BME ALKALMAZOTT MATEMATIKA MESTERSZAK (MSc)
Pénzügy-matematika szakirány tárgyainak tárgyleírása
Jelölés: Az egyes tárgyak
leírásában megjelentetett e/g/l/t/k jelölés feloldása
e = előadások heti óraszáma,
g = gyakorlatok heti óraszáma,
l = laboratóriumi foglalkozások
heti óraszáma,
t = teljesítés módja = v(izsga) vagy f(élévközi jegy),
k = kreditszám.
Nemparaméteres statisztika 2/0/0/v/3
Tárgyfelelős:
Györfi László
További oktatók: Bolla Marianna
Sűrűségfüggvény-becslés: Eloszlásbecslés, L1 hiba.
Hisztogram. Magfüggvényes becslés.
Regressziófüggvény-becslés.: Négyzetes hiba.
Regbressziófüggvény. Partíciós, magfüggvényes, legközlebbi szomszéd becslés.
Empirikus hibaminimalizálás.
Alakfelismerés: Hibavalószínűség. Bayes döntés. Partíciós,
magfüggvényes, legközelebbi szomszéd módszer. Empirikus hibaminimalizálás.
Portfólió-stratégiák: Log-optimalitás, empirikus
portfólió-stratégiák. Tranzakciós költség.
Irodalom:
L.
Devroye, L. Györfi: (1985) Nonparametric Density Estimation: the, Wiley. Russian translation: Mir,
1988
L. Devroye, L. Györfi, G. Lugosi: (1996) Probabilistc Theory of Pattern Recognition, Springer,
New York
L. Györfi, M. Kohler, A. Krzyzak, H. Walk: (2002) A Distribution-Free Theory of Nonparametric Regression, Springer, New York
Statisztikai
programcsomagok 2 0/0/2/f/2
Tárgyfelelős:
Sándor Csaba
További
oktatók: Bolla Marianna, Vetier András
A
kurzus célja a statisztika modern számítógépes eszközeinek áttekintése a
szükséges elméleti háttér ismertetésével.
1.
SPSS használata programmódban. Felhasználói programrészletek írása. A programok
outputjainak értelmezése (az ott fellépő statisztikák jelentése és angol
elnevezése) és ennek megfelelően a paraméterek beállítása.
2.
S+ és R programcsomag használata és az SPSS-ben nem található új algoritmikus modellek áttekintése
(bootstrap, jackknife,
ACE).
3.
Konkrét alkalmazás: Egy konkrét adatrendszer részletes elemzése S+-ban.
Irodalom:
K.
V. Mardia, J. T. Kent, M. Bibby: Többváltozós analízis,
angolul, Academic Press, New York, 1979
Ketskeméty, L., Izsó, L., Bevezetés az SPSS
programrendszerbe, ELTE Kiadó, Budapest, 2005
S+ vagy R Felhasználói útmutató (a programcsomaggal együtt letölthető)
Markov-folyamatok és martingálok 3/1/0/v/5
Tárgyfelelős: Balázs Márton
További oktatók: Fritz
József, Tóth Bálint
1. Martingálok:
Ismétlés (Feltételes várható
érték és toronyszabály, valószínűségi konvergenciatípusok
és kapcsolataik, martingálok, megállított martingálok, Doob dekompozíció, kvadratikus variáció,
maximál-egyenlőtlenségek, martingál konvergencia
tételek, opcionális megállítás tétel, lokális martingálok.).
Martingálok konvergenciahalmazai,
a négyzetesen integrálható eset. Alkalmazások (pl. Gambler's
ruin, urnamodellek, szerencsejáték, Wald-azonosságok, exponenciális martingál).
Martingál CHT, alkalmazások. Höffding–Azuma egyenlőtlenség és alkalmazásai (pl. utazó ügynök
probléma)
2. Markov
láncok:
Ismétlés (definíciók,
állapotok osztályozása, stacionárius eloszlás, reverzibilitás, tranziencia-(null-)rekurrencia). Elnyelési valószínűségek. Martingálok
alkalmazásai, Markov-lánc CHT. Markov-láncok
és dinamikai rendszerek; ergodtételek Markov-láncokra. Bolyongások és elektromos áramkörök.
3. Felújítási folyamatok:
Laplace transzformált, konvolúció. Felújítási folyamat, felújítási egyenlet.
Felújítási tételek, regeneratív folyamatok. Stacionárius felújítás, felújítási
paradoxon. Sorbanállási alkalmazások
4. Pontfolyamatok:
Pontfolyamatok definíciója.
Poisson pontfolyamat egy és több dimenzióban. Poisson folyamat transzformációi
(jelölés és ritkítás, transzformálás függvénnyel, alkalmazások). Poisson
pontfolyamatból származtatott pontfolyamatok
5. Diszkrét állapotterű Markov-folyamatok:
Ismétlés (generátor,
kapcsolat Markov-láncokkal, Kolmogorov
előre és hátra egyenlet, állapotok osztályozása, tranziencia-(null-)rekurrencia, stacionárius
eloszlás). Reverzibilitás, MCMC. Abszorbciós
valószínűségek és elérési idők. Martingálok
alkalmazásai (pl. ugró folyamatok kompenzátora). Markov-folyamatok
és dinamikai rendszerek; ergodtételek Markov-folyamatokra. Lokálisan diszkrét állapotterű Markov-folyamatok: generátor tesztfüggvényeken
Irodalom:
Karlin, S.; Taylor, H. M.: Sztochasztikus folyamatok. Gondolat Kiadó, 1985 BudapestLindvall, T.: Lectures on the Coupling Method. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2002.
Norris, J. R.: Markov chains. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
Resnick, S.: Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser Boston, 1992.
Rosenblatt, M.: Markov processes. Structure and Asymptotic Behavior. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1971.
Williams, D.: Probability with Martingales. Cambridge University Press, 1991.
Sztochasztikus
differenciálegyenletek
3/1/0/v/5
Tárgyfelelős:
Székely Balázs
További
oktatók: Fritz József, Szabados Tamás, Tóth Bálint
Bevezetés,
ismétlés: Ito-integrál Wiener-folyamat szerint,
integrálás folytonos martingál szerint, többdimenziós
sztochasztikus integrál.
Lokális
idő: Egydimenziós bolyongás lokális ideje, inverz lokális idő, diszkrét Ray–Knight-tétel.
Egydimenziós Brown-mozgás lokális ideje és a folytonos Ray–Knight-tétel.
Tanaka-formula és alkalmazásai. Szkorohod-tükrözés,
tükrözött Brown-mozgás, P. Lévy egy tétele.
Sztochasztikus
differenciálegyenletek: A diffúziós alappéldák (Ornstein–Uhlenbeck,
Bessel, Bessel-squared,
exponenciális Brown) SDE-i. Transzformált diffúzió SDE-je. Gyenge és erős megoldások, létezés, egyértelműség,
nem-egyértelműség. Peremfeltételek és az infinitezimális generátor pontos
értelmezése. Sztochasztikus differenciálegyenletek alkalmazásai fizikában,
populáció dinamikában, gazdaságtudományban.
Diffúziók: Alappéldák: Ornstein–Uhlenbeck-, Bessel-, Bessel-squared-folyamatok,
geometriai Brown-mozgás. Diffúziók mint sztochaszikus integrálok és mint Markov-folyamatok.
Infinitezimális generátor, sztochasztikus félcsoport.
A martingál-probléma. Kapcsolat parabolikus és
elliptikus parciális differenciálegyenletekkel. Feynman–Kac-formula.
Idő-csere és Cameron–Martin–Girszanov-formula.
Egydimenziós
diffúziók sajátosságai: Skála-függvény és sebesség-mérték. Peremfeltételek egy
pontban. Idő-megfordítás. Alkalmazások konkrét folyamatokra.
Speciális
kiegészítő fejezetek: Brownian excursion,
kétdimenziós Brown-mozgás, SLE, Markov-folyamatok
additív funkcionáljai.
Irodalom:
K.L. Chung, R. Williams: Introduction to stochastic
integration. Second edition. Birkauser,
1989
N. Ikeda, S. Watanabe: Stochastic
differential equations and diffusion processes. Second edition.
K. Ito,
H.P. McKean: Diffusion processes and their sample paths.
Springer, 1965
J. Jacod, S.N. Shiryaev: Limit theorems for stochastic processes.
Springer, 1987
S. Karlin, H.M. Taylor:
A second course in stochastic processes. Academic, 1981
D. Revuz, M. Yor: Continuous martingales and Brownian motion. Third edition. Springer, 1999
válogatott cikkek, előadó jegyzetei
Pénzügyi folyamatok 2/0/0/f/3
Tárgyfelelős: Székely Balázs
További oktatók: Fritz
József
Diszkrét modellek: optimális
parkolás, stratégia kedvező és kedvezőtlen helyzetben.
Önfinanszírozó stratégiák,
arbitrázsmentes piacok, teljesség. Amerikai, európai, ázsiai opciók. Ismétlés:
bináris modell, martingál módszer. Diszkrét modellben
nem teljes piac árazása.
Black és Scholes
elmélete: martingál mérték, Itô-féle
reprezentációs tétel. Black-Scholes modell
alkalmazásai, megengedett stratégiák.
Tőkeárazási modellek (CAPM).
Portfóliók fajtái, értékpapírpiaci egyenes, tőkepiaci
egyenes, piaci egyensúly, tőkepiaci egyensúly.
Opciók árazása GARCH
modellekkel.
Az optimális befektetések
problémája.
Extrémérték elmélet,
maximumok eloszlása, rekordok eloszlása.
Irodalom:
J. Michael Steele, Stochastic Calculus and Fiancial Applications,
Springer, New York, 2001.
Barry C. Arnold, N. Balakrishnan,
H. N. Nagaraja, Records,
John Wiley and Sons,
1998.
Fritz József: Pénzügyi matematika, kézirat
előadó jegyzetei, cikkek
Dinamikus programozás a pénzügyi matematikában 2/0/0/v/3
Tárgyfelelős: Fritz József
További oktatók:
Optimális
stratégiák, diszkrét modellek. A dinamikus programmozás
alapelve.
Kedvezőtlen és kedvező játékok, merész és óvatos stratégiák. Optimális
parkolás, nagybeszerzés tervezése. Lagrange mechanika, Hamilton-Jacobi
egyenlet. Viszkózus közelítés, Hopf-Cole
transzformáció, a Hopf-Lax féle infimum-konvoluciós
formula. Determinisztikus optimális kontroll, optimális beruházás stratégiája,
az általános Hamilton-Jacobi egyenlet viszkózus megoldásai. Pontrjagin
maximum elve, feltételes
szélséreték keresése függvénytérben. Sztochasztikus
modellek optimális kontrollja, a Hamilton-Jacobi-Bellman
egyenlet.
Irodalom:
Pénzügyi matematika, www.math.bme.hu/~jofri
L.C. Evans: Partial Differential
Equations, AMS, Providence,
R.I., 1998.
Extrémérték elmélet 2/0/0/v/3
Tárgyfelelős: Barabás Béla
További oktatók:
Centrális határeloszlás tételek
áttekintése, normális eloszlás vonzási tartománya, stabilis eloszlások,
alfa-stabil eloszlások vonzási tartománya, Max-stabilis eloszlások, Fisher-Tippet tétel, Standard extrémérték eloszlások,
Poisson approximáció, maximum vonzási tartománya, általános extrémérték
eloszlások, reguláris változású függvények és tulajdonságaik, Frechet és Weibull eloszlások maximum vonzási tartományának karakterizációja. Gumbel
eloszlás. Általánosított Pareto eloszlás. A többlet
határeloszlása. Paraméter becslési módszerek,
gazdasági, pénzügyi alkalmazások.
Irodalom:
A. J. McNeil,
R. Frey, P. Embrechts: Quantitative
Risk Management Priceton
University Press, 2005.
B.C. Arnold, N. Balakrishnan, H.N.Nagaraja:
Records John Wiley and Sons
Tárgyfelelős: Barabás Béla
További
oktatók:
a)
Biztosítási alaptípusok: Élet, nem élet ág.
Nem élet
biztosításon belül vagyon, felelősség, baleset, egészség.
b) Egyéni
kockázat modellje
– Kárösszeg
meghatározása, Normális közelítés
c) Nevezetes
kárszám eloszlások (Poisson, negatív binomiális stb.)
d)
Nevezetes káreloszlások (Exponenciális, gamma, Pareto, lognormális stb.)
e)
Összetett kockázat modellje
–
Panjer-rekurzió, Összetett Poisson eloszlások
f)
Díjkalkulációs elvek
–
Klasszikus díjelvek: várhatóérték elve, maximális veszteség elve, kvantilis
elv, szórás, ill. szórásnégyzet elve
– Átlagos
érték elve
– Elméleti
díjelvek: zéró hasznosság elve, svájci díjkalkulációs elv, veszteségfüggvény
elv.
g) A
díjkalkulációs elvek tulajdonságai (Várható érték túllépése, no-ripoff
feltétel, Rendezés megtartás, Homogenitás, additivitás, eltolás
invariancia, Iterálhatóság, szubadditivitás)
h)
Credibility elmélet, Bühlmann modell, Bühlmann–Straub modell, Tapasztalati díjszámítás
i) Bónusz
rendszerek, Kármentességi
díjvisszatérítések, engedmények,
Bónusz-málusz rendszer
j)
Tartalékszámítás, Meg nem szolgált díjak
tartaléka, függőkár, IBNR, matematikai tartalék, kifutási háromszög stb.
Irodalom:
George E. Rejda: Principles of Risk Management
and Insurance
Arató
Miklós: Általános biztosításmatematika. ELTE jegyzet, 2000
Többváltozós statisztika
gazdasági alkalmazásokkal
2/0/0/f/2
Tárgyfelelős: Bolla Marianna
További oktatók:
Többdimenziós Centrális
Határeloszlás Tétel és alkalmazásai. A statisztikában használt véletlen
mátrixok (Wishart-, Wigner-mátrixok) sűrűsége,
spektruma és aszimptotikus eloszlása. Sajátértékekre és szinguláris értékekre
vonatkozó szeparációs tételek alkalmazása a főkomponens-, faktor-, kanonikus korreláció- és korrespondanciaanalízisben.
Faktoranalízis, mint alacsony rangú reprezentáció, reprezentáció és metrikus
klaszterező eljárások kapcsolata. Klasszifikációs módszerek: diszkriminanciaanalízis, hierarchikus, k-közép
és gráfelméleti módszerek a klaszteranalízisben. Gráfok spektruma és becsülhető
paraméterfüggvényei.
Algoritmikus modellek,
tanulóalgoritmusok. EM-, ACE-algoritmus, Kaplan–Meier-becslések. Újramintavételezési
eljárások: bootstrap és jackknife.
Adatbányászati alkalmazások, randomizált módszerek
nagyméretű problémákra. A többváltozós statisztikai módszerek használatának és
angol nevezéktanának elsajátítása egy programcsomag segítségével (SPSS vagy S+), output eredmények
alkalmazásorientált elemzése.
Irodalom:
M. Bolla, A.
Krámli: Statisztikai következtetések elmélete, Typotex, Budapest, 2005
K. V. Mardia, J. T. Kent, J.
M. Bibby: Többváltozós analízis (angolul), Academic Press, Elsevier Science,
1979, 2003
Közgazdasági idősorok elemzése 2/0/0/f/2
Tárgyfelelős: Meyer Dietmar
További oktatók: Ligeti Zsombor
Rövid bevezetés után, a stúdiumok első részében,
általánosítjuk a korábban már megismert hagyományos növekedési és
konjunktúra-modelleket. Ennek során kitérünk olyan kérdésekre, mint a fejlődés finanszírozása,
a humán tőke szerepe, a költségvetési deficit dinamikája, az endogén népességi
növekedés, az egészség-gazdaságtan, a megújuló természeti erőforrások. Ezt
követi az időinkonzisztencia problémájának a tárgyalása (mind a
pénzpolitikában, mind a költségvetési politikában), amely – a különböző
várakozások elemzésén keresztül – átvezet dinamikus játékelméleti
megközelítésekhez. Ezzel lehetőség nyílik arra, hogy a makrogazdasági
jelenségek mikroökonómiai megalapozását adjuk meg. A
gazdasági evolúció modelljeinek a bemutatásával lezárjuk a kurzust.
Irodalom:
Dowrick, S., Pitchford, R., Turnovsky, S. (ed.): Economic Growth and Macroeconomic
Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
Huber, B.: Optimale Finanzpolitik und zeitliche Inkonsistenz. Physica-Verlag,
Heidelberg, 1996.
Turnovsky, S.: Methods
of Macroeconomic Dynamics, MIT Press, Cambridge (Mass.), 2000.
Vega-Redondo, F.: Evolution,
Games, and Economic Behaviour. Oxford University Press, Oxford, 1996.
Témalabor
1,2 0/0/4/f/4
+ 0/0/4/f/4
Tárgyfelelős: Lángné Lázi
Márta
A tárgy keretében a hallgató
külső témavezető által meghirdetett, alkalmazás orientált sztochasztikus
matematikát alkalmazó témán dolgozik, a témavezető irányításával. Minden félév
végén beszámolót készít a hallgató az eredményeiről, melyet előadás formájában
a társainak bemutat. A tárgy során begyakorolandó tevékenységek: irodalmazás,
modellezés, számítógéppel segített feladatmegoldás, matematikai
problémamegoldás.
Matematikai modellalkotás szeminárium
1,2 2/0/0/f/1 + 2/0/0/f/1
Tárgyfelelős:
Szász Domokos
A szeminárium célja rendszeres fórumot biztosítani
alkalmazott matematikai eredmények, modellek és problémák bemutatására, és
ezzel elősegíteni
(i) a Matematika Intézeten belül és szélesebb körben
is, az alkalmazott matematikai ismeretek és kultúra elterjesztését;
(ii) fejleszteni egyfelől
a Matematika Intézet oktatói és diákjai, másfelől más intézmények, intézetek (a
BME több tanszékét, intézetét is ideértve), cégek, vállalatok matematika iránt
fogékony munkatársaival való kapcsolattartást, együttműködést.
A szemináriumra hétről hétre meghívunk egy-egy
előadót, aki a munkája során felmerülő matematikai problémáról beszél.
Általában két típusú előadó van: matematikus, aki
alkalmazott matematikusként dolgozik, illetve nem matematikus, de munkája során
matematikai problémák merülnek fel. A korábbi évek gyakorlatához hasonlóan
széles palettát kívánunk nyújtani a témákat illetően; előadókat hívunk meg a
BME különböző tanszékeiről, a SZTAKI-ból, bankokból, a távközlés területéről,
és egyéb piaci cégtől (bővebben lásd a szeminárium honlapján:
www.math.bme.hu/~molnar/amsz).
A II-III. éves
hallgatóinknak előírjuk a matematikai modellalkotás szeminárium látogatását,
hogy ezzel is plasztikus képet nyerjenek szakmájuk lehetséges alkalmazásairól.
A szeminárium előadásai általában érthetőek lesznek ezen hallgatóink számára,
akik ekkor már túl vannak az igen sokoldalú alapképzésen. Alkalmazott
matematikai témáknál természetesen különösen fontos a problémafelvetés
motivációja, a modellalkotás bemutatása és annak illusztrálása, a javasolt
megoldás mennyire segít a felmerült problémában. Az előadások után a hallagtóknak lehetőségük van kérdéseikkel további
ismereteket szerezni a bemutatott témáról, illetve az előadó munkásságáról.
Az előadások egy másik célja, hogy az érdeklődő
hallgatók esetleg valamilyen formában bekapcsolódhatnának a munkába, ezzel is
elősegítve a hosszabbtávú érvényesülésüket, hogy az egyetem elvégzése után
könnyebben jussanak álláslehetőséghez.