tárgy során begyakorolandó tevékenységek: irodalmazás, modellezés, számítógéppel segített feladatmegoldás, matematikai problémamegoldás.

Matematikai modellalkotás szeminárium 1,2 2/0/0/f/1 + 2/0/0/f/1

Tárgyfelelős: Szász Domokos

A szeminárium célja rendszeres fórumot biztosítani alkalmazott matematikai eredmények, modellek és problémák bemutatására, és ezzel elősegíteni

(i) a Matematika Intézeten belül és szélesebb körben is, az alkalmazott matematikai ismeretek és kultúra elterjesztését;

(ii) fejleszteni egyfelől a Matematika Intézet oktatói és diákjai, másfelől más intézmények, intézetek (a BME több tanszékét, intézetét is ideértve), cégek, vállalatok matematika iránt fogékony munkatársaival való kapcsolattartást, együttműködést.

A szemináriumra hétről hétre meghívunk egy-egy előadót, aki a munkája során felmerülő matematikai problémáról beszél. Általában két típusú előadó van: matematikus, aki alkalmazott matematikusként dolgozik, illetve nem matematikus, de munkája során matematikai problémák merülnek fel. A korábbi évek gyakorlatához hasonlóan széles palettát kívánunk nyújtani a témákat illetően; előadókat hívunk meg a BME különböző tanszékeiről, a SZTAKI-ból, bankokból, a távközlés területéről, és egyéb piaci cégtől (bővebben lásd a szeminárium honlapján: www.math.bme.hu/~molnar/amsz).

A II-III. éves hallgatóinknak előírjuk a matematikai modellalkotás szeminárium látogatását, hogy ezzel is plasztikus képet nyerjenek szakmájuk lehetséges alkalmazásairól. A szeminárium előadásai általában érthetőek lesznek ezen hallgatóink számára, akik ekkor már túl vannak az igen sokoldalú alapképzésen. Alkalmazott matematikai témáknál természetesen különösen fontos a problémafelvetés motivációja, a modellalkotás bemutatása és annak illusztrálása, a javasolt megoldás mennyire segít a felmerült problémában. Az előadások után a hallagtóknak lehetőségük van kérdéseikkel további ismereteket szerezni a bemutatott témáról, illetve az előadó munkásságáról.

Az előadások egy másik célja, hogy az érdeklődő hallgatók esetleg valamilyen formában bekapcsolódhatnának a munkába, ezzel is elősegítve a hosszabbtávú érvényesülésüket, hogy az egyetem elvégzése után könnyebben jussanak álláslehetőséghez.