Normált algebrák elemei

Fizikusok, matematikusok normált algebrák elemei választható előadása,
2014/2015 I. félévében.

A tantárgy adatlapja és követelményei.

Rövid kedvcsináló az órához.

A tárgyhoz tartozó vizsgakövetelmény.

A vázlatos tematika:

• Normált-, Banach- és C*-algebrák alapjai.
• A spektrum és a spektrum tulajdonságai.
• Első lépés a nemkommutatív geometria felé: kommutatív geometria. Részletesebben: a karaktertér és a Gelfand-transzformáció kommutatív algebrán, a tér pontjai az algebra maximális ideáljai illetve az algebra irreducibilis ábrázolásának a magjai közötti bijekciók. Valamint egy hasznos alkalmazás: a Cech-Stone kompaktifikáció.
• Pozitív elemek C*-algebrában. Funkcionálok algebrákon: reguláris-, hű-, egységtartó és reprezentálható funkcionálok.
• A C*-norma egyértelműsége.
• GNS konstrukció és alkalmazásai. Állapotok algebrákon és az algebrák ábrázolásai.
• Probléma a C*-algebrák tenzorszorzatával.
• Teljesen pozitív leképezések C*-algebrákon.
• Kitekintés: nemkommutatív- valószínűségszámítás, mértékelmélet és K-elmélet alapjai.

Szabadon letölthető anyagok a témában:

• Kristóf János: Topologikus vektorterek és normált algebrák. A 13-22 fejezet bőven lefedi az anyagot.
• Molnár Lajos: Banach-algebrák, C*-algebrák és Neumann-algebrák. Előadás jegyzet a témáról.
• J. A. Erdos: C^*-algebras. Rövid tömör összefoglaló a félév anyagának nagy részéről.
• Marc Rieffel: C^* Algebras. Önállóan feldolgozható, remek feladatokkal.
• Vahid Shirbisheh: Lectures on C^*-algebras. Az 1-4 fejezet lévő témák kerülnek elő a félévben.
• N. P. Landsman: C*-Algebras, Hilbert C*-modules, and Quantum Mechanics. A fizikai alkalmazás iránt érdeklődőknek.
• Alain Connes: Noncommutative Geometry. A Könyv a nemkommutatív geometriáról. Nem tankönyv!
• Alain Connes, Matilde Marcolli: Noncommutative Geometry, Quantum Fields and Motives. Azoknak, kik már értik a Könyvet.