Normált algebrák elemei

Fizikusok, matematikusok normált algebrák elemei választható előadása,
2018/2019 I. félévében.

Tárgykövetelmény: Normált algebrák elemei.

A vizsgához minimum követelmény.

Vázlatos tematika:

• Normált-, Banach- és C*-algebrák alapjai.
• A spektrum és a spektrum tulajdonságai.
• Első lépés a nemkommutatív geometria felé: kommutatív geometria.
• A karaktertér és a Gelfand-transzformáció kommutatív algebrán.
• A tér pontjai, az algebra maximális ideáljai illetve az algebra irreducibilis ábrázolásának a magjai közötti bijekciók.
• Pozitív elemek C*-algebrában. Funkcionálok algebrákon: reguláris-, hű-, egységtartó és reprezentálható funkcionálok.
• A C*-norma egyértelműsége.
• GNS konstrukció és alkalmazásai. Állapotok algebrákon és az algebrák ábrázolásai.
• Probléma a C*-algebrák tenzorszorzatával.
• Teljesen pozitív leképezések C*-algebrákon.
• Kitekintés: nemkommutatív- valószínűségszámítás, mértékelmélet és K-elmélet alapjai.

Irodalom:

• Kristóf János: A matematikai analízis elemei IV. (Topologikus vektorterek. Kompakt konvex halmazok. Normált algebrák.). A 13-21 fejezet bőven lefedi az anyagot.
• J. A. Erdos: C^*-algebras. Rövid tömör összefoglaló a félév anyagának nagy részéről.
• Marc Rieffel: C^* Algebras. Önállóan feldolgozható, remek feladatokkal.
• Vahid Shirbisheh: Lectures on C^*-algebras. Az 1-4 fejezet lévő témák kerülnek elő a félévben.
• N. P. Landsman: C*-Algebras, Hilbert C*-modules, and Quantum Mechanics. A fizikai alkalmazás iránt érdeklődőknek.
• Alain Connes: Noncommutative Geometry. A Könyv a nemkommutatív geometriáról. Nem tankönyv!
• Alain Connes, Matilde Marcolli: Noncommutative Geometry, Quantum Fields and Motives. Azoknak, kik már értik A Könyvet.