BME ALKALMAZOTT MATEMATIKA MESTERSZAK (MSc)

 

Alkalmazott analízis szakirány tárgyainak tárgyleírása

 

 

Jelölés: Az egyes tárgyak leírásában megjelentetett e/g/l/t/k jelölés feloldása

e = előadások heti óraszáma,

g = gyakorlatok heti óraszáma,

l = laboratóriumi foglalkozások heti óraszáma,

t = teljesítés módja = v(izsga) vagy f(élévközi jegy),

k = kreditszám.

 

 

Biomatematika                                                                          2/0/0/f/2


Tárgyfelelős: Garay Barnabás
További oktatók:

 

Populációdinamika: Lotka–Volterra és Kolmogorov modellek (rövid ismétlés) . Populációgenetika: Hardy–Weinberg, Fisher és Kimura törvényei, a kiválasztás, a rekombináció és a mutáció egyenletei. Szelekció-migráció modellek Járványmodellek. HIV. Járvány terjedése térben Morfogenezis. Turing bifurkáció. Mintázatképződés.

 

Irodalom:
M. Nowak: Evolutionary dynamics. Exploring the equations of life, Harvard University Press, Cambridge, MA, 2006
M. Farkas: Dynamical models in biology, Academic Press, San Diego, 2001
P.C. Fife: Mathematical aspests of reacting and diffusing systems, Springer, Berlin, 1979

 

 

A klasszikus mechanika matematikai módszerei                2/0/0/f/2

 

Tárgyfelelős: Garay Barna

További oktatók: Bálint Péter

 

A variációszámítás alapfeladata. Euler–Lagrange differenciálegyenletek. Geometriai módszerek a mechanikában. Lagrange- és Hamilton-rendszerek. Legendre transzformáció.  Hamilton-egyenletek. Szimmetriák és megmaradási tételek.

 

Irodalom:

V.I. Arnold: A mechanika matematikai módszerei, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985

 

Numerikus módszerek 2                                                        2/0/2/v/5

 

Tárgyfelelős: Horváth Miklós

További oktatók: Gyurkovics Éva

 

Elliptikus parciális differenciálegyenletek numerikus megoldási módszerei: véges differencia módszer, multigrid módszer, végeselem módszer. Időfüggő parciális differenciálegyenletek numerikus megoldási módszerei: végeselem és véges differencia módszerek parabolikus és hiperbolikus feladatokra, Ritz- és Galjorkin-típusú módszerek. Stabilitás. CFL feltétel, von Neumann analízis. Lax ekvivalencia tétele. Operátorszeletelési eljárások és alkalmazásaik. Parciális differenciálegyenletek és numerikus megoldási módszereinek alkalmazásai: Maxwell-egyenletek és numerikus módszerei, származtatott tőzsdei termékek árazása, szilárdságtani feladatok, hővezetési egyenlet és numerikus megoldásainak kvalitatív vizsgálata, légszennyezés-terjedési modellek.

 

Irodalom:

Stoyan Gisbert, Takó Galina: Numerikus módszerek III, Typotex 1997

Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri: Numerical Analysis, Springer 2000

Stoyan Gisbert: Matlab, Typotex 2005

A.Quarteroni, A.Valli: Numerical Approximation of Partial DifferentialEquations, Springer-Verlag, Heidelberg, 1994, SCM Series n. 23.

 

Wavelet analízis                                                                                 2/0/0/f/2

Tárgyfelelős: Ky, Nguyen Xuan

További oktatók:

 

A wavelet (hullámocska)  segítségével függvényeket lehet felbontani különböző frekvenciájú komponensekre, amellyel minden komponens a neki megfelelő felbontásban vizsgálható. A wavelet-transzformáció a függvény előállítása waveletekkel, melyek egy véges hosszúságú vagy gyorsan lecsengő hullám (az anya-wavelet) átskálázott és eltolt példányai. A wavelet-transzformációnak számos előnye van a szokásos Fourier-transzformációval szemben pl. szakadásos vagy éles csúcsokkal rendelkező függvények felírásakor illetve véges, nem-periodikus vagy nemstacionárius jelek felbontásánál. A kurzusban megvizsgáljuk mindennek elméleti hátterét és bemutatunk több alkalmazást.

 

Irodalom:

C. Chui: Wavelet Theory, Academic Press, Cambridge, MA 1991

I. Daubechies: Ten lectures on wavelets, SIAM, Philadelphia, PA, 1992

H.G. Stark: Wavelets and Signal Processing, Aschffenburg, 2005

 

 

Mátrixanalízis                                                                           2/0/0/v/3

 

Tárgyfelelős: Petz Dénes

További oktatók:

 

Lineáris terek, lineárisan független vektorok, bázis, lineáris leképezések és mátrixuk. Belső szorzat, Hilbert-tér, ortonormált bázis. Normák a mátrixtereken. Önadjungált és unitér mátrixok. Mátrixok sajátvektorai, sajátértékek és szinguláris értékek, valamint a lokalizációjuk. Pozitív definit mátrixok és tulajdonságaik. Mátrixok tenzorszorzata és Hadamard-szorzata, Schur-lemma, ezeknek a szorzatoknak az alkalmazásai. Mátrixok függvényei, a rezolvens és az exponenciális függvény tulajdonságai, Lie-Trotter formula. Mátrixfüggvények differenciálása. Egyenlőtlenségek: Mátrixmonoton és mátrixkonvex függvények, exponenciális, logaritmus- és hatványfüggvények.  Blokkmátrixok tulajdonságai és használata. Mátrixok számtani és mértani közepe. Mátrixok alkalmazása lineáris differenciálegyenletek megoldására. Pozitív elemű mátrixok.

 

 

Irodalom:
Rajendra Bhatia: Matrix Analysis, Springer, 1997
Kérchy László: Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe, Polygon, 1997
Petz Dénes: Lineáris analízis, Akadémiai Kiadó, 2002
Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Műszaki Könyvkiadó, 1976

 

 

Matematikai kémia                                                       2/0/2/v/5

 

Tárgyfelelős: Tóth János

További oktatók:

 

Az alkalmazott matematikus néhány fontos eszköze

Speciális függvények, Laplace-transzformáció, kvalitatív vizsgálatok, nemlineáris rendszerek, túl az elemi sta­tisz­ti­kán, matematikai programcsomagok. Optimumszámítási modellek, differenciál­egyen­le­tek paramétereinek becslése.

Modellekről: statikus és dinamikus, diszkrét és folytonos, sztochasztikus és deter­mi­nisz­ti­kus, lineáris és nemlineáris modellek.

A fizikai kémia problémái. A homogén reakciókinetika modelljei és problémái. Sztöchiometria: li­ne­áris algebrai és számelméleti módszerek. Tömeghatás típusú kinetika: gráfokon értel­me­­zett differenciálegyenletek. Egyensúly, oszcilláció, káosz. Érzékenységvizsgálat. Modellredukció. Sztochasztikus reakciókinetika: ugró Markov-folya­matok. Bio­­­kémiai alkalmazások, enzimkinetika, farmakokinetika, gyógyszeradagolás, gyógy­szer­­­­­ter­ve­zés. Kvantitatív összefüggések molekulák szerkezete és hatása között. Kvantumkémiai alkalmazásokról. Neurobiológia. Reakció-diffúzió-modellek. Mintázatképződés kémiai, biológiai és közgazdasági modellekben. 

 

Irodalom:

Bazsa Gy. (szerk.): Nemlineáris dinamika és egzotikus kinetikai jelenségek kémiai rendszerekben, Egyetemi jegyzet (Kézirat), Debrecen, Budapest, Gödöllő, 1992

Érdi, P., Tóth, J.: Mathematical Models of Chemical Reactions. Theory and Applications of Deterministic and Stochastic Models, Princeton University Press, Princeton, 1989

Feinberg, M.: Lectures On Chemical Reaction Networks (Lecture notes)

http://www.che.eng.ohio-state.edu/~FEINBERG/LecturesOnReactionNetworks/ 

Farkas Miklós: Dynamical Models in Biology, Academic Press, New York, 2001

Murray, J. D.: Mathematical biology, Springer, 2004

 

 

Operátorelmélet                                                                                 3/1/0/v/5

 

Tárgyfelelős: Nagy Béla

További oktatók:

 

Hilbert terek alapfogalmait ismertnek feltételezzük. Zárt és lezárható operátorok, a zárt gráf tétel. A spektrálelmélet alapjai zárt operátorokra. Zárt szimmetrikus és önadjungált operátorok. Szimmetrikus operátor és önadjungált kiterjesztése. Hermitikus forma által definiált operátorok. Zárt normális operátorok.

Véges rangú és kompakt operátorok. Hilbert–Schmidt operátorok. Mátrix operátorok.

Integrálás spektrál mértékre vonatkozóan. Zárt önadjungált operátorok spektrálfelbontása és spektrumának tulajdonságai. Normális operátorok spektrálfelbontása.

Szimmetrikus operátorok kiterjesztései: defekt indexek és Cayley transzformáltak. Kiterjesztés a Hilbert tér bővítésével: Najmark tétele. Önadjungált kiterjesztések és spektrumaik. Analitikus vektorok. Önadjungált operátorok perturbációja. Scattering. Egyoldali eltolás operátora, Wold–Neumann felbontás. Kétoldali eltolás. Kontrakciók. Invariáns vektorok, kanonikus felbontás. Kontrakció izometrikus és unitér dilatációja.

Operátorok Banach terekben. Holomorf függvények és kontúrintegrálok. Holomorf  függvénykalkulus korlátos, ill. zárt operátorokra. Kompakt operátorok. A Riesz–Schauder elmélet. Nöther és Fredholm operátorok. Operátor félcsoportok Banach terekben. Lineáris rendszerek operátorelméleti alapjai.

Banach algebrák. Spektrum. Holomorf függvénykalkulus. Ideálok. A Gelfand transzformáció.  C*-algebra elemének spektruma. A Gelfand–Najmark kommutatív tétel. C*-algebrák reprezentációja.

 

Irodalom:

I. Gohberg, S. Goldberg and M.A. Kaashoek: Basic classes of linear operators. Birkhauser, Basel, 2003
J. Weidmann: Linear operators in Hilbert space. Springer, Berlin, 1980
M. Birman and M. Solomyak: Spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert space. Leningrad, 1980 (in Russian. There is also an English translation of the book).

 


Potenciálelmélet                                                                                2/0/0/f/3

 

Tárgyfelelős: G. Horváth Ágota

További oktatók:

 

Motiváció: elektrosztatika. Dirichlet probléma, Brown mozgás. Logaritmikus potenciál: minimumelv, extremális mérték, egyensúlyi potenciál, mérték és potenciál kapcsolata. Súlyozott polinomok: súlyozott Fekete-pontok, transzfinit átmérő, Csebisev-polinom.  Dirichlet probléma nem folytonos ill. nem korlátos peremfeltétellel. (Perron-Wiener-Brelot megoldás, súlyozott terek, harmonikus mérték.) Regularitási problémák, kisöprési mérték, Brown-mozgás és harmonikus mérték kapcsolata.

 

 

Irodalom:

D. R. Adams and L. I. Hedberg, Function Spaces and Potential Theory, Springer, 1996

V. I. Fabrikant, Mixed Boundary Value Problems of  Potential Theory and their Aplications in Engineering, Kluwer Acad. Publ. Group, Netherlands, 1991

J. L. Dob, Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer, 1984

O. D. Kellogg, Foundations of Potential Theory, Springer, 1929

H. N. Mhaskar, Introduction to the Theory of Weighted Polynomial Approximation, World

Scientific, 1996

(Szerk.) K. Nagy,  Elméleti fizikai példatár, Tankönyvkiadó, 1981

T. Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Camridge Univ. Press, 1994

E. B. Saff and V. Totik , Logarithmic Potentials with External Fields,  Springer, 1997

 

 

Inverz szórási feladatok                                                        2/0/0/v/3

 

Tárgyfelelős: Horváth Miklós

További oktatók:

 

A látás, a radar, az ultrahangos orvosi vizsgálat, a földkéreg szerkezetének kutatása, az elemi részecskék közti kölcsönhatások vizsgálata csak néhány példa inverz szórási feladatokra. A kurzus célja ezen problémák matematikai apparátusának bemutatása, bevezető jelleggel. A főbb témakörök:

Időfüggő felépítés: hullámoperátor, szórási operátor, szórásmátrix. Időfüggetlen felépítés: szórásamplitúdó, Lippmann–Schwinger egyenlet. Dirichlet-to-Neumann operátor, Sylvester–Uhlmann alaptétel. Akusztikus szórás, elektromágneses szórás. Egy- és háromdimenziós kvantum szórási feladatok.  A kvantummechanikai soktest-probléma.

 

Irodalom:

V. Isakov, Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer, New York 1998

D. Yafaev, Scattering Theory: Some Old and New Problems, Springer, Berlin, 2000

D. Colton and R. Kress, Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory, Springer, Berlin 1998

M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics III: Scattering Theory, Academic Press 1979

K. Chadan and P. Sabatier, Inverse Problems in Quantum Scattering Theory, Springer 1989    

 

 

Nemlineáris hiperbolikus egyenletek                                         2/0/0/v/3

 

Tárgyfelelős: Fritz József
További oktatők: Tóth Bálint

 

A megoldások megszakadásának és az unicitás megszűnésének jelensége, irreverzibilitás. A karakterisztikák módszere. Szakaszonként folytonos megoldások, lökéshullámok.
Önhasonló megoldások és az entrópia-elv. A Burgers egyenlet Hopf–Lax–Oleinik megoldása. A viszkózus megoldás, Lax entrópia egyenlőtlensége.
Kompenzált kompaktság. Gyenge konvergencia és Young mérték. Konvex függvények gyenge konvergenciája. Tartar és Murat alaptételei. DiPerna elmélete, a gázdinamika és a ru­galmasságtan nemlineáris egyenletei. A hidrodinamika mikroszkopikus modelljei.

 

Irodalom:

J. Smoller: Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations. Springer 1983
L.C.Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 2002

Fritz  J.: Hyperbolic Equations and Systems. www.math.bme.hu/jofri/oktat

 

 

Fraktálok és geometriai mértékelmélet                              2/0/0/f/3

 

Tárgyfelelős: Simon Károly

További oktatók:

 

Bevezetés: Mértékelméleti és topológiai alapok ismétlése. Vitali lefedési tétele, Besicovitch lefedési tétele.

Fraktálok a síkon és a térben: A legismertebb önhasonló és ön-affin halmazok. 

Box dimenzió és a Hausdorff dimenzió  fogalma.

Dimenzió kiszámítsa önhasonló fraktálokra. Hausdorff dimenzió potenciálelméleti karakterizációja.

Mérték lokális dimenziója, önhasonló mértékek multifraktál analízise.

Véletlen Cantor halmazok dimenziója és a Mandelbrot perkoláció.

Brown mozgás mint véletlen fraktál.

Egydimenziós Brown mozgás grafikonjának Hausdorff dimenziója. Többdimenziós Brown mozgás trajektoriájának dimenziója és Lebesgue mértéke.

Véletlen fraktálos eszközökkel: -ban (k>1) különböző kezdőpontból indított független Brown mozgások trajektóriái lehetséges metszetének vizsgálata.

 

Irodalom:

E.A. Edgar: Integral probability and fractal measures. Springer 1998.

K. Falconer: The geometry of fractal sets. Cambridge, 1985.

K. Falconer: Fractal Geometry, Wiley, 2005.

K. Falconer: Techniques in fractal geometry, Wiley 1997.

Laczkovich M.: Valós függvénytan. ELTE egyetmi jegyzet 1995.

P. Mattila: Geometry of Sets and Measures in Eclidean Spaces. Cambridge, 1995.

K.R. Parthasaraty, Probability measures on metric spaces, Academic Press 1967.

Y. Peres: An invitation to sample paths of Brownian motion. 2001 Preprint.

 http://stat-www.berkeley.edu/~peres/bmall.pdf      

 

 

Témalabor 1,2                                                         0/0/4/f/4 + 0/0/4/f/4

 

Tárgyfelelős: Lángné Lázi Márta

 

A tárgy keretében a hallgató külső témavezető által meghirdetett, alkalmazás orientált sztochasztikus matematikát alkalmazó témán dolgozik, a témavezető irányításával. Minden félév végén beszámolót készít a hallgató az eredményeiről, melyet előadás formájában a társainak bemutat. A tárgy során begyakorolandó tevékenységek: irodalmazás, modellezés, számítógéppel segített feladatmegoldás, matematikai problémamegoldás.

 

 

Matematikai modellalkotás szeminárium 1,2       2/0/0/f/1 + 2/0/0/f/1

 

Tárgyfelelős: Szász Domokos

 

A szeminárium célja rendszeres fórumot biztosítani alkalmazott matematikai eredmények, modellek és problémák bemutatására, és ezzel elősegíteni

(i) a Matematika Intézeten belül és szélesebb körben is, az alkalmazott matematikai ismeretek és kultúra elterjesztését;

(ii) fejleszteni egyfelől a Matematika Intézet oktatói és diákjai, másfelől más intézmények, intézetek (a BME több tanszékét, intézetét is ideértve), cégek, vállalatok matematika iránt fogékony munkatársaival való kapcsolattartást, együttműködést.

A szemináriumra hétről hétre meghívunk egy-egy előadót, aki a munkája során felmerülő matematikai problémáról beszél. Általában két típusú előadó van: matematikus, aki alkalmazott matematikusként dolgozik, illetve nem matematikus, de munkája során matematikai problémák merülnek fel. A korábbi évek gyakorlatához hasonlóan széles palettát kívánunk nyújtani a témákat illetően; előadókat hívunk meg a BME különböző tanszékeiről, a SZTAKI-ból, bankokból, a távközlés területéről, és egyéb piaci cégtől (bővebben lásd a szeminárium honlapján: www.math.bme.hu/~molnar/amsz). 

A II-III. éves hallgatóinknak előírjuk a matematikai modellalkotás szeminárium látogatását, hogy ezzel is plasztikus képet nyerjenek szakmájuk lehetséges alkalmazásairól. A szeminárium előadásai általában érthetőek lesznek ezen hallgatóink számára, akik ekkor már túl vannak az igen sokoldalú alapképzésen. Alkalmazott matematikai témáknál természetesen különösen fontos a problémafelvetés motivációja, a modellalkotás bemutatása és annak illusztrálása, a javasolt megoldás mennyire segít a felmerült problémában. Az előadások után a hallagtóknak lehetőségük van kérdéseikkel további ismereteket szerezni a bemutatott témáról, illetve az előadó munkásságáról.

Az előadások egy másik célja, hogy az érdeklődő hallgatók esetleg valamilyen formában bekapcsolódhatnának a munkába, ezzel is elősegítve a hosszabbtávú érvényesülésüket, hogy az egyetem elvégzése után könnyebben jussanak álláslehetőséghez.