%05.06.10
\documentclass[a4paper, draft]{article}
%\usepackage{t1enc} %Ez jo am a magyar betukhoz!!
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb} %Ez kell $\mathbb R$-hez.

\setlength{\marginparwidth}{0pt}
\addtolength{\textwidth}{100pt}
\addtolength{\hoffset}{-50pt}
\addtolength{\textheight}{100pt}
\setlength{\voffset}{-50pt}

\newcommand*{\hop}{\bigskip\noindent}
\renewcommand*{\int}{\intop\limits}
\newcommand*{\di}{\,\text{d}}
\newcommand{\la}{\lambda}
\newcommand{\Pv}{\mathbb P}
\newcommand{\Ev}{\mathbb E}
\newcommand{\Dv}{\mathbb D}
\newcommand{\vp}{\varphi}
\newcommand{\el}{\text{L}}
\newcommand{\ve}{\varepsilon}
\newcommand{\Rb}{\mathbb R}
\newcommand{\Zb}{\mathbb Z}
\newcommand{\Cb}{\mathbb C}
\newcommand{\si}{\sigma}

\title{Mem\'oriap\'otl\'o\\(p\'ar fontosabb valsz\'am t\'etelr\H ol)}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\noindent
{\bf Borel-Cantelli lemma:} $A_1,\,A_2,\dots$ esem\'enyek, $B:\,=\limsup\limits_{n\to\infty}A_n=\bigcap\limits_{k=1}^\infty\bigcup\limits_{n=k}^\infty A_n$. Ekkor:
\begin{itemize}
\item[(i)] Ha $\sum\limits_n\Pv(A_n)<\infty\Rightarrow\Pv(B)=0$.
\item[(ii)] Ha $(A_n)$ f\"uggetlen esem\'enyrendszer \'es $\sum\limits_n\Pv(A_n)=\infty\Rightarrow\Pv(B)=1$.
\end{itemize}
{\bf Kolmogorov 0-1 tv.} V\'egtelen sok f\"uggetlen val.\ v\'altoz\'o \'altal gener\'alt $\si$-algebra marad\'ekmez\H oje az egyre nagyobb k\"usz\"obindex ut\'ani val.\ v\'altoz\'ok \'atlal gener\'alt algebr\'ak metszete, ebben minden halmaz 0 vagy 1 val\'osz\'\i n\H us\'eg\H u.

\hop
{\bf Markov-egyenl\H otlens\'eg.} Ha $X\ge0$ val.\ v\'altoz\'o \'es $\Ev X<\infty$, akkor 
\[
\Pv(X\ge\la)\le\frac{\Ev X}{\la}\qquad(\forall\la>0).
\]

\hop
{\bf Csebisev-egyenl\H otlens\'eg.} Ha $X$ val.\ v\'altoz\'o \'es $-\infty<\Ev X<\infty$, akkor
\[
\Pv(|X-\Ev X|>\la)\le\frac{\Dv^2X}{\la^2}\qquad(\forall\la>0).
\]

\hop
{\bf Jensen-egyenl\H otlens\'eg.} Ha $X$ val.\ v\'altoz\'o \'es $\vp$ konvex fv., akkor
\[
\Ev\vp(X)\ge\vp(\Ev X).
\]

\hop
{\bf Monoton konvergencia vagy Beppo-Levi t\'etel.} Ha $X_n$ monoton n\"ov\H o val.\ v\'alt.\ sorozat \'es m.b.\ tart $X\in\el^1$-hez, akkor
\[
\lim_{n\to\infty}\Ev X_n=\Ev X.
\]

\hop
{\bf Domin\'alt konvergencia vagy Lebesgue-t\'etel.} Ha $X_n\to X$ m.b.\ \'es $\forall n$-re $|X_n|\le Y\in\el^1$, akkor
\[
\lim_{n\to\infty}\Ev X_n=\Ev X.
\]

\hop
{\bf Fatou-lemma.} Ha $X_n$ val.\ v\'alt.\ sorozat, $\Ev X_n\ne-\infty$ l\'etezik $\forall n$-re, akkor
\[
\Ev\left(\liminf_n X_n\right)\le\liminf_n\Ev X_n.
\]

\hop
{\bf Minkowsi-egyenl\H otlens\'eg.} $\forall\,1\le p<\infty$-re
\[
\left[\Ev\left(|X+Y|^p\right)\right]^{\frac1p}\le\left[\Ev\left(|X|^p\right)\right]^{\frac1p}+\left[\Ev\left(|Y|^p\right)\right]^{\frac1p},
\]
ha a jobb oldali v\'arhat\'o \'ert\'ekek l\'eteznek.

\hop
{\bf H\"older-egyenl\H otlens\'eg.} $\forall p,\,q>1,\ \frac1p+\frac1q=1$-re
\[
\Ev(XY)\le\left[\Ev\left(|X|^p\right)\right]^{\frac1p}\cdot\left[\Ev\left(|Y|^q\right)\right]^{\frac1q},
\]
ha a jobb oldali v\'arhat\'o \'ert\'ekek l\'eteznek.

\hop
{\bf Eloszl\'asbeli konvergencia:} $X_n\overset{\text{d}}{\to}X$ ill.\ $P_n\to P$ gyeng\'en, ha minden folytonos korl\'atos fv.-re
\[
\int f\di P_n\to\int f\di P.
\]
{\bf Sztochasztikus vagy val\'osz\'\i n\H us\'egbeli konvergencia:} $\Pv(|X-X_n|>\ve)\to0\qquad(\forall\ve>0)$.\\
{\bf Majdnem biztos vagy egy val\'osz\'\i n\H us\'eg\H u konvergencia:} $X_n\to X$ m.b.\\
{\bf $\el^p$-konvergencia} $(p\ge1):\qquad\Ev\left(|X_n-X|^p\right)\to0$.
\[
\begin{array}{r}\text{majdnem biztos konv.}\Rightarrow\\\el^p-\text{konv.}\Rightarrow\end{array}\text{sztochasztikus konv.}\Rightarrow\text{eloszl\'asbeli konv.}
\]

\hop
{\bf \'All\'\i t\'as.} Sztochasztikusan konvergens val.\ v\'alt.\ sorozatnak mindig van m.b.\ konverg\'al\'o r\'eszsorozata.

\hop
{\bf \'All\'\i t\'as.} Sztochasztikusan konvergens val.\ v\'alt.\ sorozat folytonos f\"uggv\'eny \'altali k\'epe is sztochasztikusan konvergens.

\hop
{\bf T\'etel.} Legyen $p\ge1$, \'es az $X_n\ \el^p$-beli val.\ v\'alt.\ sorozat konverg\'aljon $X$-hez sztochasztikusan. Ekkor $(iv)\Rightarrow(i)\Leftrightarrow(ii)\Leftrightarrow(iii)\Leftarrow(v)$, ahol
\begin{itemize}
\item[(i)] $X_n\to X\ \el^p$-ben;
\item[(ii)] $(X_n)$ egyenletesen integr\'alhat\'o, azaz
\[
\lim_{c\nearrow\infty}\sup_n\int_{\{|X_n|\ge c\}}|X_n|^p\di\mu=0;
\]
\item[(iii)] $\Ev\left(|X_n|^p\right)\to\Ev\left(|X|^p\right)$;
\item[(iv)] $\sup\limits_n\Ev\left(|X_n|^q\right)<\infty$ valamely $p<q<\infty$-ra;
\item[(v)] $\exists Y\in\el^p\,:\,|X_n|<Y\qquad(\forall n)$.
\end{itemize}
{\bf Scheff\'e-t\'etel.} Ha $X_n\ge0$ val.\ v\'alt.\ sorozat,
\begin{itemize}
\item[(i)] $X_n\to X$ m.b., \'es
\item[(ii)] $\Ev X_n\to\Ev X$,
\end{itemize}
akkor $X_n\to X\ \el^1$-ben.

\hop
{\bf 1.\ Riesz-lemma.} Ha 
\begin{itemize}
\item[(i)] $X_n\to X$ sztochasztikusan, \'es
\item[(ii)] $\exists\ve_k\to0$ sorozat, hogy $\sum\limits_k\Pv(|X_k-X|>\ve_k)<\infty$,
\end{itemize}
akkor $X_n\to X$ m.b.

\hop
{\bf 2.\ Riesz-lemma.} Ha 
\begin{itemize}
\item[(i)] $X_n\to X$ sztochasztikusan, \'es
\item[(ii)] $\forall\ve>0\ \sum\limits_k\Pv(|X_k-X|>\ve)<\infty$,
\end{itemize}
akkor $X_n\to X$ m.b.

\hop
{\bf Momentumgener\'al\'o fv.:} $\vp(t)=\Ev\left(\text{e}^{tX}\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{m_nt^n}{n!}$, ha a 0 egy k\"ornyezet\'eben l\'etezik \'es korl\'atos; $m_n$ az $n$-edik momentum.

\hop
{\bf Karakterisztikus fv.:} $\Phi(\la)=\Ev\left(\text{e}^{\text{i}\la X}\right)$, ez $\Rb$-en egyenletesen folytonos.
\begin{itemize}
\item[(i)] Ha egy $k\in\Zb^+$-ra $\Ev\left(|X|^k\right)<\infty\Rightarrow\Phi$-nek folytonos $k$-dik deriv\'altja van, \'es $\Phi^{(k)}(0)=\text{i}^k\Ev\left(X^k\right)$.
\item[(ii)] Ha egy $k>0$ p\'aros sz\'amra $\Phi^{(k)}(0)$ l\'etezik, akkor $\Ev\left(|X|^k\right)$ is l\'etezik.
\end{itemize}
{\bf Folytonoss\'agi t\'etel.} Tartozzanak az $F_n$ eloszl\'asfv.-ekhez $\Phi_n$ karakterisztikus fv.-ek. Ekkor
\begin{itemize}
\item[(i)] Ha $F_n$ eloszl\'as gyeng\'en tart egy $F$ eloszl\'ashoz, akkor $\Phi_n$ v\'eges intervallumon egyenletesen tart az $F$ eloszl\'as \'altal meghat\'arozott karakterisztikus fv.-hez.
\item[(ii)] Ha $\Phi_n$ pontonk\'ent tart egy $\Phi$ fv.-hez, \'es $\Phi$ a 0-ban folytonos, akkor l\'etezik $F$ eloszl\'as, melyhez $F_n$ gyeng\'en tart, \'es amelyhez tartoz\'o karakterisztikus fv.\ a $\Phi$.
\end{itemize}
{\bf T\'etel.} Ha $X_1,\,X_2,\dots$ f\"uggetlenek, akkor $\sum X_i$ sztochasztikus konvergenci\'aja ekvivalens $\sum X_i$ m.b.\ konvergenci\'aj\'aval.

\hop
{\bf Kolmogorov-3 sor t\'etel.} Legyenek $X_1,\,X_2,\dots$ faevv. Ekkor $\sum X_i$ m.b.\ konvergenci\'aja ekvivalens olyan $c>0$ l\'etez\'es\'evel, melyre mindh\'arom k\"ovetkez\H o sor konverg\'al:
\[
\sum\Pv(|X_i|>c),\qquad\sum\Ev(X_i^{(c)}),\qquad\sum\Dv^2(X_i^{(c)}),
\]
ahol $X_i^{(c)}:\,=X_i\cdot{\bf1}\{|X_i|\le c\}$. 

\hop
{\bf NSZGyTV.} Ha $X_1,\,X_2,\dots$ faevv.\ $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es v\'eges m\'asodik momentummal, akkor
\[
\lim_{n\to\infty}\Pv\left(\left|\frac{S_n}{n}-m\right|\ge\ve\right)=0.
\]

\hop
{\bf 4.\ momentum t\'etel.} Ha $X_1,\,X_2,\dots$ faevv.\ $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es v\'eges 4.\ momentummal, akkor
\[
\Pv\left(\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n}=m\right)=1.
\]
(Ezt az\'ert szeretj\"uk, mert k\"onny\H u, rugalmas bizony\'\i t\'asa van.)

\hop
{\bf NSZETV.} Ha $X_1,\,X_2,\dots$ faevv.\ $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, akkor
\[
\Pv\left(\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n}=m\right)=1,
\]
ak\'ar $m=\pm\infty$ eset\'en is.

\hop
{\bf T\'etel.} Ha $X_1,\,X_2,\dots$ faevv.\ $m_1,\,m_2,\dots$ v\'arhat\'o \'ert\'ekekkel \'es $\si_1,\,\si_2,\dots$ sz\'or\'asokkal, \'es $\sum\limits_{i=1}^\infty\frac{\si_i^2}{i^2}<\infty$, akkor
\[
\Pv\left(\lim_{n\to\infty}\left[\frac{S_n}{n}-\frac{m_1+\dots+m_n}{n}\right]=0\right)=1.
\]

\hop
{\bf Birkhof $\el^1$-ergodt\'etel:} Legyen $(\Omega,\,\mathcal F,\,\mu)$-n $T$ m\'ert\'ektart\'o lek\'epez\'es, $X_k:\,=X(T^k\omega)$. Ha $T$ ergodikus, akkor NSZETV igaz $(X_k)$-ra.

\hop
{\bf Szubaddit\'\i v ergodt\'etel.} Legyenek $\{X_{m,\,n},\ m\le n\}$ val.\ v\'altoz\'ok, melyekre
\begin{itemize}
\item[(i)] $X_{0,\,0}=0,\ X_{0,\,n}\le X_{0,\,m}+X_{m,\,n}\qquad\forall\,0\le m\le n$;
\item[(ii)] $\{X_{(n-1)k,\,nk},\ n\ge1\}$ egy stacion\'arius folyamat $\forall k\ge1$-re;
\item[(iii)] $\{X_{m,\,m+k},\ k\ge0\}\overset{\text{d}}{=}\{X_{m+1,\,m+k+1},\ k\ge0\}$ minden $m$-re;
\item[(iv)] $\Ev X^+_{0,\,1}<\infty$.
\end{itemize}
Legyen $\alpha_n=\Ev X_{0,\,n}<\infty$, mely a fentiek miatt l\'etezik. Ekkor
\[
\alpha=\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha_n}{n}=\inf_{n\ge1}\frac{\alpha_n}{n}\in[-\infty,\,\infty),\qquad\text{\'es}
\]
\[
X_\infty=\lim_{n\to\infty}\frac{X_{0,\,n}}{n}\ \text{l\'etezik m.b.\ \'es}\ \in[-\infty,\,\infty),
\]
tov\'abb\'a $\Ev X_\infty=\alpha$. Ha $\alpha>-\infty$, akkor
\[
\lim_{n\to\infty}\Ev\left|\frac{X_{0,\,n}}{n}-X_\infty\right|=0.
\]
Ha r\'aad\'asul az (ii) alatti folyamat ergodikus is, akkor $X_\infty=\alpha$ m.b.

\hop
{\bf CHT.} Ha $X_1,\,X_2,\dots$ faevv.\ $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\si$ sz\'or\'assal, akkor
\[
\frac{S_n-n\cdot m}{\sqrt{n}}\ \overset{\text{d}}{\longrightarrow}\ N(0,\,\si^2)\quad\text{norm\'alishoz,}\quad\Phi_\si(x)=\frac1{\sqrt{2\pi\si^2}}\int_{-\infty}^x\text{e}^{-\frac{u^2}{2\si^2}}\di u
\]
eloszl\'asfv.-el.

\hop
{\bf Doob maxim\'alegyenl\H otlens\'eg.}
\begin{itemize}
\item Diszkr\'et eset. Ha $X_n$ szubmarting\'al, azaz $\forall n\ \Ev(X_{n+1}\,|\,\mathcal F_n)\ge X_n$, \'es $X_n\ge0$ m.b., akkor $\forall\la>0$-ra 
\[
\Pv\left(\max_{n\ge k\ge0}X_k\ge\la\right)\le\frac{\Ev X_n}{\la}.
\]
\item Folytonos eset. Ha $p\ge1, M_t$ jobbr\'ol folyt.\ $\el^p$-marting\'al, akkor $\forall t\ge0,\,C>0$-ra
\[
\Pv\left(\sup_{0\le s\le t}|M_s|\ge C\right)\le\frac{1}{C^p}\Ev\left(|M_t|^p\cdot{\bf1}\left\{\sup_{0\le s\le t}|M_s|\ge C\right\}\right)\le\frac{1}{C^p}\Ev\left(|M_t|^p\right).
\]
\item M\'eg egy folytonos eset. Ha $p>1$, akkor
\[
||M_t||_p\le||\sup_{0\le s\le t}|M_s|\,||_p\le\frac{p}{p-1}||M_t||_p.
\]
\end{itemize}
{\bf Marting\'al konvergenciat\'etel.} Ha $p\ge1,\ M_t$ jobbr\'ol folytonos $\el^p$-korl\'atos marting\'al, azaz 
\[
\sup\limits_{0\le t\le\infty}\Ev\left(|M_t|^p\right)<\infty,
\]
akkor $\lim\limits_{t\to\infty}M_t=M_\infty$ m.b.\ l\'etezik \'es $\el^p$-ben van. Ha r\'aad\'asul $M$ egyenletesen integr\'alhat\'o, vagy $p>1$, akkor $M_t\ \el^p$-ben is konverg\'al, \'es a marting\'al tulajdons\'ag $t=\infty$-re is kiterjed:
\[
\Ev(M_\infty\,|\,\mathcal F_s)=M_s,\qquad||M_\infty||_p=\lim_{t\to\infty}||M_t||_p,\quad\text{\'es}\quad||\sup_{0\le s\le\infty}M_s||_p\le\frac{p}{p-1}||M_\infty||_p.
\]
{\bf Reziduumt\'etel.} Egy $f$, $G$-n $\Cb$-analitikus f\"uggv\'eny {\sl reziduuma} az $a$ pontban a $c_{-1}$ Laurent-egy\"utthat\'o. Ha a $C\ G$-beli z\'art, szakaszosan sima g\"orbe k\"or\"ulveszi az $a_i$ szingul\'aris pontokat melyek torl\'od\'asi pont n\'elk\"uli halmazt alkotnak $G$-ben, akkor
\[
\frac{1}{2\pi\text{i}}\oint_Cf(z)\di z=\sum_i\text{Res}_{a_i}f.
\]
{\bf Felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek.} Legyen $(\Omega,\,\mathcal F,\,\Pv)$ val\'osz\'\i n\H us\'egi mez\H o, \'es $\mathcal G\subset\mathcal F$ szint\'en $\sigma$-algebra. Egy val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o \emph{$\mathcal G$-m\'erhet\H o}, ha m\'erhet\H o halmazok e v\'altoz\'o szerinti \H osk\'epei $\mathcal G$-nek elemei.

\hop
Ha $X$ integr\'alhat\'o val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, akkor $\Ev(X\,|\,\mathcal G)$ a ($\Pv|_{\mathcal G}$-m.b.\ ekvivalencia erej\'eig) egyetlen $\mathcal G$-m\'erhet\H o val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, melyre
\[
\Ev\left[{\bf1}\{A\}X\right]=\Ev\left[{\bf1}\{A\}\Ev(X\,|\,\mathcal G)\right]\qquad(\forall A\in\mathcal G).
\]
\underline{P\'ar (m.b.) szab\'aly:}
\begin{itemize}
\item $\Ev(X\,|\,\{\emptyset,\,\Omega\})=\Ev X$.
\item Ha $X$ $\mathcal G$-m\'erhet\H o, akkor $\Ev(X\,|\,\mathcal G)=X$.
\item $\Ev(X\,|\,\mathcal F)=X$.
\item Ha $\mathcal G_1\subset\mathcal G_2$, akkor $\Ev(\Ev(X\,|\,\mathcal G_1)\,|\,\mathcal G_2)=\Ev(\Ev(X\,|\,\mathcal G_2)\,|\,\mathcal G_1)=\Ev(X\,|\,\mathcal G_1)$.
\end{itemize}

\hop
Egy \emph{$X_t$ folyamat \'altal gener\'alt} $\mathcal F_t=\sigma\{X_s\,:\,s\le t\}$, ez n\"ovekv\H o.




\end{document}

